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第284回 シーズン29 エピソード4
音楽と数学:ピタゴラスの響き(後編)

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

$ \newcommand{\LEQ}{\leqq} \newcommand{\COMMA}{,\,} $

《ピタゴラスの響き》

ユーリといっしょに、双倉図書館で開催されている《音楽と数学》というイベントに来ている(第283回参照)。

いまは《ピタゴラスの響き》コーナーで《ピタゴラス音階》を調べているところ。

音 $C$ から始めて、周波数を変えて音を作っていくのだが……

五個目の音 $E$

音 $A$ の周波数を $3/2$ 倍してできる音の周波数は、 音 $C$ の周波数を何倍すればいいでしょうか(第283回参照)。 その答えは、 $$ 27/16 \times 3/2 = 3^4/2^5 = 81/32 = 2.53125 $$ という計算で得られますが、 $81/32 > 2$ なので、 $1$ オクターブ下げるためにさらに $2$ で割ります。

音 $C$ の周波数を $81/64$ 倍した新しい音ができました。

$$ 81/64 = 1.265625 $$

新しくできた音を $E$ と呼びます。

$C$ と $G$ の組、 $G$ と $D$ の組、 $D$ と $A$ の組、 $A$ と $E$ の組は協和します。

私たちはこれで、 $C$ と $D$ と $E$ と $G$ と $A$ の五音を手に入れました。

六個目の音 $B$

ユーリ「五個の音だけでも、曲って作れるんだね(第283回参照)」

「そうだね。ここまでで $3/2$ 倍を繰り返して五音が出来たから、 同じことを続けていくんだろうけど……ユーリはそろそろ飽きてきたかな?」

ユーリ「やだなーおにいちゃんたらユーリはそんなにあきっぽくないしー」

「棒読みやめい……これが六個目の音だね」

ユーリは掲げられたパネルを見上げる。

六個目の音 $B$

音 $E$ の周波数を $3/2$ 倍してできる音の周波数は、 音 $C$ の周波数を何倍すればいいでしょうか。 その答えは、 $$ 81/64 \times 3/2 = 3^5/2^7 = 243/128 = 1.8984375 $$ という計算で得られます。

$243/128 = 1.8984375 < 2$ なので、初めの $C$ 音から $1$ オクターブの範囲に入っています。 ですからさらに $2$ で割る必要はありません。

音 $C$ の周波数を $243/128$ 倍した新しい音ができました。

新しくできた音を $B$ と呼びます。

$C$ と $G$ の組、 $G$ と $D$ の組、 $D$ と $A$ の組、 $A$ と $E$ の組、 $E$ と $B$ の組は協和します。

私たちはこれで、 $C$ と $D$ と $E$ と $G$ と $A$ と $B$ の六音を手に入れました。

ユーリ「飽きてこないけど、パターン見えてくるよね」

「パターンとは」

ユーリ「$3/2$ 倍して、 $2$ より大きくなったら $2$ で割る。その繰り返し。パターンじゃん?」

「そうだね。規則的に繰り返して音を作っていく。《ピタゴラス音階》を作っていく」

ユーリ「次のパネルはこれ?」

七個目の音 $F\#$

七個目の音 $F\#$

音 $B$ の周波数を $3/2$ 倍してできる音の周波数は、 音 $C$ の周波数を何倍すればいいでしょうか。 その答えは、 $$ 243/128 \times 3/2 = 3^6/2^8 = 729/256 = 2.84765625 $$ という計算で得られます。

$729/256 = 2.84765625 > 2$ なので、初めの $C$ 音から $1$ オクターブ上より高い音になります。 ですからさらに $2$ で割ります。

$$ 729/256 \times 1/2 = 3^6/2^9 = 729/512 = 1.423828125 $$

音 $C$ の周波数を $729/512$ 倍した新しい音ができました。

新しくできた音を $F\#$(エフシャープ)と呼びます。

$C$ と $G$ の組、 $G$ と $D$ の組、 $D$ と $A$ の組、 $A$ と $E$ の組、 $E$ と $B$ の組、 $B$ と $F\#$ の組は協和します。

