第232回 シーズン24 エピソード2

サイコロロン（後編）

僕の部屋

ユーリ「いやー、うまく行くもんだねー。 お兄ちゃんが言ってた《頂点に $A,B,C,D,A',B',C',D'$ と名前を付ける》 ってゆーの、おもしろいね！」

僕「そうだね。頂点に $A,B,C,D$ という名前と、 $A',B',C',D'$ という名前を付ける。 $A$ と $A'$ は同じ種類の頂点だと考えた上で、サイコロを机の上に置く。 机には頂点が置かれる $4$ 個の場所がある。サイコロの置き方は $A,B,C,D$ という $4$ 種類の頂点がどの場所に来るかにちょうど対応している。 だから、サイコロの置き方 $24$ 通りは、 $4$ 個を一列に並べる順列の数になっていることがわかる……」

ユーリ「$24$ 通り全部確かめたもんね！（第231回参照）」

僕「でも、まだ、完全には《わかった感じ》がしないなあ」

ユーリ「そう？」

僕「うん。ユーリが気付いた $24 = 4 \times 3 \times 2 \times 1$ という事実はなかなか冴えていたよ。 そして、すべての場合を確かめたから《もれなく、だぶりなく》対応が付いていることはわかる。 でもね、立方体の頂点に名前を付けてくるくる回したときに、 $A,B,C,D$ の順列がどうして《もれなく、だぶりなく》出てくるのか、うまく説明はできない……まだ」

ユーリ「全部確かめたのに？」

僕「どうしてそうなるか、もう一歩踏み込みたいよね」

階乗

ユーリ「ふーん……ところでさー、場合の数を考えるときって、いつも階乗が出てくるよね」

僕「いつも？　いまユーリ、《いつも》って言った？　《いつも》とは限らないよね。それは《誤った一般化》だよ」

ユーリ「突っかかるにゃあ……だって、 $4$ 個のものを一列に並べる場合の数は、 $$ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 $$ 通りあるじゃん。これが階乗でしょ」

僕「そうだね。順列の個数は階乗になる。それから組み合わせでも階乗が出てくる。 $n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ場合の数は、 $$ \frac{n!}{r!(n-r)!} $$ になる。だから階乗を使って表せる。 確かにユーリがいうとおり階乗が出てくることは多いよ。《いつも》とは限らないけど」

ユーリ「それって何で？」

僕「何で、とは？」

ユーリ「場合の数を考えるとき、階乗がよく出てくるのは何で？」

僕「うーん、《何で》と言われても困るなあ」

ユーリ「そこをなんとか説明」

僕「場合の数では何かを並べて考えることがよくあるよね。 つまり、順列はとても基本的なもの。 そして、順列では並べていく途中で、 並べられるものが一つずつ減っていく」

ユーリ「やっぱ説明はいーや」

僕「直感的には樹形図を考えると納得するよ」

ユーリ「じゅけーず」

樹形図

僕「樹形図は、場合の数を《もれなく、だぶりなく》考えるための道具の一つだよね。 $A,B,C,D$ という $4$ 個のものを並べる順列はぜんぶ列挙できるけど、 ただ並べるよりも樹形図にした方がまちがいは少ない」

ユーリ「あー、そだね」

僕「樹形図を左から順番に見ていくと、最初の枝分かれは $4$ 本ある。 これは、最初に置くのが $A,B,C,D$ の $4$ 通りあるから。 そして、そのそれぞれに対して次の枝分かれは $3$ 本ある。 $4$ 本が $3$ 本に減ったのは、次に置けるのが $3$ 通りに減ったから」

ユーリ「最初に置いたのは使えないから」

僕「そういうこと」

ユーリ「そっか。だから掛けるものが一つずつ減っていく……それで階乗が出てくる。それだけの話？」

僕「そうそう。場合の数では順列がよく出てくる。 そして順列は階乗を使ってうまく計算できる。 それは、 端から置けるものを順番に決めていって、 置いていくたびに、次に置けるものが一つずつ減っていくという具合だね」

ユーリ「サイコロも？」

僕「え？」

サイコロと階乗

ユーリ「サイコロの置き方が $4$ の階乗になるのも、 次に置けるものが一つずつ減っていくからなの？」

僕「おっと！……ちょっと待って」

ユーリ「ねー……」

僕「確かに！　 $4$ 個の並べ替えにこだわらないで、素直に数えればわかるんだ。 $4$ 通りのそれぞれに対して $3$ 通り、確かにあるなあ！　うんうん」

ユーリ「ねー！　一人で納得しないでよー」

僕「ごめんごめん。 ユーリがくれたヒントはなかなかいいよ。 僕たちはいま、サイコロの置き方について考えている」

ユーリ「$4! = 24$ 通り」

僕「そうだね。机に描いた $1,2,3,4$ の場所に対して、 $A,B,C,D$ のどの頂点が来るかを考える。 サイコロには $8$ 個の頂点があるから、 わかりやすく区別するために $A,B,C,D,A',B',C',D'$ と名前を付けたけど、 気持ちとしては $A$ と $A'$ を同じ種類の頂点だと見なして、 $A,B,C,D$ の $4$ 個のものを並べ替えているつもり」

