第473回 シーズン48 エピソード3

フェルマーの小定理（前編）

図書室

僕「テトラちゃん？」

テトラ「あっ……先輩！　いらしてたんですね」

僕「いま来たところ。 それは……村木先生からの《カード》かな？」

テトラ「はい、そうです」

僕「どんな謎？　思わせぶりなパズルかな？」

テトラ「パズルというわけではありませんね……今回は数学の問題。 ギミックなしですっ！」

僕「これはフェルマーの小定理だよね？」

テトラ「はい、そうです」

僕「でも、フェルマーの小定理なら、以前いっしょに証明したことなかったっけ？」

テトラ「ありました。それはよくわかっています。 あのときは数学的帰納法と二項定理を使って証明しました（第399回参照）」

僕「そうだったね」

テトラ「でも、あたしはこの機会に、 あれとは別の証明を見つけることができないかと考えています」

僕「おお、それはすごい！」

テトラ「あたしは、 このフェルマーの小定理はいったい何を言ってるのか、 もっと深く知りたいと思ったからです。 あたしが思い描いているイメージにぴったりくる証明は考えられないか……と思いました」

僕「すごいなあ。 テトラちゃんが思い描いているフェルマーの小定理のイメージって、どういうもの？」

テトラ「い、いえっ、そんなに大した話ではありません。 あたしは、ただ、 あたしが感じている不思議ポイントを解消したいというだけなんです……」

僕「テトラちゃんが感じているフェルマーの小定理の不思議ポイント、教えてよ」

テトラ「は、はい……では、 あたしが考えていた道すじに沿ってお話ししてもいいでしょうか？」

僕「もちろん！」

小さな数で考える

テトラ「で、ではお話しします。 まず、この《カード》を見たとき、いつもながらあたしはドキドキしました。 難しそうに見えるからです。『これは知ってる。《フェルマーの小定理》だ。証明もしたことある』 と思ってもダメです。やっぱりドキドキします」

僕「まあ、確かにね。 でも（・・）、 あたしは（・・・・）」

テトラ「でも、あたしは……先輩、あたしのセリフを予測するのやめてくださいね」

僕「ごめんごめん」

テトラ「でも、 あたしは《小さな数で確かめる》ことをすれば落ち着くことを知っています。 具体的な数で根気よくやってみれば、 見かけの難しさはちゃんと消えてくれるんです。 その代わり、本当に難しいところが現れてくるんですけれど……」

僕「なるほどね。ともかくテトラちゃんは具体的に試してみた？」

テトラ「はい。《フェルマーの小定理》に書かれている言葉をそのままなぞりながら進みます。 『$p$ は素数』 というのですから、 $$ p = 2,3,5,7,11,\ldots $$ のどれかを選んで試すことができます。たとえば、 $$ p = 7 $$ として試すことにします」

僕「うん」

テトラ「それから、 『$n$ は $p$ と互いに素な整数』 というのですから、 『$n$ と $p$ の最大公約数は $1$』 ということになります。 それが《$n$ と $p$ は互いに素》という意味ですから。 $n$ と $p$ の最大公約数を $\GCD{n}{p}$ と書くことにすると、 $n$ と $p$ が互いに素というのは、 $$ \GCD{n}{p} = 1 $$ と書けます。 いま $p = 7$ として考えているので、 $$ \GCD{n}{7} = 1 $$ という $n$ を何か選ぶことにします。 たとえば、 $$ n = 2 $$ を選ぶことにしました」

僕「テトラちゃん、さくさく進むね」

テトラ「このあたりはいつも通る道ですからっ！　出てきた言葉の定義を確認して、 その具体例を作って試してみる。具体例を作ることで、 自分がその言葉の定義をちゃんと理解していることを試す。 まさに《例示は理解の試金石》ですっ！」

僕「確かに！」

テトラ「そして《フェルマーの小定理》の式がこれです。 $$ n^{p-1}\equiv 1\pmod p $$ これを $p = 7$ で $n = 2$ として書くなら、 $$ 2^{7-1}\equiv 1\pmod 7 $$ となって、文字が消えました。 こうなれば、こわくありません。 具体的に計算すれば、成り立つかどうか確かめられますから。 まず $2^{7-1}$ を計算すると、 $$ 2^{7-1} = 2^6 = 64 $$ になります。 そして $\pmod 7$ ですから、 あたしたちは《$7$ を法とする世界》で考えています。 $$ 64 \div 7 = 9\,\text{余り}\,1 $$ ですから、 $64$ を $7$ で割った余りは $1$ です。 したがって、確かに、 $$ 2^{7-1}\equiv 1\pmod 7 $$ は成り立ちます。 これで、 $p = 7$ で $n = 2$ のとき、 $$ n^{p-1}\equiv 1\pmod p $$ が成り立つことが確かめられました」

僕「うんうん。これがテトラちゃんのいう《フェルマーの小定理》のイメージなの？」

テトラ「え？　あっ、違います違います。 これはあたしが胸のドキドキを鎮めるための儀式みたいなものです。 《小さな数で考える》や《具体的な数を当てはめてみる》ということですっ！」

僕「ここからテトラちゃんのイメージが展開するんだね」

さまざまな $n$ で試してみる

テトラ「いまあたしが試したのは $p = 7$ で $n = 2$ の場合だけでした。 でも、《フェルマーの小定理》がいうのは、

• $p$ が、どんな素数であっても……
• $n$ が、 $p$ と互いに素などんな整数であっても……
• $n^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ が成り立つ！

僕「……」

テトラ「$p = 7$ は素数ですから、 $\GCD{n}{p} = \GCD{n}{7} = 1$ となる $n$ を探すのは難しくありません。 だって、 $p$ の倍数でない整数 $n$ はすべて $\GCD{n}{7} = 1$ となるわけですから」

僕「そうだね。 $p$ は素数だから素因数は $p$ だけ。 $\GCD{n}{p} = 1$ ということは $n$ は $p$ を素因数に持たない。 いいかえると $n$ は $p$ の倍数ではない」

テトラ「はい。そういうことです。なので、 $p = 7$ と $n = 1,2,3,4,5,6$ で $$ n^{p-1} \equiv 1 \pmod p $$ が成り立つことを試してみます」

僕「ねえ、テトラちゃん。いま繰り返して $3$ を掛けたけど、 $$ 3^3 \equiv 6 \pmod 7 $$ まで来たなら、両辺を $2$ 乗して $3^6 \equiv 36 \pmod 7$ が得られて、 すぐに $$ 3^6 \equiv 1 \pmod 7 $$ まで行けたんじゃない？」

テトラ「はい、でも……」

僕「$a \equiv b \pmod p$ のとき、 $a^2 \equiv b^2 \pmod p$ なのは証明できるよ。 だって $a - b$ が $p$ の倍数なら、 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ も $p$ の倍数だからね」

テトラ「たしかに、その方が $3^{7-1}\equiv 1 \pmod 7$ については早く確かめられます。 それは先輩のおっしゃる通りです。 でも、先ほどあたしは、意識的に $3$ を繰り返し掛けようと思ったんです」

僕「それはまたどうして？」