第370回 シーズン37 エピソード10

曲線を裏返す（後編）

登場人物紹介

僕：数学が好きな高校生。

テトラちゃん：僕の後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

テトラちゃんが村木先生からもらってきた《カード》には、曲線の描き方が書いてあった（第369回参照）。

そして、僕とテトラちゃんはいっしょに曲線 $L$ の解析をして、 $x,y$ の関係式と概形を得ることができた。

テトラちゃんがもらった《カード》

平面上に二点 $F_1(-a, 0),F_2(a, 0)$ があります。 $a$ は正の実数です。

《線分 $PF_1$ と線分 $PF_2$ の長さの積は $a^2$ に等しい》という条件を満たす点 $P$ が作る曲線を $L$ とします。

曲線 $L$ について自由に考察してください。

テトラの計算結果（第369回参照）

$a$ を正の実数とします。

点 $P(x, y)$ は、 $$ (x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2)\qquad \cdots\cdots\spadesuit $$ という条件を満たします。

この条件を満たす点 $P$ が描く曲線 $L$ は、どんな曲線？

曲線 $L$ の概形

僕たちが考えようとしていること

次の式 $\spadesuit$ は、曲線 $L$ を直交座標で表したときの $x, y$ の関係式になっている。 $$ (x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2) \qquad \cdots\cdots\spadesuit $$ これを極座標で表して、動径 $r$ と偏角 $\theta$ の関係式として曲線 $L$ を表現したら、どんな式が出てくるだろうか。