第470回 シーズン47 エピソード10

順序から圏へ（後編）

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圏の定義

ミルカ「ここまでで、 圏、対象、射、 射の始域と終域、 合成射と恒等射を説明した」

テトラ「はい。大小関係の圏 $\CatA$ という例のおかげで、少しイメージがわかってきました」

ミルカ「では次に進む前にいったんまとめておこう」

テトラ「はい、大丈夫です……なんとか」

ミルカ「ではクイズ……いや、問題を出そう。 $\ID{a}$ という表記の妥当性についてだ」

テトラ「$\ID{a}$ は $a$ から $a$ への恒等射を表すもの……ですよね？　表記の妥当性といいますと？」

僕「一意性（いちいせい）の問題？」

ミルカ「そうだ」

テトラ「いえる……と思います」

ミルカ「答えとしてはそれでいい。 $a$ の恒等射は $a$ に対してたった一つしか存在しない。 だからこそ、 $\ID{a}$ という表記がゆるされるわけだ」

テトラ「？」

僕「もしも $a$ に対して二つの異なる恒等射 $i_1$ と $i_2$ が存在したら、 $\ID{a} = i_1$ なのか $\ID{a} = i_2$ なのかわからなくなるからだね。 $\ID{a}$ と表記するからには $a$ に対してたった一つの射が決まらないと困るっていうこと」

テトラ「ははあ……」

ミルカ「いまの彼の説明がそのまま証明の第一歩になる。 つまり、 二つの射 $i_1$ と $i_2$ がどちらも $a$ の恒等射だとしたら、 $i_1 = i_2$ が成り立つことを証明すればいい」

僕「うんうん。 一意性を確かめるときは、 《二つあったとすると、その二つは等しい》 を示すのは基本だね」

ミルカ「この証明、テトラは読み解けた？」

テトラ「……はい。 $$ i_1\circ i_2 $$ を二通りに読み替えているんですね。 $i_1$ と $i_2$ のどちらを恒等射として考えるか。恒等射としての役割を交換しています」

僕「そうだね。 これと似た証明は、恒等写像の一意性でもやったことがある」

テトラ「恒等写像？」

僕「集合 $X$ 上の恒等写像 $\Ident$ というのは、 任意の $x\in X$ に対して、 $$ \Ident(x) = x $$ が成り立つ $X$ から $X$ への写像のこと。 恒等写像の一意性も同じだよ。 《二つあったとすると、その二つは等しい》 という証明だね」

テトラ「ははあ、なるほど。 $\Ident_1$ と $\Ident_2$ を出してきて、 $\Ident_1 = \Ident_2$ を導く。確かに同じですね」

ミルカ「確かに《二つあったとすると、その二つは等しい》という方法という意味では同じだが……」

僕「同じだが……何？」

ミルカ「圏論の視点に立った別証明も楽しい」

僕「圏論の視点？」

ミルカ「『ベーシック圏論』の著者レンスターは序論の冒頭で

　　《圏論は鳥の目で数学を俯瞰（ふかん）する》

と述べている。鳥の目で俯瞰するのが圏論の視点だ」

僕「よくわからないなあ……」

ミルカ「その話の前に、大小関係の圏（第469回参照）とは別の圏について話そう」

テトラ「鳥の目で数学を俯瞰する……？」

圏 $\CatN$ を作ろう

ミルカ「これから、一つの圏を作っていこう。 名前は $\CatN$ とする」

僕「いいよ」

ミルカ「はい、テトラ？」

テトラ「その $\CatN$ という圏の対象は何ですか？」

ミルカ「それは正当な質問だ。 圏 $\CatN$ の対象はたった一つしかない。 そしてその対象が何であるかは問わない。 何であっても構わない」

テトラ「たった一つ？」

僕「何であっても構わない？」

ミルカ「その対象自身が何か特別な性質を持つ必要はないということ。 単に圏 $\CatN$ の射に対して始域と終域になるだけだ。 数学ではこういうとき唯一の対象として $\ast$ や $\bullet$ を使ったりする」