私たちはこれで、 $C$ と $D$ と $E$ と $F\#$ と $G$ と $A$ と $B$ の七音を手に入れました。

「これで七音」

ユーリ「ねーねー、ユーリ発見したかも。パターン!」

「お?」

ユーリ「パネルにしつこく『私たちはこれで……を手に入れました』って書いてあるじゃん? 作った順番が綺麗なパターンになってるよ!」

「どんなパターンだろう」

ユーリ「こんなの! 見て見て!」

作られていく音の順番(ユーリの視点)

ユーリ「ね? ね? 下から順番に作られるんじゃなくて、上がって下がるのを繰り返すんだよ。何てゆーの……ぐるぐる?」

「ああ、ほんとだね。こんな風に行ったり来たりにも見える。ええと、それはなぜかというと……」

作られていく音の順番(僕の視点)

ユーリ「次のパネル行こ! いよいよ八音目、到着だね!」

「おおい!」

八個目の音 $C\#$

八個目の音 $C\#$

音 $F\#$ の周波数を $3/2$ 倍してできる音の周波数は、 音 $C$ の周波数を何倍すればいいでしょうか。 その答えは、 $$ 729/256 \times 3/2 = 3^7/2^{10} = 2187/1024 = 2.1357421875 $$ という計算で得られます。

$2187/1024 = 2.1357421875 > 2$ なので、初めの $C$ 音から $1$ オクターブ上より高い音になります。 ですからさらに $2$ で割ります。

$$ 2087/1024 \times 1/2 = 3^7/2^{11} = 2187/2048 = 1.06787109375 $$

音 $C$ の周波数を $2187/2048$ 倍した新しい音ができました。

新しくできた音を $C\#$ と呼びます。

$C$ と $G$ の組、 $G$ と $D$ の組、 $D$ と $A$ の組、 $A$ と $E$ の組、 $E$ と $B$ の組、 $B$ と $F\#$ の組、 $F\#$ と $C\#$ の組は協和します。

私たちはこれで、 $C$ と $C\#$ と $D$ と $E$ と $F\#$ と $G$ と $A$ と $B$ の八音を手に入れました。

ユーリ「ありり?」

ユーリは、けげんな顔をして指を折り始めた。

「どんどん次のパネルに行くんじゃないの?」

ユーリ「これおかしくない?  $1$ オクターブって $8$ 音だよね? ド・レ・ミ・ファ・ソ・ラ・シ・ド……ほら $8$ 音」

「そうだね。オクターブの名前の通り」

ユーリ「名前の通りって?」

テトラ「オクターブ(octave)の "oct-" というのは $8$ を意味するからですよね、先輩!」

「うわびっくりした!」

ユーリ「テトラさん!」

登場人物紹介(追加)

テトラちゃんの後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

「まるでミルカさんみたいに突然登場したね!」

テトラ「違いますよう! さっき二人を見つけて追いかけていたんですけど、 急に走り出したりするので、なかなか追いつけなかっただけです。 人がいっぱいで……ところで、オクターブがどうしたんですか?」

ユーリ「あのね、 $1$ オクターブって $8$ 音だから、八個目の音を作ったら $1$ オクターブの音がぜんぶできると思ったの。でも、 $C\#$ になっちゃった」

「ああ、それで数を数えてたんだ……テトラちゃんはもう《ピタゴラス音階》のパネルはぜんぶ見たの?」

テトラ「あっ、はい。そうです。なのでネタバレにならないように黙っていますねっ!」

テトラちゃんはそう言って『口にチャック』のジェスチャをする。

ユーリ「テトラさん黙っちゃった……えーっと、 八個目で $C$ にならないってことは、もっと進まないと $1$ オクターブ上には行けないんだね。 $8$ 音よりも多くなるんだ」

「$F\#$ や $C\#$ も出てきたからね……ああ、そうだよ。 だって、ピアノの鍵盤を見ればわかる。 $1$ オクターブにあるキーは、 $8$ 個じゃなくて $12$ 個だ。黒鍵があるから」

ユーリ「あー、そだね。そんじゃ、 $3/2$ 倍を $12$ 回繰り返せばいーんだ!」

テトラ「あっ、それはっ……(チャック)」

「うん? いや、おかしいよ、ユーリ。それは違うはずだ」

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(2020年2月14日)

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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki


『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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