第80回 シーズン8 エピソード10

数を探る（後編）

ユーリからの問題

ユーリ「$\LOG2$ ってどんくらい大きい数なの？」

僕「え？」

ユーリ「$\sqrt{2}$ は $1.41\cdots$ でしょ？　 $\sqrt{10}$ は $3.16$ くらいだった。じゃ、 $\LOG2$ は？」

僕「覚えてないなあ……調べてみようか」

ユーリ「あ、じゃ、お兄ちゃんに問題！　 $\LOG2$ の値を求めなさーい！」

僕「$\LOG2$ を？」

ユーリ「そ！　円周率の $3.14\cdots$ みたいに《なにテンなになに》まで」

僕「うん、確か、対数を求める展開公式があったと思うな。覚えてないけど」

ユーリ「《定義にかえれ》でしょ？」

僕「何が？」

ユーリ「お兄ちゃん、さっきからよく言ってたじゃん。《定義にかえれ》って。 定義を考えると、 $\LOG2$ も求められるんじゃないの？　調べなくても」

僕「む……そうか、そうだな。うん、できる。 $\sqrt{\mathstrut\REMTEXT{　}}$は電卓使ってもいいかな」

ユーリ「まー、いいんじゃないかにゃ？」

僕「じゃあね、まず」

ユーリ「あ、そのまえに」

僕「がく。なに？」

ユーリ「お兄ちゃんって、こういう問題を考えるときって何してるの？」

僕「何してるって……そりゃ考えるさ」

ユーリ「そーじゃなくて。電卓使ってもいいかって聞いたってことは、 もう方法を思いついたんでしょ？　どーやって思いついたのかにゃ？」

僕「ユーリが二つヒントくれたから、楽だったよ」

ユーリ「二つヒント？」

僕「うん。一つは《定義にかえれ》というヒント。 $\LOG2$ の定義をもう一度考えるということだね。 そして、もう一つは《円周率の $3.14\cdots$ みたいに》というヒント」

ユーリ「へー、円周率が出てくるの？」

僕「いや、そういうわけじゃなくて、ほらこのあいだ一緒に円周率を求めたじゃないか、 《アルキメデスの方法》を使って（『数学ガールの秘密ノート／丸い三角関数』参照）」

ユーリ「うん、やったやった」

僕「あのときのことをちょっと思い出したんだよ。《はさみうち》だね。それで $\LOG2$ は求められそうだ」

ユーリ「へー……すごいね。ユーリって天才かにゃあ！　自分ではわかんないのにヒント出すなんて！」

僕「あはは。そうかもね」

ユーリ「そんで、 $\LOG2$ はどんくらい？」

僕「いやいや、まだ計算してないし」

ユーリ「早くやろーよ！」

定義にかえれ

僕「うん。まずはポリアの問いかけ《定義にかえれ》から。 $\LOG2$ というのはどういう数かというと……」

ユーリ「《$10$ を何乗したら $2$ になりますか》という数でしょ。もう何回もやったから覚えちゃった」

僕「そうだね。《定義にかえれ》っていうのは、もともとの問題を意味を変えずに言い換えていることになる。 でも $10$ を何乗したら $2$ になるかなんて、すぐにはわからないけど」

ユーリ「そーだね」

僕「そこで、別のポリアの問いかけ《似た問題を知っているか》を使ってみよう。《$10$ を何乗したら $2$ になりますか》に似た問題」

ユーリ「ふーん」

僕「たとえば、《$10$ を何乗したら $10$ になりますか》とか。 これならわかるよね、答えは $1$ だ。つまり、これは、 $\LOG{10} = 1$ ということだね」

ユーリ「うん」

僕「では、これは？　《$10$ を何乗したら $1$ になりますか》」

ユーリ「これもできるよ。えーと、 $0$ でしょ？　 $10^0 = 1$ だもん」

僕「そうだね。 $\LOG{1} = 0$ ということ」

ユーリ「でも、いま知りたいのは $\LOG{10}$ でも $\LOG1$ でもなく、 $\LOG2$ なんですけどー」

僕「ユーリのいう通りだ……そこで、こんなグラフを描いて考えてみよう」

ステップ1

ユーリ「ほほー。 $\LOG1 = 0$ で、 $\LOG{10} = 1$ で……」

僕「だから、僕たちが知りたい $\LOG2$ は《$0$ より大きくて、 $1$ より小さい》ということが言える」

ユーリ「ふむふむ確かに！　円周率のときもこんなことやったね！」

僕「そうなんだよ。はさみうちで少しずつ正確にしていった」

ユーリ「うんうん。 $3.14$ まで出たとき感動したよ！」

僕「$\LOG2$ が《$0$ より大きくて、 $1$ より小さい》ということは、 $\LOG2$ は $0.\cdots$ という形をしていることになるね」

ユーリ「……でも、お兄ちゃん。これだけじゃつまんない。ここからもっと詳しくわかるの？」

僕「うん、もう少しがんばれると思う。そのために、いま僕たちがやったことを振り返ってみよう。 ポリアの問いかけ《結果を一目で理解できるか》だよ。 どうやって $0 < \LOG2 < 1$ を求めたかを再確認しよう」

