第425回 シーズン43 エピソード5

二乗したとき起きること（前編）

図書室にて

テトラ「それで？　先輩はどうなさったんですか？」

僕「うん。ガウスによる代数学の基本定理の証明は僕にはできないから、 ユーリの問題に限った話をしたよ」

テトラ「ユーリちゃんの問題というのは、これのことですよね？」

僕「うん、そう。 ユーリは、いろんな二次式がどんなときに——つまり係数をどんな数で考えたときに——因数分解できるかに興味があったんだ」

テトラ「$x^2 - 4$ と $x^2 - 2$ と $x^2 + 1$ の違い……ですね」

• $x^2 - 4$ は、整数係数の一次式の積として、因数分解できる。
• $x^2 - 2$ は、有理数係数の一次式の積としては因数分解できないけれど、実数係数の一次式の積としては因数分解できる。
• $x^2 + 1$ は、実数係数の一次式の積としては因数分解できないけれど、複素数係数の一次式の積としては因数分解できる。

僕「その通り。そしてもちろん、整数・有理数・実数は、どれも複素数に含まれているから、 複素数係数で考えるなら、どれも一次式の積に分解できる」

テトラ「はい。ユーリちゃんの疑問はとっても自然だと思います。 因数分解できる例や、できない例がいろいろ出てきた中で、 複素数係数で因数分解できない例はまったく出てきませんでしたから！」

僕「そうだね。すごく自然だ。 でも、残念ながら、正解は《そんな複素数 $A$ は存在しない》になる」

テトラ「つまり、どんな複素数 $A$ に対しても、 $$ x^2 - A = (x - \alpha)(x - \beta) $$ という複素数 $\alpha$ と $\beta$ が存在する……ということですね？」

僕「そういうこと。そしてそれは、ガウスの代数学の基本定理からすぐにいえる」

テトラ「$A$ が複素数なので、 $x^2 - A$ は複素数係数の $2$ 次多項式といえる。 だから、根……つまり、 $x^2 - A = 0$ を満たす複素数は $2$ 個存在する。 その複素数を $\alpha$ と $\beta$ とすれば、因数定理から、 $$ x^2 - A = (x - \alpha)(x - \beta) $$ となることがいえる——でいいでしょうか」

僕「そうだね。まったくその通り。 ただ、その説明では《代数学の基本定理》が正しいことを認めなくちゃいけない。 いや、もちろん正しいんだけど、正しいことと納得できることは違うからね」

テトラ「ユーリちゃんは納得しなかったんですね」

僕「うん、だから僕は、 $x^2 - A$ に限った形で説明をしようと思った。 そのために、こういう問題を立てたんだ」

僕の問題

テトラ「なるほど……もしも、 $z^2 = A$ を満たす複素数 $z = \alpha$ が存在したら、 $$ \alpha^2 = A $$ つまり $$ \alpha^2 - A = 0 $$ になるので、因数定理から $z^2 - A$ は $z - \alpha$ を因数に持つ……と進むことになるわけですね」

僕「そうそう」

テトラ「あれ？　でも、 $z^2 = A$ は要するに $2$ 乗したら $A$ になる数 $z$ を求めるわけですから、 $$ z = \pm \SQRT{A} $$ で終わりじゃないんでしょうか？」

僕「そう言いたくなるよね。 $\SQRT{A}$ と $-\SQRT{A}$ が $x^2 - A$ の根だから、 $$ z^2 - A = (z - \SQRT{A})(z + \SQRT{A}) $$ で因数分解できた！……って言いたくなる」

テトラ「言いたくなります！」

僕「でもね、僕たちが $\SQRT{A}$ という表記を使うとき、普段は $A \GEQ 0$ として考えている。 だから、複素数 $A$ に対していきなり $\pm\SQRT{A}$ が答えですとはいえない」

テトラ「あ……いえいえ、ちょっとお待ちください。たとえば $A < 0$ のときは虚数単位 $i$ を使って、 $\SQRT{-A}\,i$ のように書けませんか？　それを $2$ 乗すれば、 $$ (\SQRT{-A}\,i)^2 = -A\cdot i^2 = A $$ になりますよ！」

僕「$A < 0$ のときはそれでいいね。 でも、 $A < 0$ のとき $A$ は実数だよね。 $A \GEQ 0$ にせよ、 $A < 0$ にせよ、それは $A$ が実数のときに限った話。 $A$ が実数のときは確かに $z^2 = A$ という複素数 $z$ が存在する。それは問題ない。 でも僕たちは、 $A$ が実数じゃない場合も考えたい。 どんな複素数 $A$ に対しても、 $2$ 乗したら $A$ になる複素数が存在することを証明したいんだから」

テトラ「な、なるほど……やっと、 $z^2 = A$ の意味がわかってきました」

僕「……」

テトラ「……駄目でしたあっ！」

僕「うわっ！」

テトラちゃんの解法

テトラ「す、すみません。あたしはこんな風に考えたんですが、ぜんぜん見当違いでした。 まず、 $z$ を……」

僕「そうだね、でもぜんぜん駄目じゃないと思うよ。 もしもそこから議論を進めていくのなら、 複素数 $A$ を……」

テトラ「なるほど！　……なるほどです。それはそうですね。 与えられているのは複素数 $A$ で、そこから複素数 $z$ を作りたい。 ということは、 $A = u + vi$ で $z = a + bi$ ですから、 $a$ と $b$ を $u$ と $v$ から作ればいいことになります」

テトラ「あっ、わかりましたっ！　これは、 $$ (a^2 - b^2) + (2ab)i = u + vi $$ の《実部》と《虚部》で作った連立方程式を解けばいいんですね！　これなら、あたしにもできそうです！ $$ (\underbrace{a^2 - b^2}_{\textrm{実部}}) + (\underbrace{2ab}_{\textrm{虚部}})i = \underbrace{u}_{\textrm{実部}} + \underbrace{v}_{\textrm{虚部}}i $$ ですから、連立方程式 $$ \begin{cases} u &= a^2 - b^2 && \REMTEXT{実部} \\ v &= 2ab && \REMTEXT{虚部} \end{cases} $$ を解きます。 $a,b$ を $u,v$ で表すんです。まず……」

テトラ「$b$ の四次式になっちゃいました……」

僕「これは $x = b^2$ と置けば二次式になるよね」

テトラ「ああ、ほんとですね。それじゃ——」

僕「あ。先に進む前に、ちょっと待って。気になるところがあったんだけど」

テトラ「はい？」

僕「$\heartsuit$ のところで、さらっと $2b$ で割ったよね、 $v = 2ab$ から、 $$ a = \frac{v}{2b} $$ を作ったところだよ。 ここ、ゼロ割の危険性についてはどう？　 テトラちゃんは $b \NEQ 0$ として議論を進めても大丈夫だと思う？」

テトラ「あっ、ほんとですね……」

テトラ「あっ、大丈夫です。 だって、いまあたしたちは $v \NEQ 0$ としていましたから。 $$ v = 2ab $$ ということですから、 $b \NEQ 0$ です。 ですから、 $b \NEQ 0$ として議論を進めてもいいですねっ！」

僕「そうだね」

テトラ「では、 $b$ の四次式から再開します」