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第80回 シーズン8 エピソード10
数を探る(後編)

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ユーリからの問題

ここはの部屋。 いつものようにと従妹のユーリは数学トークをしている。 対数の話をしていると、ユーリが問題を出してきた。

ユーリ「$\LOG2$ ってどんくらい大きい数なの?」

「え?」

ユーリ「$\sqrt{2}$ は $1.41\cdots$ でしょ?  $\sqrt{10}$ は $3.16$ くらいだった。じゃ、 $\LOG2$ は?」

「覚えてないなあ……調べてみようか」

ユーリ「あ、じゃ、お兄ちゃんに問題!  $\LOG2$ の値を求めなさーい!」

「$\LOG2$ を?」

ユーリ「そ! 円周率の $3.14\cdots$ みたいに《なにテンなになに》まで」

「うん、確か、対数を求める展開公式があったと思うな。覚えてないけど」

ユーリ「《定義にかえれ》でしょ?」

「何が?」

ユーリ「お兄ちゃん、さっきからよく言ってたじゃん。《定義にかえれ》って。 定義を考えると、 $\LOG2$ も求められるんじゃないの? 調べなくても」

「む……そうか、そうだな。うん、できる。 $\sqrt{\mathstrut\REMTEXT{ }}$は電卓使ってもいいかな」

ユーリ「まー、いいんじゃないかにゃ?」

問題

$\LOG2$ の値を小数点以下二桁まで求めよ。

※加減乗除と$\sqrt{\mathstrut\REMTEXT{ }}$は電卓を使ってよい。

「じゃあね、まず」

ユーリ「あ、そのまえに」

「がく。なに?」

ユーリ「お兄ちゃんって、こういう問題を考えるときって何してるの?」

「何してるって……そりゃ考えるさ」

ユーリ「そーじゃなくて。電卓使ってもいいかって聞いたってことは、 もう方法を思いついたんでしょ? どーやって思いついたのかにゃ?」

「ユーリが二つヒントくれたから、楽だったよ」

ユーリ「二つヒント?」

「うん。一つは《定義にかえれ》というヒント。 $\LOG2$ の定義をもう一度考えるということだね。 そして、もう一つは《円周率の $3.14\cdots$ みたいに》というヒント」

ユーリ「へー、円周率が出てくるの?」

「いや、そういうわけじゃなくて、ほらこのあいだ一緒に円周率を求めたじゃないか、 《アルキメデスの方法》を使って(『数学ガールの秘密ノート/丸い三角関数』参照)」

ユーリ「うん、やったやった」

「あのときのことをちょっと思い出したんだよ。《はさみうち》だね。それで $\LOG2$ は求められそうだ」

ユーリ「へー……すごいね。ユーリって天才かにゃあ! 自分ではわかんないのにヒント出すなんて!」

「あはは。そうかもね」

ユーリ「そんで、 $\LOG2$ はどんくらい?」

「いやいや、まだ計算してないし」

ユーリ「早くやろーよ!」

定義にかえれ

「うん。まずはポリアの問いかけ《定義にかえれ》から。 $\LOG2$ というのはどういう数かというと……」

ユーリ「《$10$ を何乗したら $2$ になりますか》という数でしょ。もう何回もやったから覚えちゃった」

「そうだね。《定義にかえれ》っていうのは、もともとの問題を意味を変えずに言い換えていることになる。 でも $10$ を何乗したら $2$ になるかなんて、すぐにはわからないけど」

ユーリ「そーだね」

「そこで、別のポリアの問いかけ《似た問題を知っているか》を使ってみよう。《$10$ を何乗したら $2$ になりますか》に似た問題」

ユーリ「ふーん」

「たとえば、《$10$ を何乗したら $10$ になりますか》とか。 これならわかるよね、答えは $1$ だ。つまり、これは、 $\LOG{10} = 1$ ということだね」

