第379回 シーズン38 エピソード9

内積と外積（前編）

図書室にて

僕「うん。だから、等速円運動では、加速度ベクトルの《向き》は、回転中心を原点にした位置ベクトルの《向き》とは逆向きだとわかるよね？　 $-\omega^2$ は負だから」

テトラ「加速度ベクトルの向きは、位置ベクトルの逆向き……あっ！！！！　もしかしてこれって、 おもりに掛かる力が常に回転中心に向かっているということ？」

僕「まさに、そう！　ニュートンの運動方程式から、加速度ベクトルの向きは力のベクトルの向きと一致する。 僕たちは、等速円運動している質点の位置から計算していって、 $$ \vec a = -\omega^2\vec x $$ を得た。これとニュートンの運動方程式 $\vec F = m\vec a$ から《等速円運動している質点に掛かる力は常に中心に向いている》ことが示されるんだよ！」

テトラ「力 $\vec F$ と位置ベクトル $\vec x$ は逆向きになるから……なるほど、おもしろいです。本当におもしろいですっ！」

ミルカ「今日は何を話している？」

テトラ「あ、ミルカさん！　回転運動についてです。 等速円運動をしている質点の物理量の関係、それを計算していました。 これって、おもしろいですよね」

ミルカ「君が好きそうな話だ。直線運動と円運動という《二つの世界》の対比、あるいは類比」

僕「そうだけど、ミルカさんも好きだよね」

ミルカ「嫌いではない」

テトラ「《二つの世界》の対比というのは、たとえば位置と角度のことですね？　 こんなふうに並べて見比べることができます」

• 位置と角度
• 変位と角度の変化
• 速度と角速度

ミルカ「ふむ」

テトラ「等速円運動を定量的に考えると、 速度ベクトル $\vec v$ を時刻 $t$ で微分して加速度ベクトル $\vec a$ が得られて、その向きを考えると、 質点に掛かる《力》のベクトルがちゃんと中心に向かうことが求められました（第378回参照）」

ミルカ「その対比を続けて《力》を考えるなら——直線運動で加速度を生むものを《力》だと考えたとき、円運動で《力》に対応するものは？」

テトラ「え？　力に何種類もあるんですか？」

ミルカ「そうではない。 速度を変化させることに寄与する物理量を《力》だと考えるなら、 角速度を変化させることに寄与する物理量は何か、という問いだ。 《二つの世界》の対比を続けて、速度に角速度を対比させたとき、 《力》に対比する物理量は何か」

テトラ「……でも、すでに力が回転に寄与しているのはわかっています。 たとえば糸から質点に掛かる力だけですよね？」

僕「求心力だね」

ミルカ「等速円運動における求心力は、速度の《向き》を変えることには寄与するが、 速度の《大きさ》を変えることには寄与していない。 同じことだが、角速度の変化には寄与していない」

テトラ「……そうですね。等速円運動では速さは一定ですし、角速度も一定です。 $v = r\omega$ ですから」

僕「たとえば角速度 $\omega$ がだんだん大きくなっていくような運動を考えるってことだよね。 そのときには質点の速さ $v = r\omega$ もだんだん大きくなっていく。だからその要因はもちろん《力》なんだけど、 直線運動と円運動の対応を意識して答えるなら、角速度に寄与するのは、もちろん——答えてもいいのかな？」

テトラ「あ、はい。お願いします」

僕「それは力のモーメントだよね！　回すことに寄与する《力》に相当するものは《力のモーメント》になる（第373回参照）」

力のモーメント（トルク）

テトラ「《力のモーメント》……力のモーメントというのは、距離と力の積でしたっけ？」

僕「そうだね。まず、回転運動を考えるときは《回転軸》、 つまり回転の中心を決めておく。テコでいうなら《支点》だね。 その上で《回転軸からの距離》と《回転に寄与する力》の積を考える。 その積が力のモーメントになる」

テトラ「はい……」

僕「テコの原理の図で、棒が回り出さないのは力のモーメントの総和がゼロになるとき（第373回参照）」

テトラ「はい。その《力のモーメント》が回転に寄与する力に相当する物理量なんですね？ ……ちょっとまだ、《力》と《力のモーメント》が、心にうまく収まっていないみたいです」

ミルカ「対比を強調して考えるときには《力のモーメント》は《トルク》と一単語で呼んだ方がわかりやすい」

テトラ「トルク……」

ミルカ「《トルク》というのは《力のモーメント》の別名だ。 テコが動かないのはトルクの和がゼロになるとき。 なぜ《力》と別に《トルク》を考えるかというと——」

僕「物理量として便利だからじゃない？」

ミルカ「そういうこと。 直線運動を考えるときに《力》が重要な役割を果たすのと同じように、 回転運動を考えるときには《トルク》が重要な役割を果たす」

テトラ「トルク……って英語ですよね。スペルは？」

ミルカ「torqueだ。t-o-r-q-u-e」

テトラ「回すための力。ねじる力」

ミルカ「辞書で言葉の意味を調べるのはいいが、それに縛られないように」

テトラ「はい、それはわかっている……つもりです。 あたし、言葉の意味に引っ張られ過ぎるときがあるのは自覚があります」

僕「《力のモーメント》つまり《トルク》の僕の理解はこうだよ。 直線運動を考えるときは、力をそのまま扱うだけでいい。 回転運動を考えるときにも、力をそのまま扱ってもいい。 だけど、回転軸からの距離を考慮した物理量、つまりトルクを考えた方が便利なことがある」

テトラ「トルクを考える？」