[logo] Web連載「数学ガールの秘密ノート」
Share

第408回 シーズン41 エピソード8
納得という名の宝物(後編)

$ \newcommand{\TEXT}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\REMTEXT}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\NONAMACROBASE}[2]{\texttt{..}{\scriptstyle #1}#2} \newcommand{\NONAMACROBASEREV}[2]{#1{\scriptstyle #2}\texttt{..}} \newcommand{\NONAMACRO}[1]{\NONAMACROBASE{#1}{#1}} \newcommand{\NONAMACROREV}[1]{\NONAMACROBASEREV{#1}{#1}} \newcommand{\NONA}{\NONAMACROBASE{\textrm o}{\textrm O}} \newcommand{\NONAX}{\NONAMACROBASE{\textrm x}{\textrm X}} \newcommand{\NONAQ}{\NONAMACRO{?}} \newcommand{\NONAQREV}{\NONAMACROREV{?}} \newcommand{\NONAEX}{\NONAMACRO{!}} \newcommand{\NONAHEART}{\NONAMACRO{\heartsuit}} \definecolor{CUD-GREEN}{rgb}{0.012,0.686,0.478}% 3,175,122 \newcommand{\MARK}[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand{\MARKA}[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand{\MARKB}[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand{\MARKC}[1]{\textcolor{CUD-GREEN}{#1}} \newcommand{\GEQ}{\geqq} $

【お知らせ】

更新を見逃したくない方は 「数学ガールのお知らせメール」 にご登録ください。無料です。

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

ノナユーリの同級生。 ベレー帽をかぶってて、丸い眼鏡を掛けていて、ひとふさだけの銀髪メッシュ。 数学は苦手だけど、興味を持ってる中学生。 絵を描くのが好きな《ふわふわアーティスト》。

僕の家

ノナユーリの三人はリビングで数学トークを続けている。

どうやらノナは、 $(x + 1)^2$ や $x^2 + 2x + 1$ のように、 数式にいろんな書き方がある理由が気になっているようだ。

はその理由の一つを説明しようとしているところ(第407回参照)。

「たとえば、 $x$ がどんな実数でも、 $$ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $$ は成り立つ。ここで右辺に注目してみよう。 $x$ が実数だとすると、 $$ (x + 1)^2 $$ という式を見た瞬間に『あ、この式の値は $0$ 以上になる!』とわかる。 つまり、 $x$ がどんな実数でも、 $$ (x + 1)^2 \GEQ 0 $$ という不等式が成り立つ。このことはわかる?」

ユーリ「わかるわかる」

ノナ「……」

ユーリはうんうんと肯き、ノナはそれにつられて肯き掛けたけれど、首を傾げた。

「ユーリはわかった。ノナちゃんはわからない?」

ノナ「……」

「わからないときは、『わからない』と言ってもいいんだよ。誰も怒らないし、 時間はたっぷりあるんだから」

ノナ「わかる……わかります $\NONAX$」

ノナは『わかります』と言う。でも、にはまったくそうは感じられない。

難しい。

すごく難しい。

教えること、伝えることって、すごく難しいんだな。

自分が知ることや、自分が学ぶことも難しいけれど、それはすべて『自分』だけで完結する。

でも、教えることや伝えることは違う。まったく違う。『自分』だけでは完結しない。

『相手』がいる。

相手が要るし、相手が居るのだ。

は注意深く言葉を選びながら、できるだけ優しい口調で話を続ける。

「なるほど。『どんな実数 $x$ に対しても、 $(x + 1)^2 \GEQ 0$ という不等式が成り立つ』と言われたとき、 ノナちゃんはわかる。でも、何か気に掛かるところがあるんじゃない? ノナちゃんのその気持ちを言葉にしたら、 どうなるだろう。試しにやってみようか」

ノナ「……」

は待つ。

ノナの心の中で言葉が生まれ、育ち、羽ばたくのを待つ。

あわてなくても大丈夫だよ、ノナ

時間はたっぷりあるんだから。

ノナ「すぐにはわからない $\NONAX$」

「ああ、そうか。 $(x + 1)^2$ を見た瞬間にはわからないけれど、 ゆっくり考えればわかるって言いたいんだね」

ノナ「はい $\NONA$」

「なるほど、なるほど。うん、これは僕の言い方がよくなかったね。 でも慣れてきたら $(x + 1)^2$ を見るとすぐにこれは $0$ 以上だなと気付くようになるよ」

ユーリ「どっちにしても $0$ 以上だからでしょ?」

ノナ「どっち $\NONAQ$」

「ユーリが言いたいのは、 $x + 1$ の部分がマイナスでも、ゼロでも、プラスでも、どれにしても $2$ 乗した $(x + 1)^2$ は $0$ 以上になるってことだね」

ユーリ「そーそー!」

ノナ「大丈夫……大丈夫です $\NONA$」

「ちょっとだけ補足すると、 実数というのは必ず、マイナスか、ゼロか、プラスのいずれかになる。必ずそうなる。 実数は数直線上に並んでいる数だから」

「そして、マイナス×マイナスはプラスになるし、ゼロ×ゼロはゼロになるし、 プラス×プラスはプラスだから、結局、実数を $2$ 乗したら必ずプラスまたはゼロになる。 プラスまたはゼロになるというのは、 $0$ 以上になるということ」

ユーリ「ずいぶん長い『ちょっとだけ補足』だにゃ・・

「それで、ええと、話を戻すね。 僕がいいたかったのは式の書き方の話だった。 いま、 $x$ が一つの実数だとする。実数というのは数直線上にある数で、プラスかもしれないし、マイナスかもしれないし、 ゼロかもしれない。だから、 $$ x^2 + 2x + 1 $$ という式を見たときに『この式の値は絶対にマイナスにならない!』とすぐにはわからない」

ノナ「……」

「$x^2 + 2x + 1$ で、 $x^2$ の部分はマイナスにはならないし、 $1$ の部分はもちろんプラス。 でも、 $2x$ の部分はプラスかもしれないしマイナスかもしれない。それは $x$ がどんな実数かによる。 そうすると、 $x^2$ と $2x$ と $1$ をぜんぶ足したときに『絶対にマイナスにはならないぞ!』とはなかなか判断できない」

ノナ「そう $\NONAEX$  そう $\NONAEX$」

ユーリ「うおっと!」

「うわっ!」

急にノナが大きな声を上げたので、ユーリも引きずられて大声を上げてしまった。

の話の中に、そんなに驚くところはあったか?

無料で「試し読み」できるのはここまでです。 この続きをお読みになるには「読み放題プラン」へのご参加が必要です。

ひと月500円で「読み放題プラン」へご参加いただきますと、 434本すべての記事が読み放題になりますので、 ぜひ、ご参加ください。


参加済みの方/すぐに参加したい方はこちら

結城浩のメンバーシップで参加 結城浩のpixivFANBOXで参加

(2023年10月27日)

[icon]

結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki


『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

Twitter note 結城メルマガ Mastodon Bluesky Threads Home