ユーリ「うん」

「では、これは? 《$10$ を何乗したら $1$ になりますか》」

ユーリ「これもできるよ。えーと、 $0$ でしょ?  $10^0 = 1$ だもん」

「そうだね。 $\LOG{1} = 0$ ということ」

ユーリ「でも、いま知りたいのは $\LOG{10}$ でも $\LOG1$ でもなく、 $\LOG2$ なんですけどー」

「ユーリのいう通りだ……そこで、こんなグラフを描いて考えてみよう」

ステップ1

$\LOG1$ と $\LOG{10}$ から $\LOG2$ の値を想像する

ユーリ「ほほー。 $\LOG1 = 0$ で、 $\LOG{10} = 1$ で……」

「だから、僕たちが知りたい $\LOG2$ は《$0$ より大きくて、 $1$ より小さい》ということが言える」

ユーリ「ふむふむ確かに! 円周率のときもこんなことやったね!」

「そうなんだよ。はさみうちで少しずつ正確にしていった」

ユーリ「うんうん。 $3.14$ まで出たとき感動したよ!」

「$\LOG2$ が《$0$ より大きくて、 $1$ より小さい》ということは、 $\LOG2$ は $0.\cdots$ という形をしていることになるね」

$\LOG2$ についてわかったこと(1)

$$ 0 < \LOG2 < 1 $$

ユーリ「……でも、お兄ちゃん。これだけじゃつまんない。ここからもっと詳しくわかるの?」

「うん、もう少しがんばれると思う。そのために、いま僕たちがやったことを振り返ってみよう。 ポリアの問いかけ《結果を一目で理解できるか》だよ。 どうやって $0 < \LOG2 < 1$ を求めたかを再確認しよう」

ユーリ「グラフ見たもん」

「確かにそれでいいんだけど、数式として確認しておきたい」

ユーリ「出たな数式マニア」

「僕たちはこう考えたんだよ」

《まとめ(1)》

$$ \begin{array}{cccccclll} 10^0 &<& 2 &<& 10^1 \\ & & \downarrow \\ \LOG{10^0} &<& \LOG2 &<& \LOG{10^1} \\ & & \downarrow \\ 0 &<& \LOG2 &<& 1 \\ \end{array} $$

ユーリ「えーと? ……まー、そだね」

「$\LOG2$ を攻める代わりに、僕たちは $2$ を攻めた。 まあ、攻めたというのは、はさみうちのことだけど。 何を使って攻めたかというと、 $10^x$ の形をした数を使った。 なぜかというと、 $10^x$ の形をした数なら、 $10$ を底とした対数をとったときに値を求められるから」

ユーリ「ふんふん」

「だから、この考え方を使って、さらに攻めればいい」

ユーリ「さらに攻めるって?」

「$0 < \LOG2 < 1$ のはさみうちの間隔をもっと狭くするんだよ」

ユーリ「そっか……えーと。わかった。 $10^0 < 2 < 10^1$ のはさみうちを狭くすればいい!」

「そうだね! ユーリは賢いなあ」

ユーリ「えへへ。もっとほめて……でも、どうすればいいの?」

求めるものは何か

「ポリアの問いかけ《求めるものは何か》だね」

ユーリ「求めるものは……はさみうち。狭いはさみうち」

「もう少し具体的にいえば、数を求めているんだよね。こんな形をした数 $10^x$ を求めたい」

こんな数 $10^x$ がほしい

$$ 10^0 < 10^x < 10^1 $$

ユーリ「……そっか。これだと $10^0 < 2 < \underline{10^x}$ か $\underline{10^x} < 2 < 10^1$ で《はさめる》から?」

「そういうことだね」

ユーリ「あれ? でも、 $10^x$ の値がわからなくちゃいけないよね。 $2$ より大きいのか小さいのか」

「そうだね。そして $x$ は $0$ と $1$ の間のはずだよ。 つまり、こんな $x$ が得られれば、はさみうちが狭くなり、 $\LOG2$ の値がもう少し正確に求められる」

こんな $x$ を見つけられるか?

  • $x$ は $0 < x < 1$ を満たしている
  • $10^x$ の値を求めることができる($2$ との大小関係がわかる)

ステップ2

ユーリ「ふーん。 $0 < x < 1$ って、たとえば $x = \dfrac12$ とか?」

「ユーリは $\PF12$ って何だかわかる?」

ユーリ「あっ! わかる! さっきやったじゃん!  $\PF12 = \sqrt{10}$ だよ!(第79回参照)」

$x = \dfrac12$ の場合

  • $x$ は $0 < x < 1$ を満たしている
  • $10^x$ の値を求めることができる($2$ との大小関係がわかる)

「その通り。 $\PF12 = \sqrt{10}$ だから、電卓叩けば……」

$$ \PF12 = 3.16227766016838\cdots $$

ユーリ「あれ?  $1$ より大きくなっちゃったよ。 $0 < \LOG2 < 1$ なんじゃなかった?」

「え? 違う違う、ユーリは混乱しているよ。対数を取るのはあとの話。 《まとめ(2)》を作ってみよう」

《まとめ(2)》

$$ \begin{array}{ccccccccccc} 10^0 &<& 2 &<& \PF12 &=& \sqrt{10} = 3.16227766016838\cdots \\ & & \downarrow \\ \LOG{10^0} &<& \LOG2 &<& \LOG{\PF12} \\ & & \downarrow \\ 0 &<& \LOG2 &<& \dfrac12 \\ \end{array} $$

