登場人物紹介
僕:数学が好きな高校生。
テトラちゃん:僕の後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。
ミルカさん:数学が好きな高校生。僕のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。
僕とテトラちゃんとミルカさんの三人は、連続関数の問題を考えていた。
僕「最大値って、上界のうち最小のものじゃないのかな……」
ミルカ「それはいい予想。閉区間上の連続関数 $f(x)$ が取り得る値の最小上界は、 $f(x)$ が取り得る値の最大値になる。あとはそれを証明するだけだ」
僕「証明するだけね……」
テトラ「せ、先輩方。ちょっとお待ちください。テトラはただいま混乱中です。 考えるのは上界の最小値でいいんでしょうか。上界の最大値ではなく?」
僕「上界の最小値を考えるのでいいんだよ、テトラちゃん。 上界はたくさんあるけど、 そのうち最小のものが関数 $f(x)$ の最大値になるっていう話なんだから」
テトラ「ちょっと、図に描かせてください……」
《上界》と《最大値》のイメージ図
僕「どう?」
テトラ「なるほど……わかりました。最小上界、つまり上界のうち一番小さなものが、関数の最大値になりそうだ……ということですね」
ミルカ「定義も再確認」
最大値
$a \LEQ x \LEQ b$ を満たす、すべての $x$ に対して、 $$ f(x) \LEQ f(m) $$ を満たす $m$ が存在するとしよう(ただし、 $a \LEQ m \LEQ b$)。
このときの値 $f(m)$ を、集合 $\SET{ f(x) \SETM a \LEQ x \LEQ b }$ の最大値という。
論理式で表すなら、 $$ \exists m \in [a,b] \quad \forall x \in [a,b] \quad \bigl[\, f(x) \LEQ f(m) \,\bigr] $$ が成り立つときの $f(m)$ が最大値である。
上界
$a \LEQ x \LEQ b$ を満たす、すべての $x$ に対して、 $$ f(x) \LEQ M $$ を満たす実数 $M$ が存在するとしよう。
このときの $M$ を、集合 $\SET{ f(x) \SETM a \LEQ x \LEQ b }$ の一つの上界という。
論理式で表すなら、 $$ \exists M \in \REAL \quad \forall x \in [a,b] \quad \bigl[\, f(x) \LEQ M \,\bigr] $$ が成り立つときの $M$ が一つの上界である。
ミルカ「最小上界のことは上限(じょうげん)と呼ぶけれど、 いまは最小上界という言葉のまま話そう」
僕「最小上界が結局は関数 $f(x)$ の最大値になるんじゃないか、 というのが僕の予想だよ」
ミルカ「では証明を探っていこう。まず、最小上界を $M_0$ と置く」
ミルカさんはそこで軽くウインクした。
僕「えっ……?」
テトラ「ミルカさん? あ、あの……いまのは?」
ミルカ「ブックマーク代わりだよ」
テトラ「ブックマーク?」
ミルカ「話を進めよう。最小上界 $M_0$ はもちろん上界でもある。したがって、閉区間 $[a,b]$ に属するどんな実数 $x$ に対しても、 $f(x) \LEQ M_0$ が成り立つ。それはなぜか。テトラ?」
テトラ「は、はい。わかります。 $y = f(x)$ のグラフは $y = M_0$ の水平線以下にぜんぶ入っていることになりますから」
僕「というか、上界の定義そのものだよね。 $M_0$ が上界であるというのは、 $[a, b]$ に属するどんな実数 $x$ に対しても $f(x) \LEQ M_0$ ということだから」
テトラ「そうですね」
ミルカ「最小上界 $M_0$ は $f(x) \LEQ M_0$ を満たす。 だから、私たちの関心はこの不等式の等号が成立するかどうかだ。 $f(m) = M_0$ を成り立たせる $m$ は閉区間 $[a,b]$ 内に存在するか。 もしそのような $m$ が存在するならば、関数 $f(x)$ は最大値 $f(m)$ を取る。 $f(x) \LEQ M_0 = f(m)$ になるから」
僕「そしてそのとき、最大値と最小上界は一致するわけだね」
ミルカ「そういうこと」
テトラ「あ、あのう……あたしはここまで話についてきていると思うのですが、 いま、とても不安です」
僕「どうして?」
テトラ「あのですね。 $f(m) = M_0$ を成り立たせる $m$ が存在するかどうか……あたし、 こういう問題を見るといつも思うんです。いったいどこから考え始めればいいんでしょうか。 $f(x)$ という関数は具体的に与えられていません。 それなのに何かを考えなさいと言われると、 雲をつかむような気持ちになるんです。 いつもです。いつも、そんな気持ちになります」
僕「$f(x)$ は与えられているよね」
テトラ「えっ?」
僕「問題文に、実数の閉区間 $[a,b]$ から実数全体の集合への連続な関数 $f(x)$ とあるから……」
テトラ「連続な関数……という部分ですか?」
僕「きっとそれを使うんだと思うよ。《与えられているものは何か》と問いかけるなら、 $f(x)$ は連続……という条件と、 $M_0$ は最小上界である……という条件をきっと使うことになる」
ミルカ「……」
テトラ「$f(x)$ は連続という条件を、使う……?」
僕「たぶん、数列を作るんだと思うよ。 ほらさっきもそうだったよね。 数列を作って、その極限を考えた(第225回参照)」
テトラ「今回も?」
僕「うん、そうだよ。きっと数列を作るんだ。 そして関数の連続性を使って、 極限値 $M_0$ に等しくなる $f(x)$ がちゃんと存在する!……という筋書き」
