第72回 シーズン8 エピソード2

大きな数（後編）

ダイニングで

ユーリ「これなら $10^{21}$ より $10^{22}$ のほうが大きいってすぐにわかるね」

僕「ね、だから、すごく《大きな数》を扱うときには、 《指数を使った表現》はとても便利だってことがわかるだろ」

ユーリ「それはそーみたいだけど……ひっかかるにゃ」

僕「何が？」

ユーリ「確かに、 $1000000000000000000000$ みたいに $0$ が《繰り返し》出てくるような数だったら、 $10^{21}$ って短く書けるからいいけど、そんな数ばっかりじゃないじゃん！」

僕「うん、それはそうか。ユーリの言うのも正しいな。 $10^{21}$は$\underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{\REMTEXT{$10$が$21$個}}$という形をしているから、 大きな数でも短く表せると」

ユーリ「そゆこと。何かを繰り返して作った数ならいーんだけど……あ！」

僕「なに？」

ユーリ「お兄ちゃん。ユーリ、おもしろいこと思いついた！」

僕「？」

冪乗の繰り返し

ユーリ「あのね、何回もやったら大きくなるんだから、何乗だともっと大きくなるよね！」

僕「え、どういう意味？」

ユーリ「だってそーでしょ？　何倍よりも何乗のほうが大きいもん！」

僕「いや、ユーリが言ってることの意味がわからないんだよ」

ユーリ「えー！　何でわかんないの！　いまその話、してたばっかりじゃん」

僕「いましてた話って？　いま話してたのはこういうことだろ？」

$$ \underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{\REMTEXT{$10$が$21$個}} $$

ユーリ「うん。これは $10$ を何個も使って掛け算したわけじゃん？」

僕「そうだね。 $21$ 個使って掛け算して、冪乗（べきじょう）を作った」

ユーリ「だったらさ、 $10$ を何個も使ってべきじょうしたら、すっごく大きな数になるよね！ こんな感じ！」

$$ \underbrace{10^{10^{10^{\,\cdot\,^{\,\cdot\,^{\,\cdot\,^{10}}}}}}}_{\REMTEXT{$10$が$21$個}} $$

僕「お！」

ユーリ「ね、これってスーパー大きな数になるよね！」

僕「これは……すごいな」

ユーリ「すごい？　ねーすごい？」

僕「ユーリ。いまユーリが思いついたこの話、村木先生から聞いたことがある」

ユーリ「へ？　そなの？　ゆーめーな話？」

僕「有名というほどでもないと思うけど、そういうことを考えた数学者がいたんだね」

ユーリ「そっか……なーんだ」

僕「いや、でも、ユーリの思いつきはすごいと思うよ。 冪乗っていうのは、掛け算つまり乗算の繰り返しだ」

ユーリ「うん」

僕「《乗算の繰り返し》に意味があるんだったら、 冪乗を繰り返した演算を考えたらどうなるか。《冪乗の繰り返し》ということだね」

ユーリ「そーそー、そー思ったんだよ。ユーリは」

僕「ユーリはそれを一人で気付いた。それはすごいことだよ。 お兄ちゃんは気付かなかった。村木先生に言われたとき、ああ、それは確かに《概念の自然な拡張》だと思ったけど」

ユーリ「なにその《がいねんのしぜんなかくちょー》って」

僕「いま言ったことだよ。冪乗という数学の概念……ここでは計算方法というか、 数の作り方になるけど……それを《乗算の繰り返し》だと考えた。 そしてそこから、新しい概念《冪乗の繰り返し》を考えようとした。 これは《概念の自然な拡張》になる」

ユーリ「ふーん。そんで、その《冪乗の繰り返し》はなんてゆーの？」

僕「名前のこと？　テトレーションだよ」

テトレーション

ユーリ「テトラさん？」

僕「ちがうちがう。テトラちゃんじゃなくて、テトレーション。 乗算を繰り返して作る演算……つまり冪乗のことはエクスポーネンシエーションっていって、 冪乗を繰り返して作る演算はテトレーションっていうんだ」

ユーリ「へー」

僕「ギリシア語の接頭辞はモノ(1)→ジ(2)→トリ(3)→テトラ(4)という順番。 加算→乗算→冪乗→テトレーションという順番で $4$ 番目という意味で、 グッドシュタインという数学者がテトレーションと名前を付けた」

ユーリ「てとれーしょん……」

テトレーション

僕「整理しようか。まずこれが冪乗。エクスポーネンシエーション」

ユーリ「ふんふん。 $n$ 個の $a$ を掛け算するんだね」

僕「そうだね。そしてこれがテトレーション」

ユーリ「うわなにこの変な書き方。 $a$ の左上に $n$ が来てる」

$$ {}^na $$

僕「うん。これはグッドシュタインの書き方らしいよ。物理学だと質量数に見えるけど、もちろんそれは無関係」

ユーリ「えっと、じゃさっそく ${}^{21}{10}$ を計算しよ！」

僕「ちょっと待ってユーリ。それは巨大過ぎるから、まずは小さな数で試してみようよ。こんなのはどうだろう」

ユーリ「こんなのカンタンだよー。だって、えーと、 $2$ を $3$ 個使うんでしょ？　てことは、 $2$ を $2$ 乗して、それをまた $2$ 乗すればいーね！」

$$ {}^{3}{2} = 2^{2^2} = \left(2^{2}\right)^{2} \qquad \REMTEXT{（？）} $$

僕「そう考えたくなるけど、ちょっと違うんだよ、ユーリ。冪乗の繰り返しのときは、上から先に……指数（しすう）の方から先に計算するんだ。 だから、《$2$ を $2$ 乗して、それを $2$ 乗する》んじゃなくて、 《$2$ を〈 $2$ の $2$ 乗〉乗》するのが正しい」

ユーリ「うわややこしー！ニを、ニのニジョウジョウするの？」

僕「〈 $2$ の $2$ 乗〉は $4$ 乗のことだから、さっきの ${}^{3}{2}$ はこう計算する」