ユーリ「あ、そっか。勘違いしてた。 $\sqrt{10}$ は対数取る前の話だった」

「うん、それで、ほら。 $0 < \LOG2 < \dfrac12$ になった。はさみうちがさっきより狭くなった」

$\LOG2$ についてわかったこと(2)

$$ 0 < \LOG2 < \dfrac12 < 1 $$

ユーリ「$\LOG2$ は $0.5$ よりは小さいんだね。でも、まだまだだよ。 だって、 $0.0\cdots$ なのか、 $0.1\cdots$ なのか、 $0.2\cdots$ なのか、 $0.3\cdots$ なのか、 $0.4\cdots$ なのかわからないんでしょ?」

「そうだね。でも、次にどうするか、ユーリはもうわかるだろ?」

ユーリ「わかる! はさみうちをもっと狭くする!」

「どうやって?」

ステップ3

ユーリ「え……さっきみたく、 $10^x$ を見つけるの。 こんどは $0 < 10^x < \sqrt{10}$ になる数を」

「うんうん、ユーリは話によくついてきてる。で、そういう $10^x$ はどうやって探す?」

ユーリ「えー……たぶん、だけど」

「うん」

ユーリ「もっかいルートとる?」

「いいね。やってみよう。 $\sqrt{\sqrt{10}}$ は $10$ の何乗?」

ユーリ「これもさっきやったじゃん!  $\sqrt{\sqrt{10}}$ は $\PF14$ だよ!(第79回参照)」

「そうだね。 $\sqrt{\sqrt{10}} = \left(\PF12\right)^{\frac12} = 10^{\frac12 \times \frac12} = \PF14$ だから」

$$ \begin{array}{rllll} \PF12 &= \sqrt{10} &= 3.16227766016838\cdots \\ \PF14 &= \sqrt{\sqrt{10}} &= 1.778279410038923\cdots \\ \end{array} $$

ユーリ「$3.162\cdots$ から $1.778\cdots$ まで小さくなった!」

「$2$ より小さいから、はさみうちの場所に注意がいるね」

《まとめ(3)》

$$ \begin{array}{cccccclll} \PF14 &<& 2 &<& \PF12 \\ & & \downarrow \\ \LOG{\PF14} &<& \LOG2 &<& \LOG{\PF12} \\ & & \downarrow \\ \dfrac14 &<& \LOG2 &<& \dfrac12 \\ \end{array} $$

$\LOG2$ についてわかったこと(3)

$$ 0 < \dfrac14 < \LOG2 < \dfrac12 < 1 $$

「だいぶ狭くなったね。 $\dfrac14 = 0.25$ だから、 $0.25 < \LOG2 < 0.5$ だね。 ということは、 $0.2\cdots$ か、 $0.3\cdots$ か、 $0.4\cdots$ のどれかだ」

ユーリ「あとはこの繰り返しでしょ! もっぺんルートとる! 次は $\PF18 = \sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}}$ だから、早く電卓電卓!」

$$ \begin{array}{rllll} \PF12 &= \sqrt{10} &= 3.16227766016838\cdots \\ \PF14 &= \sqrt{\sqrt{10}} &= 1.778279410038923\cdots \\ \PF18 &= \sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}} &= 1.333521432163324\cdots \\ \end{array} $$

「あ……」

ユーリ「どしたの?」

「ユーリ。これじゃだめだ。 僕たちがほしいのは $\PF14 < 10^x < \PF12$ になる数 $10^x$ だけど、 $\PF18 < \PF14$ だから、 $\PF18$ じゃ、はさみうちの範囲が狭くならない」

ユーリ「あ……そっか! え、そんじゃ、《何回も $10$ のルートをとっていく》のはだめじゃん!」

与えられているものは何か(ステップ4)

「そうだなあ……実は、ルートを繰り返していけばいいと思ってたんだけど」

ユーリ「えーどーすんのー」

「《求めるものは何か》というと、 $\PF14 < 10^x < \PF12$ になるような数 $10^x$ なんだけど……」

ユーリ「……」

「あ、わかった。簡単だよ、ユーリ。《与えられているものは何か》を考えればいい。 与えられているもの……というか、すでにわかっているものは、 $\PF12, \PF14, \PF18, \ldots$ だ。 これらはルートを何度もとればいいから」