ミルカ「あとはどんな数列を作るかだけの問題だな」
僕「うーん……」
ミルカ「《似た問題を知らないか》」
僕「うん、だから知ってるよ。でもあのときは上界が存在しないと仮定した背理法だったから……」
ミルカ「だから、話は違うと?」
僕「だって、ほら、 $1 < f(x_1), 2 < f(x_2), 3 < f(x_3), \ldots$ という性質を持つ $\LL x_n \RR$ を考えたよね。 今回は $f(x_n)$ を正の無限大に発散させるわけには行かなくて、極限値として……ん?」
ミルカ「今回は $f(x_n)$ を最小上界 $M_0$ に収束させたいんだろう?」
僕「……」
テトラ「先輩?」
僕「わかってきたぞ。いま考えているのはこういう問題4だよね」
問題4
実数の閉区間 $[a,b]$ から実数全体の集合への連続な関数 $f(x)$ の最小上界を $M_0$ とする。
このとき、 $f(x) = M_0$ となる実数 $x$ が閉区間 $[a,b]$ に存在することを証明せよ。
ヒント: $n \to \infty$ での極限値が $M_0$ である数列を作る。
僕「うん。こういう不等式を考えてみるんだ!」
$$ M_0 - \frac{1}{n} < f(x) $$テトラ「$M_0$ は最小上界ですよね。それよりも $\frac1n$ だけ小さな実数よりも $f(x)$ が大きい……?」
僕「$n$ は正の整数とする。たとえば、 $1$ のとき、 $$ M_0 - \frac{1}{1} < f(x) $$ という不等式を満たす $x$ は存在するかというと……」
テトラ「……わかりません」
僕「必ず存在するんだよ、テトラちゃん」
テトラ「……なぜですか。なぜそんなことがいえるんでしょうか」
僕「だって、 $M_0$ は最小上界だよね。 $M_0 - \frac{1}{n}$ は最小上界より小さくなる。 最小上界より小さいということは、 $M_0 - \frac{1}{n}$ は $f(x)$ の上界にはなれない。 上界ではない、ということは上界の定義を考えると、 $$ M_0 - \frac{1}{1} < f(x) $$ を満たす $x$ が閉区間 $[a,b]$ に存在するといえる! そこで、その $x$ の一つを選んで $x_1$ とする」
テトラ「何となく……わかってきました。こういう感じでしょうか」
僕「そうだね。そしてこのグラフでいうと、 $x_1$ は $x$ 軸のこの範囲から選ぶ」
テトラ「ということは、 $x_2, x_3, x_4$ はここから選ぶのですね」
僕「それをずっと続けていける。 $n = 1,2,3,\ldots$ でね。だって、 $M_0$ は最小上界だから! だから、 $x_1, x_2, x_3, \ldots$ の存在がいえる」
$$ \begin{align*} M_0 - \frac{1}{1} &< f(x_1) \\ M_0 - \frac{1}{2} &< f(x_2) \\ M_0 - \frac{1}{3} &< f(x_3) \\ M_0 - \frac{1}{4} &< f(x_4) \\ M_0 - \frac{1}{5} &< f(x_5) \\ &\,\vdots \\ M_0 - \frac{1}{n} &< f(x_n) \\ &\,\vdots \\ \end{align*} $$ミルカ「ふむ。それで?」
僕「それで、この問題4は証明できたね」
問題4
実数の閉区間 $[a,b]$ から実数全体の集合への連続な関数 $f(x)$ の最小上界を $M_0$ とする。
このとき、 $f(x) = M_0$ となる実数 $x$ が閉区間 $[a,b]$ に存在することを証明せよ。
ヒント: $n \to \infty$ のときに $M_0$ が極限値になる数列を考える。
ミルカ「……」
僕「数列 $\LL x_n \RR$ を考えると、 これは無限数列になって、しかも $x_n \in [a,b]$ になる。 ということは、 二つの山になったりしても大丈夫なように、収束する部分列を取る考え方が使えるね(第225回参照)。 数列 $\LL x_n \RR$ から、必ず収束する部分列 $\LL X_n \RR$ を作ることができる。 $[a,b]$ という区間を二等分して、無数の項を含んでいる区間の方を選んでいくという論法。 実数列を考えているから、区間縮小法を使って極限値 $X_\infty \in [a,b]$ の存在がいえる」
テトラ「なるほど! 確かに同じ議論ですね!」
僕「関数 $f(x)$ は連続だから、 $n \to \infty$ で $f(X_n) \to f(X_\infty)$ になって、 $f(X_\infty) = M_0$ がいえた。これはすなわち $f(x) = M_0$ を満たす $x$ が存在すると主張している」
テトラ「これで、問題4が証明できて、最小上界 $M_0$ と $f(x)$ の最大値が一致することがわかりましたから、 問題3も証明できましたね!」
問題3
実数の閉区間 $[a,b]$ から実数全体の集合への連続な関数 $f(x)$ には、上界が存在することがいえた。
では、この関数が最大値を持つことを証明せよ。
僕「そうだね!」
ミルカ「残念ながら、まだだ」
テトラ「え……まだですか?」
僕「どうして?」
ミルカ「では、ブックマークに戻ろう」
ミルカさんが、もう一度ウインクをした。
ミルカ「私たちは最小上界を $M_0$ と置いた。 そして問題4ではその $M_0$ を使って $f(x)$ が最大値を持つことを証明した。 しかしこの議論には大きな欠けがある」
テトラ「大きな欠け? それは何でしょう、わかりません……」
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