テトラ「何でもいいなら……たとえば $\CN$ でもいいんですか？」

ミルカ「もちろん、構わない。ではそれを採用しよう。 圏 $\CatN$ の対象は $\CN$ と表記する唯一のものだ」

僕「圏 $\CatN$ の射は？」

ミルカ「$0$ 以上の整数全体の集合をいま $N$ とする。 つまり、 $$ N = \SET{0, 1, 2, 3, \ldots} $$ ということ。 $N$ は集合の名前で、 $\CatN$ は圏の名前だ。 そして、圏 $\CatN$ の射は $n\in N$ に対応させて $f_n$ という名前にしよう。 すなわち $\CatN$ の射は、 $$ f_0, f_1, f_2, f_3, \ldots $$ というもの。そして射の合成 $\circ$ は、 $$ f_n\circ f_m = f_{m+n} $$ によって定義する。 これが結合律を満たすことは $N$ 上の $+$ が結合律を満たすことからいえる。 なお、合成の定義では、 $f_m$ が先であることに注意。 $$ \FromArrowViaArrowTo{\CN}{f_m}{\CN}{f_n}{\CN} $$ もっとも、 $m+n = n+m$ だから 圏 $\CatN$ で射の合成 $\circ$ は可換になるが。 さあ、これで圏 $\CatN$ が定義できた」

僕「うーん……」

テトラ「……難しいです」

ミルカ「何が難しい？」

テトラ「一つ一つは難しくありません。 $N$ は $0$ 以上の整数全体の集合。 射は $f_0,f_1,f_2,f_3,\ldots$ で、射の合成は足し算……でも、 これが圏だと言われても、何をどう納得すればいいんでしょう」

ミルカ「この圏 $\CatN$ は、どんな数学的対象を圏と見なしているのだろうか」

テトラ「……」

ミルカ「たとえば、この圏 $\CatN$ の恒等射は何か？」

テトラ「すみません……わかりません」

ミルカ「君は？」

僕「いや、難しいね。僕にもわからない。 $N = \SET{0,1,2,3,\ldots}$ なんだから、 恒等射は、 $$ \ID{0},\ID{1},\ID{2},\ID{3},\ldots \qquad \textrm{（？）} $$ ということだよね？」

ミルカ「テトラ？」

テトラ「先輩、それは違いますよ。この圏 $\CatN$ の恒等射は、 $$ \ID{\CN} $$ です。対象が $\CN$ しかないんですから、恒等射も $\ID{\CN}$ しかないはずです」

僕「あっ！」

ミルカ「テトラが正しい。 君は圏 $\CatN$ の対象が $0,1,2,3,\ldots$ だと勘違いしているようだ」

僕「そうだね。 圏 $\CatN$ を考えるとき、 $N$ から $N$ への写像が射だと勘違いしてた。 そのせいで $f_0,f_1,f_2,f_3,\dots$ が射だと言われたときも混乱してたんだ」

ミルカ「だから、圏を考えるときには《対象は何か》と問うのは正しい態度なのだ」

テトラ「あたし、いま閃きました！　この圏 $\CatN$ の恒等射は、 $f_0$ ですね。 つまり、 $$ \ID{\CN} = f_0 $$ ですっ！　この圏 $\CatN$ は、 $0$ 以上の整数の足し算のようすを表してるように感じます！」

ミルカ「それでいい。

• $N = \SET{0,1,2,3,\ldots}$ という集合
• 二項演算子 $+$ で表される、結合律を満たす二項演算
• $0$ と表記される単位元

テトラ「モノイド？」

僕「モノイド？ ……それは、群や環や体のような種類の名前？」

ミルカ「そうだ。 モノイドは、逆元の存在を仮定しない群といえる」

テトラ「モノイド……」

ミルカ「圏 $\CatN$ はモノイドの中でも特に可換性を持つもので、可換モノイドと呼ばれるものの例と見なせる」

テトラ「可換モノイド……」

ミルカ「名前はともかく、モノイドを圏と同一視する例は、 集合と写像のイメージを圏の話から切り離すのにとてもよい」

僕「確かに……」

圏 $\CatN$ を具体的に考える

ミルカ「テトラは圏 $\CatN$ の理解が早かったな」

テトラ「あ、いえ、まだ《お友達》になったばかりです。 でも《小さな $n$ で考える》ことでわかったんですよ」

僕「なるほどなあ……テトラちゃんは基本に忠実なんだね」

ミルカ「テトラは、 圏 $\CatN$ に対象が $\CN$ しかない事実がどう効いているかを答える」

テトラ「対象が一つである事実がどう効いているか……」

僕「なるほど」

ミルカ「君は口を閉じる」

僕「はいはい」