この記事は『数学ガールの秘密ノート/やさしい統計』として書籍化されています。
登場人物紹介
僕:数学が好きな高校生。
テトラちゃん:僕の後輩。好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。
ミルカさん:数学が好きな高校生。僕のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。
僕とテトラちゃんは《コインを $10$ 回投げるときに表が出る回数》について計算していた。 そこにミルカさんがやってきて確率母関数の話を始めた。
ミルカ「これで分散が求められる」
テトラ「これで《コインを $10$ 回投げたときに表が出る回数の分散》が求められるんでしょうか?」
僕「……いや、だめだよ、ミルカさん。これじゃだめだ」
ミルカ「なぜ?」
僕「確かに僕たちは確率母関数を使って、確率変数 $X$ の平均 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求められるようになった」
$$ \left\{\begin{array}{llll} E(X) &= f'(1) \\ V(X) &= f''(1) + f'(1) - f'(1)^2 \\ \end{array}\right. $$ミルカ「計算してきたから」
僕「でも、実際に求めるためには《コインを $10$ 回投げたときに表が出る回数》を表す確率変数 $X$ の確率母関数 $f(x)$ が必要じゃないか!」
ミルカ「もちろんそうだが」
僕「でも、それは……簡単な式とはいえないよ」
ミルカ「話がループしているようだ。 $X$ の期待値を求めるのに、 $X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_{10}$ を考えたのと似た話。 $X$ の確率母関数を求めるのに、 $X_1, X_2, X_3, \ldots, X_{10}$ の確率母関数を使えばいい。 それが確率母関数のおもしろいところでもある。基本的なものを組み合わせて複雑なものを作る。 エレメンタリなものを使ってシンセサイズする」
僕「というと……待ってよ。 《コイン $1$ 回投げたときに表が出る回数》を表す確率変数の確率母関数を考えて、 その《和》を取るの?」
ミルカ「いや、確率母関数の《積》を取るんだ」
僕「確率母関数の積を取る? 何回も試行するとき、それぞれの確率母関数の積を取る? うーん、よくわからないなあ」
ミルカ「すでに定義が出ているのだから、計算すればすぐに納得できる。 完全な一般化は難しいが、 $10$ 回のコイン投げなら難しくない」
僕「そうか。計算してから悩めばいいか」
ミルカ「ふむ」
テトラ「せ、先輩方! ちょっとお待ちください。 テトラはここで取り残されそうになっています。お、お待ちください」
ミルカ「うん?」
テトラ「そこのところ、あたしに計算させていただけませんか。 おぼろげな、あたしの理解を確かめるために」
僕「みんなでわいわいやってるんだから、 テトラちゃんの計算を止める理由はないよ。 根気強いテトラちゃんなら、きっと大丈夫。計算できるはず」
テトラ「あ、ありがとうございます」
ミルカ「とすると、問題を明確化しておいたほうがいいと思うが」
僕「そうだね。こうかな」
問題1
コインを $10$ 回投げたとする。
このとき、表が出る回数を表す確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。
ミルカ「……」
テトラ「はい……でも、この答え自体はもうわかっていますよね。 あたしが定義から計算して、 $V(X) = \sigma^2 = 2.5$ でした(第127回参照)」
僕「そうだね。だから、僕たちがいま考えたいのは、 ミルカさんが教えてくれた確率母関数を使って $V(X)$ を求めることになる」
テトラ「は、はい。 あたしはまた、確率母関数のことはよく理解していません。 でも、何だか難しいけれど、おもしろそうなものだと思いました」
僕「テトラちゃんは、確率母関数の定義は大丈夫? 書ける?」
テトラ「書けます……先ほどの問題(第128回参照)で出てきたものですね」
確率母関数
確率変数 $X$ が、 $0,1,2,3,\ldots$ という値を取る確率を、それぞれ $P_0,P_1,P_2,P_3,\ldots$ とする。 このとき、以下の $f(x)$ を $X$ の確率母関数という。
$$ f(x) = P_0x^0 + P_1x^1 + P_2x^2 + P_3x^3 + \cdots + P_kx^k + \cdots $$
※ここでは、 $1$ を $x^0$ と書き、 $x$ を $x^1$ と書いている。
僕「そして、 $X$ の平均と分散はこの確率母関数で表せるところまではできたよね(第128回参照)」
テトラ「は、はい……これも、式の形はわかります。が」
平均と分散
