この記事は『数学ガールの秘密ノート/数を作ろう』として書籍化されています。
登場人物紹介
僕:数学が好きな高校生。
ユーリ:僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
いつものように従妹のユーリがやってきた。 僕の部屋に入ってくるなり、こんなことを言い出す。
ユーリ「いやー、こないだの話はおもしろかったよね」
僕「こないだの話って?」
ユーリ「ほらほら《三角形の整数》って作ったじゃん(第154回参照)。 《ぐるぐるワン》の時計で足し算引き算」
僕「ああ、あの話か。そうだね。何だか小さな数の世界を作っているみたいで、確かに楽しいね」
《三角形の整数》
ユーリ「パターンも $9$ 通りしかないからめんどくさくないし」
《三角形の整数》の足し算
$$ \begin{align*} \TR0 + \TR0 &= \TR0 \\ \TR0 + \TR1 &= \TR1 \\ \TR0 + \TR2 &= \TR2 \\ \TR1 + \TR0 &= \TR1 \\ \TR1 + \TR1 &= \TR2 \\ \TR1 + \TR2 &= \TR0 \\ \TR2 + \TR0 &= \TR2 \\ \TR2 + \TR1 &= \TR0 \\ \TR2 + \TR2 &= \TR1 \\ \end{align*} $$
僕「そうだね。足し算の表もすぐできる」
ユーリ「足し算の表?」
僕「うん、《三角形の整数》っていうのは、 要するに整数を $3$ で割った余りだけを考えるわけだから、 出てくる数は $\TR0,\TR1,\TR2$ の $3$ 個しかない。 だからこんな表が作れる」
《三角形の整数》の足し算の表
ユーリ「そーだけど、それって、式を並べたのと同じことじゃん?」
僕「同じだけど、この足し算の表を見ていると、アイディアが湧いてこない?」
ユーリ「アイディア……別に」
僕「掛け算の表も作りたくならない? 計算自体はすぐできるよね」
《三角形の整数》の掛け算(書きかけ)
$$ \begin{align*} \TR0 \times \TR0 &= \TR0 \\ \TR0 \times \TR1 &= \TR0 \\ \TR0 \times \TR2 &= \TR0 \\ \TR1 \times \TR0 &= \TR0 \\ \TR1 \times \TR1 &= \TR1 \\ \TR1 \times \TR2 &= \cdots \\ \TR2 \times \TR0 &= \\ \TR2 \times \TR1 &= \\ \TR2 \times \TR2 &= \\ \end{align*} $$
ユーリ「ちょっ、ちょっと待ってよー。そんなにさっさか進まないでよ。 掛け算の結果を $3$ で割ればいーんでしょ?」
僕「そうだね。 $3$ で割った余りを考える。次の $\TR2 \times \TR0$ は……」
ユーリ「だから待ってって! えーと、 $\TR2 \times \TR0$ っていうのは、 $2 \times 0$ を計算して、その結果の $0$ を $3$ で割った余り……って $0$ だね」
$$ \TR2 \times \TR0 = \TR0 $$僕「うん、それでいいよ」
ユーリ「それから、 $\TR2 \times \TR1$ は……まず、 $2 \times 1 = 2$ を計算して、 $2$ を $3$ で割った余り……これは $2$ になる。 最後の $\TR2 \times \TR2$ は、 $2\times 2 = 4$ だから、 $3$ で割った余りは $1$ になって、これで全部」
$$ \begin{align*} \TR2 \times \TR1 &= \TR2 && \REMTEXT{$2\times1$を$3$で割った余りは$2$} \\ \TR2 \times \TR2 &= \TR1 && \REMTEXT{$2\times2$を$3$で割った余りは$1$} \\ \end{align*} $$僕「これで、 $9$ パターンができた」
《三角形の整数》の掛け算
$$ \begin{align*} \TR0 \times \TR0 &= \TR0 \\ \TR0 \times \TR1 &= \TR0 \\ \TR0 \times \TR2 &= \TR0 \\ \TR1 \times \TR0 &= \TR0 \\ \TR1 \times \TR1 &= \TR1 \\ \TR1 \times \TR2 &= \TR2 \\ \TR2 \times \TR0 &= \TR0 \\ \TR2 \times \TR1 &= \TR2 \\ \TR2 \times \TR2 &= \TR1 \\ \end{align*} $$
ユーリ「そんで、これを表にする?」
《三角形の整数》の掛け算の表
僕「そうだね。これが《三角形の整数》の世界での九九になるわけだ」
ユーリ「暗記が楽でいいにゃ……ところでお兄ちゃん。ほんとにこれでいーの?」
僕「いいよ。いまユーリが計算したじゃないか」
ユーリ「でも《三角形の整数》はたくさんの数の集合でできてた」
《三角形の整数》
僕「いまさらの話だけど、それがどうしたの?」
ユーリ「ユーリが計算したのは、このうち $0,1,2$ って数だけじゃん? それで試しただけで、いーの?」
《三角形の整数》の掛け算でユーリが試したもの
僕「うん、いいんだよ。ユーリが気にしているのは、たとえば、 $\TR2 \times \TR1$ の結果を調べるのに、 $2 \times 1$ だけで考えていいのか、ってことだよね。 足し算のときも試したけれど(第154回参照)、 それでうまくいくんだ。というか、うまくいくように《三角形の整数》を作ったわけだけど」
$$ \begin{array}{ccccccccccccc} \underbrace{2}_{\in\TR2} &\times& \underbrace{1}_{\in\TR1} &=& \underbrace{3\times0 + 2}_{\in\TR2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \TR2 &\times& \TR1 &=& \TR2 \\ \end{array} $$ユーリ「へー」
僕「たとえば、別の数で試してもいいよ。 $2 \times 1$ じゃなくて、 $\TR2$ から $5$ を選んで、 $\TR1$ から $4$ を選んでみようか。そうすると、 $5 \times 4 = 20$ で、 $3$ で割った余りはやっぱり $2$ になる」
$$ \begin{array}{ccccccccccccc} \underbrace{5}_{\in\TR2} &\times& \underbrace{4}_{\in\TR1} &=& \underbrace{3\times6 + 2}_{\in\TR2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \TR2 &\times& \TR1 &=& \TR2 \\ \end{array} $$ユーリ「おー。確かに、 $20$ は $\TR2$ の要素になってる……うまく行くもんだねー」
《三角形の整数》の掛け算でいま使ったもの
僕「ここでやっぱり数式を使いたくなるなあ」
ユーリ「数式を使うって、どゆこと? いままでも数式使ってきたじゃん」
僕「いまユーリは、ほんとにうまくいくの? って気にしたよね。 納得するために別の数で試したけど、無数の数すべてで試したわけじゃない。 だから、数式を使って《どんな場合でもうまくいく》ことを確かめたい。つまり、証明だよ」
ユーリ「証明……証明はいいんだけど、《うまくいく》ことの証明?」
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この記事は『数学ガールの秘密ノート/数を作ろう』として書籍化されています。
書籍化にあたっては、加筆修正をたくさん行い、 練習問題や研究問題も追加しました。
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