ユーリ「そうだけど……」

「だから、 $\PFF1418$ を考えればいい」

ユーリ「え? それ、 $\PF14$ と $\PF12$ の間にくる数なの?」

「そうだよ。だってね、 $\dfrac14$ に対して $\dfrac14$ を足しちゃうと $\dfrac12$ になってしまうよね。 だから $\dfrac14$ を足す代わりにもう一段階小さい数 $\dfrac18$ を足せばいい、って考えるんだ」

$$ \begin{align*} \dfrac14 + \dfrac14 &= \dfrac12 \\ \dfrac14 + \dfrac18 &< \dfrac12 \\ \end{align*} $$

ユーリ「……」

「実際、 $\PFF1418 = \PF38 = 10^{0.375}$ だから、 $\PF14 = 10^{0.25}$ と $\PF12 = 10^{0.5}$ の間に来る」

$$ \PF14 < \PFF1418 < \PF12 $$

ユーリ「へ、へー……」

「$\PFF1418$ は掛け算で計算できる。指数法則だ」

$$ \begin{align*} \PFF1418 & = \PF14 \times \PF18 \\ &= 1.7782794100389228\cdots \times 1.333521432163324\cdots \\ &= 2.371373705661655\cdots \\ \end{align*} $$

ユーリ「えーと、 $2.37$ って……どこに来るんだっけ?」

「$2$ よりは大きくて、 $\PF12 = \sqrt{10} = 3.16\cdots$ よりは小さいね」

《まとめ(4)》

$$ \begin{array}{ccccccccccc} \PF14 &<& 2 &<& \PF38 & \qquad (\PF38 = \PFF1418) \\ & & \downarrow \\ \LOG{\PF14} &<& \LOG2 &<& \LOG{\PF38} \\ & & \downarrow \\ \dfrac14 &<& \LOG2 &<& \dfrac38 \\ \end{array} $$

$\LOG2$ についてわかったこと(4)

$$ 0 < \dfrac14 < \LOG2 < \dfrac38 < \dfrac12 < 1 $$

ユーリ「$\dfrac14 = 0.25$ で、 $\dfrac38 = 0.375$ で、 $\LOG2$ はこのあいだ……てことは?」

「$0.25 < \LOG2 < 0.375$ だから、 $\LOG2$ は $0.2\cdots$ か、 $0.3\cdots$ ってことになる。 だいぶ絞れてきたね」

ユーリ「ねーお兄ちゃん。 $\dfrac14$ と $\dfrac38$ みたいに分数で考えると大きさがわかりにくいね。 $0.25$ と $0.375$ だったらどっちが大きいかすぐわかるのに」

「そうだね。特に $\dfrac38$ はわかりにくいね。まあ $\dfrac14 + \dfrac18$ と考えれば……」

ユーリ「考えれば?」

「……」

ユーリ「お兄ちゃん?」

「……」

ユーリ「ねー、どしたの?」

「おもしろいことに気付いたかも!」

が気付いたこと

ユーリ「なになに?」

「いまのところ、僕たちは $\LOG2$ をここまで追い詰めたよね」

$\LOG2$ の範囲

$$ \dfrac14 < \LOG2 < \dfrac14 + \dfrac18 $$

ユーリ「うん」

「この不等式を、こんなふうに書き換えてみるんだよ」

書き換えた

$$ \dfrac01 + \dfrac02 + \dfrac14 + \dfrac08 < \LOG2 < \dfrac01 + \dfrac02 + \dfrac14 + \dfrac18 $$

ユーリ「へ? なにこの $\dfrac01$ って。《$1$ 分の $0$》って、 $0$ じゃん!」

「そう、そうなんだよ!」

ユーリ「お兄ちゃん、何ひとりでコーフンしてんの?」

「もう少し書き換えると、こうなるんだ」

さらに書き換えた

$$ \dfrac0{2^0} + \dfrac0{2^1} + \dfrac1{2^2} + \dfrac0{2^3} < \LOG2 < \dfrac0{2^0} + \dfrac0{2^1} + \dfrac1{2^2} + \dfrac1{2^3} $$

ユーリ「……えっと?  $1$ は $2^0$ で、 $2$ は $2^1$ で……あー、まーそだね。でも、それがどーしたの?  ちゃんと教えてよー。この式は何?」

「うん、これは、《二進法》なんだよ!」

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(2014年6月13日)

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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki


『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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