確率変数 $X$ の確率母関数を $f(x)$ とし、 $E(X)$ で $X$ の平均(期待値)を、 $V(X)$ で $X$ の分散を表すとき、次式が成り立つ。
$$ \left\{\begin{array}{llll} E(X) &= f'(1) \\ V(X) &= f''(1) + f'(1) - f'(1)^2 \\ \end{array}\right. $$
僕「が?」
テトラ「その後、先輩方がお話ししていた確率母関数の積はまだわかっていません。 でも、積というからには掛け算をすればいいのですよね? それは $f(x)$ を掛け算してやればいいと思いました。 そうすれば、分散が出てくるのですよね? それならあたしでも何とかできます。がんばって掛け算して……」
ミルカ「テトラ、テトラ。挑戦しすぎだ。 彼の問題の立て方は大きすぎる。もっと小さな問題で考えるべき」
問題2
フェアなコインを $1$ 回投げるとき、表が出る回数を表す確率変数を $X_1$ とする。
$X_1$ の確率母関数 $f_1(x)$ を求めよ。
テトラ「……」
僕「これはさっきやったんじゃなかった?」
ミルカ「理解の確認」
テトラ「はい……コインを $1$ 回投げたら、表が出る回数は $0$ 回か $1$ 回ですよね。 $X_1=0$ になるか、 $X_1 = 1$ になるか」
僕「そうだね」
テトラ「それぞれの確率は $\frac12$ ですから、 $f_1(x)$ はこれでいいですね」
$$ \begin{align*} f_1(x) &= P_0x^0 + P_1x^1 + P_2x^2 + P_3x^3 + \cdots + P_kx^k + \cdots \qquad \REMTEXT{確率母関数} \\ &= P_0x^0 + P_1x^1 \qquad \REMTEXT{$P_2 = P_3 = P_4 = \cdots = 0$だから} \\ &= \frac12x^0 + \frac12x^1 \qquad \REMTEXT{フェアなコインだから表裏どちらが出る確率も$\frac12$} \\ &= \frac{x+1}{2} \\ \end{align*} $$僕「うん、それでいいと思うよ」
ミルカ「いや、 $f_1(x) = \frac12x^0 + \frac12x^1$ で止めよう」
テトラ「あ、はい」
解答2
フェアなコインを $1$ 回投げるとき、表が出る回数を表す確率変数を $X_1$ とする。
$X_1$ の確率母関数 $f_1(x)$ は、 $$ f_1(x) = \frac12x^0 + \frac12x^1 $$ となる。
ミルカ「そしてテトラはこの式 $f_1(x) = \frac12x^0 + \frac12x^1$ を改めて説明する」
テトラ「はい。コインを $1$ 回投げたときに表が出る回数を確率変数 $X$ で表して、 その $X$ の確率母関数が $f_1(x)$ です」
ミルカ「右辺の説明」
テトラ「$\frac12x^0 + \frac12x^1$ で、最初の $\frac12$ は表が $0$ 回でる確率です。 つまり、裏が出る確率。それから、二つ目の $\frac12$ は表が $1$ 回でる確率です」
$$ \underbrace{\frac12}_{\REMTEXT{表が$0$回出る確率}} x^0 + \underbrace{\frac12}_{\REMTEXT{表が$1$回出る確率}}x^1 $$ミルカ「それでいい。 $x^2$ や $x^3$ の項がない理由は?」
テトラ「それは……コインを $1$ 回投げたときに表が $2$ 回でることや、 $3$ 回でることがないからです」
ミルカ「そう。どちらの確率も $0$ に等しいから」
僕「うんうん」
テトラ「あの……確率母関数の定義から、そこまではわかるんですが、 あたしはそもそも母関数のことがまだわかっていないようです。 $x^0$ の係数は表が $0$ 回でる確率というのはわかりますが、この $x$ はなんでしょうか」
ミルカ「何でもない。形式的な変数だと考えればいい」
僕「数列の各項が混ざらないようにしているんだと思うな」
テトラ「混ざらない?」
僕「そうだよ。ほら、数式だと同類項は足し合わせることができるよね。 $ax^2$ と $bx^2$ があったら、両方足し合わせて $(a+b)x^2$ になる。 でも、僕たちはいま、数列になった確率 $P_0,P_1,P_2,\ldots,P_k,\ldots$ を扱いたいんだから、 勝手に確率が混ざっては困る。だから、同類項にならないように $P_0x^0$ と $P_1x^1$ と $P_2x^2$ というふうに、 確率 $P_k$ は $x^k$ の項の係数にしているんだ」
テトラ「は、はあ……それは、何となくわかりました。 でも今度は逆の疑問がわいてきます。 なぜそんなにしてまで確率母関数を考えるか、です。 数列を扱いたかったら、数列で扱えばいいのに、どうして確率母関数のような形にしなくちゃいけないのか」
僕「それは……」
ミルカ「それをまさにいま確かめているのだ」
テトラ「え?」
