第436回 シーズン44 エピソード6

見つかる・見つける・見つけ出す（後編）

図書室にて

テトラ「でも、先輩。 これで証明はできました（第435回参照）が、 なかなか大変ですね……」

僕「そうだねえ、 一次独立な二つのベクトル $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表して、計算に持ち込むのはいいけれど、 大変なのは確かだ」

テトラ「先輩？　いまの問題でふと（・・）思ったことがあるんですけど……」

僕「思ったこと？」

テトラ「はい。この図には、三角形の二辺と交わる直線があるのが見つかります。 いままでは $\mathrm{△}\text{ABC}$ に注目していましたが、 $\mathrm{△}\text{ABE}$ と直線 $\text{CD}$ に注目するんです」

僕「うん？　……ああ、なるほど。メネラウスの定理を使うつもり？」

テトラ「はいっ！　その通りです」

僕「なるほどね。僕はメネラウスの定理を証明するときに、 《補助線を使う証明》をしたあとで《ベクトルを使う証明》に気付いたけど（第432回参照）、 テトラちゃんは反対のパターンをやろうと思ったんだ」

テトラ「ですです。確かにベクトルも面白いんですが、 この図を見ていると、いかにもメネラウスの定理が使えそうです。 つまり、 $\mathrm{△}\text{ABE}$ と直線 $\text{CD}$ に対して、

• $\mathbf{\text{頂点}}$ は $\text{A},\text{B},\text{E}$
• $\mathbf{\text{交点}}$ は $\text{D},\text{F},\text{C}$

僕「そうだね。あれ……でも……」

テトラ「大丈夫です。 $$\mathbf{\text{頂点}}\to \mathbf{\text{交点}}\to \mathbf{\text{頂点}}\to \mathbf{\text{交点}}\to \mathbf{\text{頂点}}\to \mathbf{\text{交点}}$$ の順番でたどれば、 メネラウスの定理を間違えることはありません！」

僕「テトラちゃん、テトラちゃん、これはまずくない？」

テトラ「先輩、先輩、どうしてでしょう？　間違ってませんよね？」

僕「うん、メネラウスの定理はまちがっていないし、 $\mathrm{△}\text{ABE}$ と直線 $\text{CD}$ にあてはめるのもまちがっていない。 でも、それはいまの問題解決には役立たないような気がするんだけど」

テトラ「いまの問題解決には役立たないとは……あっ！　確かに」

僕「だよね」

メネラウスの定理を使って証明したい

テトラ「いま確かめたいのは点 $\text{G}$ が辺 $\text{BC}$ の中点になるか？ということでした。 $\text{CG}:\text{GB}=1:1$ になること、 つまり、 $$\frac{\text{CG}}{\text{GB}}=1$$ を確かめるんですが、あたしのメネラウスの定理は点 $\text{G}$ をスルーしちゃってましたっ！」

僕「うん、でもテトラちゃんのアイディアは素晴らしいよ。 僕はベクトルを使うことばかり考えていて、メネラウスの定理を使ってみようとは思わなかったから」

テトラ「$\text{CG}:\text{GB}=1:1$ を調べたいのであれば、 点 $\text{G}$ がうまく交点になるような三角形と直線を見つけ出す必要があるんですね」

僕「$\frac{\text{CG}}{\text{GB}}$ が出てくるように メネラウスの定理を当てはめられる 三角形と直線——あ、すぐに見つかるね！」

三角形を見つけよう

テトラ「あたしも見つけました！　 $\mathrm{△}\text{CBD}$ と直線 $\text{AF}$ を使えば、 うまく $\text{CG}:\text{GB}$ が出てきます」

僕「そうだね」

テトラ「これで調べたい $\boxed{\frac{\text{CG}}{\text{GB}}}$ は出てきましたが…… $$\frac{\text{BA}}{\text{AD}}\text{や}\frac{\text{DF}}{\text{FC}}$$ はわからないままですね」

僕「……」

テトラ「だとしたら、ダメでしたか……」

僕「僕は見つけてしまった」

テトラ「え？」

異なる三角形を見つけよう

僕「図2の場合とは異なる三角形に、メネラウスの定理を当てはめられるよ。 しかもまた、 $\frac{\text{CG}}{\text{GB}}$ が出てくる三角形と直線がある」

テトラ「い、言わないでください。あたしも見つけたい！」

僕「見つかった？」