ユーリ「そんで？」

僕「さっきの樹形図と同じように考える。 つまり、場所 $1$ に来ることができる頂点は $A,B,C,D$ の $4$ 種類がありうるよね」

ユーリ「オッケー。どんどん進んでよ」

僕「それで場所 $1$ に置く頂点は決まった。仮に $A$ だとしよう。 そのとき、場所 $2$ には $A$ 以外の頂点 $B,C,D$ の $3$ 種類がどれも来ることができるかな、と考える」

ユーリ「にゃるほど。樹形図といっしょで、一つ減ったんだね」

僕「そして実際、場所 $2$ には、 $3$ 種類のすべてが来ることができる。 それは、《$A$ と $A'$ を結んだ対角線を回転軸とした回転》を考えればいいんだ！ そうすれば、場所 $1$ に頂点 $A$ を置いたままで、場所 $2$ には $B,C,D$ という $3$ 種類の頂点を持ってくることができる」

ユーリ「ほほー！　斜め攻撃ですか」

僕「頂点への名付け方を考えると、 $A$ から辺 $1$ 本分離れたところにある頂点は $B,C',D$ の $3$ 通りがあるから、 場所 $1$ に $A$ を置いたままで場所 $2$ に来ることができる頂点は確かに $3$ 種類あるわけだね。《もれなく、だぶりなく》$3$ 種類がある」

ユーリ「てことは、場所 $1$ と場所 $2$ に来る頂点が決まったところで、 $4 \times 3$ 通りある！　……でも、階乗を作るためには、次がだめじゃん！」

僕「だめって？」

ユーリ「だって場所 $1$ と場所 $2$ に来る頂点が決まったら、 場所 $3$ は決まっちゃうよ？ たとえば、場所 $1$ に頂点 $A$ を置いて、場所 $2$ に頂点 $B$ を置いたら、場所 $3$ は頂点 $C$ に決まっちゃうもん」

僕「ユーリは飲み込みが早いなあ。でも、大丈夫。 場所 $3$ に置ける頂点はちゃんと二種類ある。 $C$ と $D$ の $2$ 種類の頂点を場所 $3$ に置けるんだよ。 $A$ には $A'$ が、 $B$ には $B'$ があるからね。 サイコロを回して、ちょうど辺 $AB$ と辺 $A'B'$ を交換すればいい。 そうすると、場所 $1$ と場所 $2$ に置く頂点の種類は $A$ と $B$ に固定したまま、 場所 $3$ に $C$ と $D$ の $2$ 種類をどちらでも持ってくることができるんだ！」

ユーリ「……」

僕「ここまでで、場所 $1,2,3$ に置ける頂点が決まった。そして場所 $4$ に置ける頂点は自動的に決まる。 これで、 $4\times3\times2\times1$ が作れたね。階乗になった」

ユーリ「納得いかにゃい！」

僕「え、そう？　 $4$ 通り選べるのは、上下を結ぶ軸の回転があるから。 $3$ 通り選べるのは、対角線を軸とする回転があるから。 $2$ 通り選べるのは、反転できるから。 まとめると……」

• 場所 $1$ に来る頂点が $4$ 通り選べる（上下を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
• 場所 $2$ に来る頂点が $3$ 通り選べる（対角線を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
• 場所 $3$ に来る頂点が $2$ 通り選べる（辺 $AB$ と辺 $A'B'$ の交換）。そのそれぞれに対して、
• 場所 $4$ に来る頂点が $1$ 通り選べる（自動的に決定）。

ユーリ「場所 $1$ と場所 $2$ はナットク。でも場所 $3$ はナットクできーん！」

僕「場所 $3$ が納得できない？」

ユーリ「お兄ちゃんは《辺 $AB$ と辺 $A'B'$ の交換》で話を終わらせたけど、 おかしいよー。お兄ちゃんは、辺 $AB$ を辺 $A'B'$ に変えるっていったけど、じゃ辺 $AB'$ や辺 $A'B$ は？」

僕「いやいや、 $AB'$ や $A'B$ なんて辺はないから。 $A$ と $B$ という $2$ 種類の頂点を使った辺というのは、 $AB$ と $A'B'$ の $2$ 通りしかないんだよ」

ユーリ「えっ……あ、ほんとだ」

僕「だから、 $\prime$ のあるのとないのとを反転させるのは $2$ 通りなんだ」

ユーリ「うーん……なんかまだ、ごちゃついてるんだよー」

僕「うーん……まだ納得できないか……」

ユーリ「もう一声、バシッと決めて欲しい」

僕「……じゃ、こういうのはどうだろう。 サイコロをこんなふうに二つに分けるんだ。 《左手の世界》と《右手の世界》のように」