ミルカ「どうして確率母関数のような形にするのか。 その理由の一つはすでに出た。形式的な微分を行い、 $x = 1$ とすることで、平均と分散を表せた」
テトラ「あ、そうでした」
ミルカ「そしてもう一つ」
僕「確率母関数の積を取ったら、何が出てくるか、だね?」
ミルカ「そうだ。こんな問題になる」
問題3
フェアなコインを $1$ 回投げるとき、表が出る回数を表す確率変数を $X_1$ とする。
このとき、確率母関数の積 $f_1(x)\cdot f_1(x)$ は何を表すか。
テトラ「ははあ……」
ミルカ「『あ、あたし、計算してみますっ!』と言うのはいまだよ、テトラ」
僕「ねえ、ミルカさん。ものまねはいいから……」
テトラ「あ、あたし、計算してみますっ!」
$$ \begin{align*} f_1(x)\cdot f_1(x) &= \left(\frac12x^0 + \frac12x^1\right)\left(\frac12x^0 + \frac12x^1\right) \qquad \REMTEXT{解答2から} \\ &= \frac12x^0\left(\frac12x^0 + \frac12x^1\right) + \frac12x^1\left(\frac12x^0 + \frac12x^1\right) \\ &= \frac12x^0\frac12x^0 + \frac12x^0\frac12x^1 + \frac12x^1\frac12x^0 + \frac12x^1\frac12x^1 \\ &= \frac14x^0 + \frac14x^1 + \frac14x^1 + \frac14x^2 \\ &= \frac14x^0 + \frac24x^1 + \frac14x^2 \\ &= \frac14x^0 + \frac12x^1 + \frac14x^2 \\ \end{align*} $$テトラ「あ、というか、 $2$ 乗の公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使えばいいんでした」
$$ \begin{align*} f_1(x)\cdot f_1(x) &= \left(\frac12x^0 + \frac12x^1\right)^2 \\ &= \frac14x^0 + \frac24x^1 + \frac14x^2 \\ &= \frac14x^0 + \frac12x^1 + \frac14x^2 \\ \end{align*} $$ミルカ「$\frac12x^1$ は $\frac24x^1$ のままで止めよう」
テトラ「あ、はい。それなら、 $f_1(x)\cdot f_1(x)$ はこうなりました」
$$ f_1(x)\cdot f_1(x) = \frac14x^0 + \frac24x^1 + \frac14x^2 $$テトラ「……」
僕「なるほどなあ! 確かにうまくいくね。確率母関数の積で」
テトラ「何がうまくいくんでしょうか?」
ミルカ「この式の意味を考える」
$$ \frac14x^0 + \frac24x^1 + \frac14x^2 $$テトラ「いま計算したものですね」
ミルカ「$x^0$ の係数 $\frac14$ の由来は何か」
テトラ「由来……それは、展開した結果です。 $(\frac12x^0 + \frac12x^1)(\frac12x^0 + \frac12x^1)$ で、 $\frac12x^0$ を $2$ 乗したので、その係数が $\frac14$」
僕「それって、確率母関数的にいえば、 $P_0P_0$ の値ってことだよね、テトラちゃん」
テトラ「……そうですね」
ミルカ「$x^1$ の係数 $\frac24$ の由来は何か」
テトラ「これも同じです。同じですが、 $\frac12x^0\frac12x^1$ と $\frac12x^1\frac12x^0$ を加えた項の係数になります」
僕「こっちも同じだよ。確率母関数でいえば、 $P_0P_1$ と $P_1P_0$ の和だね」
テトラ「すみません……あたしはまだよく飲み込めてないようです」
僕「$P_0P_0$ って、コイン投げ $1$ 回目で表が $0$ 回でて、 $2$ 回目も表が $0$ 回でる確率になるよね? つまり、 $P_0P_0$ は「裏裏」に対応する」
テトラ「はあ、そう、ですね」
無料で「試し読み」できるのはここまでです。 この続きをお読みになるには「読み放題プラン」へのご参加が必要です。
ひと月500円で「読み放題プラン」へご参加いただきますと、 435本すべての記事が読み放題になりますので、 ぜひ、ご参加ください。
参加済みの方/すぐに参加したい方はこちら
結城浩のメンバーシップで参加 結城浩のpixivFANBOXで参加(2015年8月28日)
この記事は『数学ガールの秘密ノート/やさしい統計』として書籍化されています。
書籍化にあたっては、加筆修正をたくさん行い、 練習問題や研究問題も追加しました。
どの巻からでも読み始められますので、 ぜひどうぞ!