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Web連載「数学ガールの秘密ノート」
登場人物紹介
僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
僕とユーリはメネラウスの定理の証明に取り組んでいた。
僕たちは、それぞれ違う補助線を引いて証明ができたところ（第431回参照）。
メネラウスの定理
平面上に三角形 $\TT{ABC}$ がある。
また図のように、 辺 $\BC$ と辺 $\CA$ に交わる直線 $\TT{L}$ がある。
このとき、
$$ \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} = 1 $$
が成り立つ。
僕「ユーリはなかなかうまい補助線を引いたよね（第431回参照）」
ユーリ「うまく見つけられれば、うまい補助線になるもん！」
そこで僕は、あることに気付いた。
僕「ねえユーリ。気付いたことがある」
ユーリ「なになに？ もっとうまい補助線？ もっと簡単になる？」
僕「いや、たぶん簡単にはならない」
ユーリ「だったら意味ないじゃん！」
僕「簡単じゃない。でも、 補助線がたとえ見つけられなくても構わない。 補助線を使わなくても、メネラウスの定理は証明できる……と思う」
ユーリ「『と思う』なんだ」
僕「最後まで見通しているわけじゃないからだよ。 どうすればいいかというと、ベクトルを使う」
ユーリ「べくとる」
僕「ユーリはベクトルを知ってるよね。このあいだ教えたし」
【ＣＭ】
テトラ「はいっ、ここでお知らせがあります。 先輩とユーリちゃんの活躍は 『数学ガールの秘密ノート／ベクトルの真実』をお読みくださいね！」
テトラ「ベクトルの真実ですよ！ ベクトル真実ちゃんじゃありませんからね……」
ユーリ「テトラさん、定番ギャグを飛ばしてる」
僕「メタ発言自重」
ユーリ「何の話だっけ」
僕「ともかく、ベクトルを使ってメネラウスの定理を証明できると思った——という話」
ユーリ「ふーん。じゃ、やってみて」
僕「ただ、ちょっと問題がある。 たぶん、ややこしい計算が出てくると思うから、かなり《腕力》がいるかな」
ユーリ「数学やるのに腕力がいるの？」
僕「《腕力》というのはたとえだよ。 長くてややこしい計算をまちがえなくこなす必要があるってこと」
ユーリ「何でわざわざそんな方法を選ぶの？ 補助線引いて証明できたのに」
僕「補助線を引いて証明するには《ひらめき》がいる。 でもメネラウスの定理をベクトルで証明するには《腕力》があればたぶん行けると思う。 《ひらめき》が要らない……とまでいえるかどうかはわからないけど」
ユーリ「《腕力》とか《ひらめき》とか意味不明すぎ」
僕「補助線を引く《ひらめき》というのは、その問題固有の方法になるよね。 つまり、その問題だけの方法。同じ方法を他の問題には使えない」
ユーリ「平行線を引くとか、二等分線を引くとか、そんなもんだけどね」
僕「メネラウスの定理をベクトルで証明する方法は、 《連立方程式を立てる》みたいに、いろんな問題に使える方法になる……と思う」
ユーリ「まだ証明してないのに、何でそんなこと言えんの？」
僕「ベクトルを使って図形問題を解いたり証明したりするのは、 何回かやったことがあるからだよ。 うまくベクトルを使うと、うまく解けるんだ」
ユーリ「また出た。 うまく使えばうまく解けるなんて、あたりまえじゃん。 うまく解けるのがうまい使い方なのじゃよ。 ごちゃごちゃ言ってないで、証明してみせたまえ！」
僕「よーし、やってみるか！」
こんなふうにして、 僕はもう一度、メネラウスの定理を証明することになった。
今度は、ベクトルを使うのだ。
ユーリ「そもそもさー、ベクトルを使うってどーゆーこと？ ベクトルって矢印でしょ？」
僕「そうだね。いまからメネラウスの定理を証明するけど、 そこでは頂点や交点や直線がたくさん出てくる」
ユーリ「三角形とか」
僕「そういうこと。そこで基本になるのはやっぱり点だよね。 しかも点と点の位置関係が大事になる。 ベクトルを使って考えるというのは、その《点と点の位置関係》をベクトルで表すこと——まずは」
ユーリ「それって、こーゆーこと？」
メネラウスの定理の図に矢印を入れ込む
僕「まさに、そういうこと」
ユーリ「うーん……でも、単にごちゃごちゃするだけでは？」
僕「それは図に矢印を一気にたくさん描いたからだよ。 一気に進むと混乱するし、 僕もまだ、うまくいくかどうかわかっていない。 考えながら、少しずつ証明していこう」
ユーリ「ユーリさあ……ベクトルのこと、あんまり覚えてないかも」