ユーリ「グラフ見たもん」

僕「確かにそれでいいんだけど、数式として確認しておきたい」

ユーリ「出たな数式マニア」

僕「僕たちはこう考えたんだよ」

ユーリ「えーと？　……まー、そだね」

僕「$\LOG2$ を攻める代わりに、僕たちは $2$ を攻めた。 まあ、攻めたというのは、はさみうちのことだけど。 何を使って攻めたかというと、 $10^x$ の形をした数を使った。 なぜかというと、 $10^x$ の形をした数なら、 $10$ を底とした対数をとったときに値を求められるから」

ユーリ「ふんふん」

僕「だから、この考え方を使って、さらに攻めればいい」

ユーリ「さらに攻めるって？」

僕「$0 < \LOG2 < 1$ のはさみうちの間隔をもっと狭くするんだよ」

ユーリ「そっか……えーと。わかった。 $10^0 < 2 < 10^1$ のはさみうちを狭くすればいい！」

僕「そうだね！　ユーリは賢いなあ」

ユーリ「えへへ。もっとほめて……でも、どうすればいいの？」

求めるものは何か

僕「ポリアの問いかけ《求めるものは何か》だね」

ユーリ「求めるものは……はさみうち。狭いはさみうち」

僕「もう少し具体的にいえば、数を求めているんだよね。こんな形をした数 $10^x$ を求めたい」

ユーリ「……そっか。これだと $10^0 < 2 < \underline{10^x}$ か $\underline{10^x} < 2 < 10^1$ で《はさめる》から？」

僕「そういうことだね」

ユーリ「あれ？　でも、 $10^x$ の値がわからなくちゃいけないよね。 $2$ より大きいのか小さいのか」

僕「そうだね。そして $x$ は $0$ と $1$ の間のはずだよ。 つまり、こんな $x$ が得られれば、はさみうちが狭くなり、 $\LOG2$ の値がもう少し正確に求められる」

ステップ2

ユーリ「ふーん。 $0 < x < 1$ って、たとえば $x = \dfrac12$ とか？」

僕「ユーリは $\PF12$ って何だかわかる？」

ユーリ「あっ！　わかる！　さっきやったじゃん！　 $\PF12 = \sqrt{10}$ だよ！（第79回参照）」

僕「その通り。 $\PF12 = \sqrt{10}$ だから、電卓叩けば……」

$$ \PF12 = 3.16227766016838\cdots $$

ユーリ「あれ？　 $1$ より大きくなっちゃったよ。 $0 < \LOG2 < 1$ なんじゃなかった？」

僕「え？　違う違う、ユーリは混乱しているよ。対数を取るのはあとの話。 《まとめ（2）》を作ってみよう」

ユーリ「あ、そっか。勘違いしてた。 $\sqrt{10}$ は対数取る前の話だった」

僕「うん、それで、ほら。 $0 < \LOG2 < \dfrac12$ になった。はさみうちがさっきより狭くなった」

ユーリ「$\LOG2$ は $0.5$ よりは小さいんだね。でも、まだまだだよ。 だって、 $0.0\cdots$ なのか、 $0.1\cdots$ なのか、 $0.2\cdots$ なのか、 $0.3\cdots$ なのか、 $0.4\cdots$ なのかわからないんでしょ？」

僕「そうだね。でも、次にどうするか、ユーリはもうわかるだろ？」

ユーリ「わかる！　はさみうちをもっと狭くする！」

僕「どうやって？」

ステップ3

ユーリ「え……さっきみたく、 $10^x$ を見つけるの。 こんどは $0 < 10^x < \sqrt{10}$ になる数を」

僕「うんうん、ユーリは話によくついてきてる。で、そういう $10^x$ はどうやって探す？」

ユーリ「えー……たぶん、だけど」

僕「うん」

ユーリ「もっかいルートとる？」

僕「いいね。やってみよう。 $\sqrt{\sqrt{10}}$ は $10$ の何乗？」

ユーリ「これもさっきやったじゃん！　 $\sqrt{\sqrt{10}}$ は $\PF14$ だよ！（第79回参照）」

僕「そうだね。 $\sqrt{\sqrt{10}} = \left(\PF12\right)^{\frac12} = 10^{\frac12 \times \frac12} = \PF14$ だから」

$$ \begin{array}{rllll} \PF12 &= \sqrt{10} &= 3.16227766016838\cdots \\ \PF14 &= \sqrt{\sqrt{10}} &= 1.778279410038923\cdots \\ \end{array} $$

ユーリ「$3.162\cdots$ から $1.778\cdots$ まで小さくなった！」

僕「$2$ より小さいから、はさみうちの場所に注意がいるね」

僕「だいぶ狭くなったね。 $\dfrac14 = 0.25$ だから、 $0.25 < \LOG2 < 0.5$ だね。 ということは、 $0.2\cdots$ か、 $0.3\cdots$ か、 $0.4\cdots$ のどれかだ」

