第233回 シーズン24 エピソード3

転んだ椅子（前編）

僕の部屋

ユーリ「いやー、うまく行くもんだねー。回転を考えると $24 = 4 \times 3 \times 2 \times 1$ が出てきてすっきりした！」

• 場所 $1$ に来る頂点が $4$ 通り選べる（上下を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
• 場所 $2$ に来る頂点が $3$ 通り選べる（対角線を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
• 場所 $3$ に来る頂点が $2$ 通り選べる（辺の中点を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
• 場所 $4$ に来る頂点が $1$ 通り選べる（自動的に決定）。

僕「うん、それはユーリが《わからない》と言い続けてくれたからだよ。 だから、すっきりした説明を探すことができたんだ。ただ……気になることがある」

ユーリ「へ？　まだ？」

僕「うん。頂点の名前の付け方が気になっている」

ユーリ「$A,B,C,D,A',B',C',D'$ でしょ？」

僕「そうなんだけどね。僕たちは、立方体の置き方が $24$ 通りあるということを調べている。 ユーリは $24 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4!$ になるということに気付いた。 だから、《サイコロの置き方》を《$A,B,C,D$ という $4$ 個のものの順列》で表現できないかと考えていた」

ユーリ「だから、それ、確かめたじゃん。お兄ちゃんが言ったんだよ。机の上に接する頂点 $4$ 個の並び替えだと思えばいいって」

僕「ちょうど対角線の位置にある点の組を $A$ と $A'$ のように名前を付けたけど、 それがどうも気になるんだよ。ご都合主義っぽくて」

ユーリ「……」

僕「……」

ユーリ「うーん……お兄ちゃんは何を気にしてるの？」

僕「もっと、もっと明確に《$4$ 個のものの順列》を確かめたいということ」

ユーリ「机の上に $1,2,3,4$ という $4$ つの場所があって、そこに $A,B,C,D$ という $4$ 個のものを並べて置くだけじゃなく？」

僕「そういうこと」

ユーリ「$4$ つの場所に $4$ 個のものを置けばいいんだよね？」

僕「その通り！　お、ユーリは何かいいアイディアがあるの？」

ユーリ「ない」

僕「なんだ」

ユーリ「でもさー、立方体なんだから、面か、辺か、頂点しかないじゃん？」

僕「……いや、ちょっと待った」

ユーリ「さっきから待ってんだけど」

僕「対角線を並べ替えるというのはどうだろうか。 そうだよ！最初からわかってたことじゃないか。 $A$ と $A'$ という対角線の位置にある二つの頂点を同一視するって！」

ユーリ「対角線を並べ替える……って意味わかんない」

僕「立方体の対角線は全部で $4$ 本あるよね。ここでは、立方体の中央を通る対角線のことだよ。 立方体の置き方をどう変えても、 $4$ 本の対角線が来る場所はいつも決まっている。 だから、そこを《対角線が来る $4$ つの場所》として $1,2,3,4$ と番号を付ける」

ユーリ「おー……」

僕「そして、具体的なサイコロの $4$ 本の対角線に $A,B,C,D$ と名前を付ける。 うん、これでうまくいく！対角線上にある二つの頂点 $A,A'$ を結ぶ線分を考えることは、うまいこと同一視してることになるんだ！」

ユーリ「えーと？」

僕「場所 $1,2,3,4$ のそれぞれに、対角線 $A,B,C,D$ のどれが来るかを考えるということだよ。 たとえば、 $1,2,3,4$ に $A,B,C,D$ が来る置き方を $ABCD$ と呼ぶし、 $1,2,3,4$ に $B,C,D,A$ が来る置き方を $BCDA$ と呼ぶことにしよう」

僕「うん、これで心置きなく、 $\prime$ の記号を取り除くことができる。 $4$ つの場所 $1,2,3,4$ に対して、 $4$ 本の対角線 $A,B,C,D$ のどれがやって来るかを考える。 サイコロの $24$ 通りの置き方には、 $A,B,C,D$ の順列によって名前を付けることができるんだ！」

ユーリ「あたりまえだけど……不思議だにゃあ。 回転の軸のことを考えるとうまいこと $24$ 通りになるのはあたりまえだけど、 この表を見てると不思議。うまいこと、ぴったり、はまる。それが不思議」

僕「そうだねえ」

ユーリ「はっ！！　ねねね、お兄ちゃん。回したらどーなるの？」

僕「何を回すって？」

ユーリ「サイコロを回転軸で回すと、この対応表でジャンプするわけじゃん？ 回転軸が変わるとジャンプ先が変わるよね。どんな形がでてくる？」

僕「なるほど、それはおもしろそうだな。たとえば、 $ABCD$ をひとつの対角線でまわすと、 $$ ABCD \to CABD \to BCAD \to ABCD \to CABD \to BCAD \to \cdots $$ とジャンプするね。 $ABCD,CABD,BCAD$ を結ぶ三角形だ」

ユーリ「え、どれどれ？　ちゃんと表に描いてよー」

僕「こういう三角形になるということ」

ユーリ「ほほー……これって、対角線 $D$ を回転軸にした場合だね？」

僕「そうだね。対角線 $D$ を回転軸にしたともいえるし、場所 $4$ にある対角線を回転軸にしたともいえる。 うん、回転軸になっている $D$ は場所 $4$ から動かない。 $D$ は動かないで、 $A,B,C$ が順にズレていってる」

ユーリ「ふんふん。 $ABCD$ から始めたからこーゆー三角形だけど、隣の $BCDA$ から始めて、場所 $4$ にある対角線 $A$ で同じことやったら、 別の三角形になるよね」

僕「そうだね！今度は $A$ が場所 $4$ から動かないで、 $B,C,D$ が順にズレていくはず」

ユーリ「そして次は……」

僕「できたできた……」

ユーリ「できたけど……図に描けばわかりやすくなるわけでもないね！ごちゃごちゃしただけじゃん！ こないだテレビでやってた『シン・ゴジラ』にこういう図出てこなかったっけ」

僕「ゴジラの構造解析図だね！……おほん、時事ネタ自重。確かにごちゃごちゃしてるけど、対称性はあるね」

ユーリ「対称性って？」

僕「つまりね、でたらめに線が引かれているわけじゃないってこと。たとえば、 $$ \UL{ABC}D \to \UL{CAB}D \to \UL{BCA}D $$ の三角形とちょうど線対称の位置に、 $$ \UL{BAC}D \to \UL{ACB}D \to \UL{CBA}D $$ という三角形が描かれている。どちらも対角線 $D$ が動かない三角形だね」

ユーリ「ほんとだ……」

僕「他の三角形たちも、ペアがいるよ」

ユーリ「あっ、これって《左手の世界》と《右手の世界》だね（第232回参照）。 この二つの三角形は、サイコロをこっちから見るか、むこうから見るかの違い？」

僕「そういうことだねえ。あ、じゃあクイズ。 この二つの三角形を行き来するにはどういう回転をしたらいい？」

ユーリ「行き来するって意味がわかんない」

僕「そうか。もっと正確にいうと、 $ABCD$ という置き方から、 $BACD$ という置き方にジャンプするにはどういう回転になる？」

ユーリ「むむむ……」