僕「わからないところがあったら説明するよ。 まずはメネラウスの定理をもう一度確認しよう」
メネラウスの定理（再掲）
平面上に三角形 $\TT{ABC}$ がある。
また図のように、 辺 $\BC$ と辺 $\CA$ に交わる直線 $\TT{L}$ がある。
このとき、
$$ \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} = 1 $$
が成り立つ。
ユーリ「そんで、《ベクトルで考える》とどーなんの？」
僕「まずは証明したい式を見る。ここに出てくる $$ \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} $$ というのは《線分の長さの比》を使って計算しているよね」
ユーリ「そだね。 $\AP$ の長さ割る $\PB$ の長さとか……掛け算すると $1$ になる」
僕「たとえば、 $$ \frac\AP\PB $$ に注目する」
ユーリ「ふむふむ？」
僕「$\frac\AP\PB$ に出てくる $\TT{A},\TT{P},\TT{B}$ は一本の直線上にある異なる三点だよね。 そのことはベクトルを使って、 $$ \vAP = p\vPB $$ という実数 $p$ が存在すると言い換えられる」
ユーリ「なんで？」
僕「$\vAP$ と $\vPB$ という二つのベクトルを図に描いてみると、 こんな風になる。
二つのベクトル $\vAP$ と $\vPB$
僕「つまり、 $\vAP$ と $\vPB$ のベクトルの方向は同じだけど、 大きさは同じかどうかわからない。 でも $\vPB$ を $p$ 倍してやれば $\vAP$ と等しくなるような実数 $p$ がある」
ユーリ「$\vAP$ と $\vPB$ って反対向きじゃん」
僕「《向き》は反対だけど《方向》は同じだよ。でもその指摘はとても重要。さすがユーリだ。 向きが逆というのは、さっきの実数 $p$ が $p < 0$ であることに対応しているから」
ユーリ「$\vAP = p\vPB$ で $p$ がマイナスだと反対向きのベクトル……あ、何だか思い出してきた。 数をベクトルに掛けると伸び縮みするんじゃなかったっけ？」
僕「その通り。 ベクトルのスカラー倍だね。 たとえば、 $\vAB$ を同じ向きで $2$ 倍の大きさにしたベクトルは $2\vAB$ と表す。 $\vAB$ 自身は $1\vAB$ ということ。そして同じ大きさで反対向きだったら $-1\vAB$ で、 これは普通は $-\vAB$ と表す」
$\vAB$ のスカラー倍
僕「そしてベクトルのスカラー倍を使うと、 $\TT{A},\TT{P},\TT{B}$ という異なる $3$ 点が《直線上にある》ということは、 $$ \vAP = p\vPB $$ という実数 $p$ が存在すると表現できる——これは、 $\TT{A},\TT{P},\TT{B}$ の位置関係をベクトルを使って表したことになる」
ユーリ「ちょっとわかった。それが《ベクトルで考える》ってことだ！」
僕「そうだね」
ユーリ「でも、めんどくさ！ なんでそんなことすんの？」
僕「計算に持ち込むためだよ。図形的に $3$ 個の点を考えるのではなく、 $\vAP = p\vPB$ を満たす実数 $p$ という数に置き換えて考える。あとで、この $p$ を計算しようという心づもりがある」
ユーリ「図形を計算するってこと？ ヤバくない？」
僕「別にヤバくはないよ。ところで話を戻すと 僕たちは、 $$ \frac\AP\PB $$ を考えたいんだった。この分数の値は、
《$\PB$ の長さ》を何倍したら《$\AP$ の長さ》になるか
を意味しているよね」
ユーリ「えーと？ たとえばもしも $\PB = 3$ で $\AP = 6$ だったら、 $$ \frac\AP\PB = \frac{6}{3} = 2 $$ だから、《$\PB$ の長さ》を $2$ 倍したら《$\AP$ の長さ》になる。了解、了解」
僕「具体的に考えてみたのは偉いな」
ユーリ「こんなのは基本ですゼ。分子と分母をうっかりまちがえないよーに」
僕「だから《$\PB$ の長さ》を $\frac\AP\PB$ 倍したら《$\AP$ の長さ》になる」
ユーリ「むむむ？ それって $p$ じゃないの？ だって $\vAP = p\vPB$ なんだから」
僕「そうかな？ $p < 0$ だよ？」
ユーリ「あっ、違った。絶対値だ！ だから、 $$ \frac\AP\PB = \ABS{p} $$ になる！」
