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第315回 シーズン32 エピソード5
ふれあう三角関数:タンジェントはお友達(前編)

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

テトラちゃんの後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

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図書室にて

いまは放課後。ここは高校の図書室。

は書架のあいだを歩きながら本の背表紙を眺めていた。と、後輩のテトラちゃんがひょいと顔を出す。

テトラ「せーんぱいっ!」

「ああ、テトラちゃん」

テトラ「先輩、クイズです。すぐに答えてくださいね」

「いきなりのテトラクイズだね。どういう問題?」

テトラ「$\cos(\theta + \pi/4)$ を求めてくださいっ!」

「ええと、求めるっていうのは?」

テトラ「あっと、失礼しました」

テトラクイズ

$\cos\theta\REMTEXT{と}\sin\theta$を使って、 $$ \cos\PS{\theta+\frac{\pi}{4}} $$

を表してください。

「なるほど。うん、これは加法定理を使えば一発だよね。あっちの机で書いてもいい?」

テトラ「先輩、せんぱい。暗算してくださいよう! あ・ん・ざ・ん!」

暗算? そういうチャレンジなのね、はいはい、ええと……」

は、加法定理の式を思い浮かべる。

「……うん、 $1/\sqrt2$ でくくれば、こうだね。くくらなくてもいいけど」

テトラクイズへの答え

$$ \cos\PS{\theta + \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt2}\PS{\cos\theta - \sin\theta} $$

テトラ「やっぱりサッとできちゃうんですね……」

「まあこのくらいはできるよ。基本的な三角関数トレーニングはしてるからね(『数学ガール/ポアンカレ予想』参照)」

テトラ「あたしも最近、三角関数の公式を練習していますが、難しいですよね。先輩はこの $\cos(\theta + \pi/4)$ はどういうふうに計算したんですか?」

「いや、ふつうに加法定理を使っただけだよ。 $\cos(\alpha + \beta)$ はこうなるよね。これは覚えている」

$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$

テトラ「はい」

「それから、有名角の三角関数の値も覚えている。この場合は $\pi/4$ つまり45度のコサインとサイン」

$$ \left\{ \begin{align*} \cos\frac\pi4 = \frac1{\sqrt2} \\ \sin\frac\pi4 = \frac1{\sqrt2} \end{align*} \right. $$

テトラ「はいはい、そうですね。それもサッと出るんですか……」

「うん。もちろん覚えているんだけど、 単位円周上の点が45度にあるところを想像すれば、 $\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$ になるのは軽くチェックできる。 一つの角度が45度になる直角三角形は直角二等辺三角形ということで、 対角線の長さが1になっている正方形の一辺の長さになるからね」

一つの角度が $\pi/4$ の直角三角形は直角二等辺三角形になる

テトラ「確かにそうですね。三平方の定理で、 $$ \PS{\frac{1}{\SQRT2}}^2 + \PS{\frac{1}{\SQRT2}}^2 = 1^2 $$ ということですね?」

「そうそう。この場合は二辺がたまたま $\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$ で等しいからくくって答えたんだ。 くくらなくても正しいけど}

$$ \begin{align*} \cos\PS{\theta + \frac\pi4} &= \cos\theta\cos\frac\pi4 - \sin\theta\sin\frac\pi4 && \REMTEXT{加法定理から} \\ &= (\cos\theta)\frac1{\sqrt2} - (\sin\theta)\frac1{\sqrt2} && \REMTEXT{$\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$から} \\ &= \frac1{\sqrt2}(\cos\theta - \sin\theta) && \REMTEXT{$1/\sqrt2$でくくった} \end{align*} $$

テトラ「先輩のおっしゃることはよくわかります。 テトラもいちおうその計算はできるんですが、サッと出てきません。練習でしょうか?」

有名角と《お友達》になる

「そうだね。有名角の値や加法定理はよく練習して損はないよね。 有名角の値はほんの数個だけだからすぐに覚えられるし、単位円を思い浮かべればすぐにチェックできる。 分数で混乱しないように注意しないといけないけど」

テトラ「有名角は $\pi/6, \pi/4, \pi/3$ とか?」

「うん、それから $0, \pi/2, \pi$ もいちおうね」

テトラ「なるほど」

「その他に $2\pi/3, 3\pi/2$ も練習すると楽しいけど、それは暗記というよりも単位円を思い浮かべる練習になるかな」

テトラ「練習って暗記カードを作るんですか? 表に $\cos\pi/3$ と書いてあって裏に $1/2$ と書いてあるみたいな」

「それでもいいけど、録音してもいいよね」

テトラ「録音?」

「自分の声で $\cos\pi/3$ と録音して、数秒あいだをあけて $1/2$ と録音する」

テトラ「なるほどですっ! それを使ってトレーニングするんですか」

「ゲーム感覚だよね。あとは友達と問題を出し合うのも練習になるかな」

テトラ「問題を出し合うのは楽しそうですね。問題。 $\cos\pi/2$ イコール?」

「ゼロ。そうそう、そういう具合に問題を出すんだ」

$$ \cos\frac\pi2 = 0 $$

テトラ「はい」

「問題。 $\sin\pi/2$ イコール?」

テトラ「えとえと、点が上に来るから……えっと、1です!」

「はい、正解です」

$$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$

テトラ「いきなり言われるとドキドキしちゃいますね。問題。 $\cos2\pi/3$ イコール?」

「$-1/2$ だね」

$$ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} $$

テトラ「先輩、速すぎですっ!」

「1の三乗根である $\omega,\omega^2$ の実部だから、すぐに出るよ。複素数平面で、正三角形の頂点」

$x^3 = 1$ の解

三次方程式 $x^3 = 1$ の解は、 $x = 1, \omega,\omega^2$ になる。

テトラ「なるほど……先輩は有名角の値が《お友達》になっているんですね……」

「お友達?」

テトラ「そうです。友達の名字を言われるとあだ名や性格がパッと思いつくみたいに」

「そうかもしれないね。《お友達》か……」

加法定理と《お友達》になる

テトラ「有名角もそうですけれど、加法定理も練習する必要がありますよね」

「といっても、加法定理については二つをしっかり覚えておくと、あとは導けちゃうけど」

テトラ「《しっかり覚える加法定理》?」

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(2021年2月5日)

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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki


『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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