ユーリ「あとはこの繰り返しでしょ！　もっぺんルートとる！　次は $\PF18 = \sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}}$ だから、早く電卓電卓！」

$$ \begin{array}{rllll} \PF12 &= \sqrt{10} &= 3.16227766016838\cdots \\ \PF14 &= \sqrt{\sqrt{10}} &= 1.778279410038923\cdots \\ \PF18 &= \sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}} &= 1.333521432163324\cdots \\ \end{array} $$

僕「あ……」

ユーリ「どしたの？」

僕「ユーリ。これじゃだめだ。 僕たちがほしいのは $\PF14 < 10^x < \PF12$ になる数 $10^x$ だけど、 $\PF18 < \PF14$ だから、 $\PF18$ じゃ、はさみうちの範囲が狭くならない」

ユーリ「あ……そっか！　え、そんじゃ、《何回も $10$ のルートをとっていく》のはだめじゃん！」

与えられているものは何か（ステップ4）

僕「そうだなあ……実は、ルートを繰り返していけばいいと思ってたんだけど」

ユーリ「えーどーすんのー」

僕「《求めるものは何か》というと、 $\PF14 < 10^x < \PF12$ になるような数 $10^x$ なんだけど……」

ユーリ「……」

僕「あ、わかった。簡単だよ、ユーリ。《与えられているものは何か》を考えればいい。 与えられているもの……というか、すでにわかっているものは、 $\PF12, \PF14, \PF18, \ldots$ だ。 これらはルートを何度もとればいいから」

ユーリ「そうだけど……」

僕「だから、 $\PFF1418$ を考えればいい」

ユーリ「え？　それ、 $\PF14$ と $\PF12$ の間にくる数なの？」

僕「そうだよ。だってね、 $\dfrac14$ に対して $\dfrac14$ を足しちゃうと $\dfrac12$ になってしまうよね。 だから $\dfrac14$ を足す代わりにもう一段階小さい数 $\dfrac18$ を足せばいい、って考えるんだ」

$$ \begin{align*} \dfrac14 + \dfrac14 &= \dfrac12 \\ \dfrac14 + \dfrac18 &< \dfrac12 \\ \end{align*} $$

ユーリ「……」

僕「実際、 $\PFF1418 = \PF38 = 10^{0.375}$ だから、 $\PF14 = 10^{0.25}$ と $\PF12 = 10^{0.5}$ の間に来る」

$$ \PF14 < \PFF1418 < \PF12 $$

ユーリ「へ、へー……」

僕「$\PFF1418$ は掛け算で計算できる。指数法則だ」

$$ \begin{align*} \PFF1418 & = \PF14 \times \PF18 \\ &= 1.7782794100389228\cdots \times 1.333521432163324\cdots \\ &= 2.371373705661655\cdots \\ \end{align*} $$

ユーリ「えーと、 $2.37$ って……どこに来るんだっけ？」

僕「$2$ よりは大きくて、 $\PF12 = \sqrt{10} = 3.16\cdots$ よりは小さいね」

ユーリ「$\dfrac14 = 0.25$ で、 $\dfrac38 = 0.375$ で、 $\LOG2$ はこのあいだ……てことは？」

僕「$0.25 < \LOG2 < 0.375$ だから、 $\LOG2$ は $0.2\cdots$ か、 $0.3\cdots$ ってことになる。 だいぶ絞れてきたね」

ユーリ「ねーお兄ちゃん。 $\dfrac14$ と $\dfrac38$ みたいに分数で考えると大きさがわかりにくいね。 $0.25$ と $0.375$ だったらどっちが大きいかすぐわかるのに」

僕「そうだね。特に $\dfrac38$ はわかりにくいね。まあ $\dfrac14 + \dfrac18$ と考えれば……」

ユーリ「考えれば？」

僕「……」

ユーリ「お兄ちゃん？」

僕「……」

ユーリ「ねー、どしたの？」

僕「おもしろいことに気付いたかも！」

僕が気付いたこと

ユーリ「なになに？」

僕「いまのところ、僕たちは $\LOG2$ をここまで追い詰めたよね」

ユーリ「うん」

僕「この不等式を、こんなふうに書き換えてみるんだよ」

ユーリ「へ？　なにこの $\dfrac01$ って。《$1$ 分の $0$》って、 $0$ じゃん！」

僕「そう、そうなんだよ！」

ユーリ「お兄ちゃん、何ひとりでコーフンしてんの？」

僕「もう少し書き換えると、こうなるんだ」

ユーリ「……えっと？　 $1$ は $2^0$ で、 $2$ は $2^1$ で……あー、まーそだね。でも、それがどーしたの？　 ちゃんと教えてよー。この式は何？」

僕「うん、これは、《二進法》なんだよ！」