僕「その通り。 $\AP = \avAP$ で $\PB = \avPB$ と表すと、 $$ \frac\AP\PB = \frac\avAP\avPB = \ABS{p} $$ ということになる」
ユーリ「ごちゃごちゃしてきた」
僕「表記がいろいろでてきたからね。いったんここまでを整理しようか」
異なる $3$ 点 $\TT{A},\TT{P},\TT{B}$ が一つの直線上にあることは、 $$ \vAP = p\vPB $$ という実数 $p$ が存在することである。
ベクトルの大きさ（長さ）
ベクトル $\vAP$ の大きさを $\avAP$ と表す。これは点 $\TT{A}$ と $\TT{P}$ の距離に等しい。 すなわち、線分 $\AP$ の長さに等しい。 $$ \AP = \avAP $$
ユーリ「だいぶ思い出してきた。要するに矢印じゃんね」
僕「じゃあ、またメネラウスの定理に戻るよ。いま僕たちは、 三点 $\TT{A},\TT{P},\TT{B}$ が一直線上にあることから、 $$ \vAP = p\vPB $$ という式を満たす実数に $p$ という名前をつけたところ。 どうしてそんな数を考えるかというと、 $$ \REDFOCUS{\frac\AP\PB} = \ABS{p} $$ が成り立つから。 つまり、証明したい式に出てくる、 $\frac{\AP}{\PB}$ のところを攻略したわけだ。 $\ABS{p}$ になる」
$$ \underbrace{\REDFOCUS{\frac{\AP}{\PB}}}_{=\ABS{p}} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} $$ユーリ「わかった！ ズバリ、残り二つの分数にも同じことをするでしょー！」
僕「その通り！」
僕「$\frac\BQ\QC$ に出てくる $\TT{B},\TT{Q},\TT{C}$ は一直線上にある。 だから今度は実数 $q$ を使って、 $$ \vBQ = q\vQC $$ と表せる。 これで $\frac{\BQ}{\QC}$ は $\ABS{q}$ ということになるね。 さっきと同じ考え方だ」
$$ \underbrace{\frac{\AP}{\PB}}_{=\ABS{p}} \times \underbrace{\REDFOCUS{\frac{\BQ}{\QC}}}_{=\ABS{q}} \times \frac{\CR}{\RA} $$ユーリ「ふーん……ねえお兄ちゃん。 今度は $q > 0$ だよね。だって、 $\vBQ$ と $\vQC$ は同じ向きだから」
僕「その通り！」
ユーリ「だったら、 $\ABS{q}$ じゃなくて、 $q$ でも同じだよね？」
僕「うん、そうだよ。でもいまは点の位置関係を気にしたくないから $\ABS{q}$ のままにしておく。いい？」
ユーリ「まーよかろー」
僕「$\frac\CR\RA$ に出てくる $\TT{C},\TT{R},\TT{A}$ は一直線上にある。 これまでと同様に考えて——」
ユーリ「実数 $r$ を使って、 $$ \vCR = r\vRA $$ でしょ？ 同じこと三回繰り返してる」
$$ \underbrace{\frac{\AP}{\PB}}_{=\ABS{p}} \times \underbrace{\frac{\BQ}{\QC}}_{=\ABS{q}} \times \underbrace{\REDFOCUS{\frac{\CR}{\RA}}}_{=\ABS{r}} $$僕「そうだね。同じことを繰り返している。 さて、ここからどうするのか……」
ユーリ「計算して $1$ になればいいんじゃないの？」
僕「いや、まだそれは無理だよ。 $p,q,r$ という三つの実数が出てきただけで、 まだ何も計算はできないから」
ユーリ「やっぱり《ひらめき》がいるんじゃないの？」
僕「おかしいな……ああ、わかった。《与えられた条件をすべて使ったか》という問いかけを忘れていた。 まだ使ってない条件があった」
ユーリ「メネラウスの定理で？」
僕「そうだよ。わかる？」
ユーリ「えーっと……使ってない条件とな？」
メネラウスの定理（再再掲）
平面上に三角形 $\TT{ABC}$ がある。
また図のように、 辺 $\BC$ と辺 $\CA$ に交わる直線 $\TT{L}$ がある。
このとき、
$$ \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} = 1 $$
が成り立つ。
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