第246回 シーズン25 エピソード6

暗記と理解（後編）

図書室にて

テトラ「……あたしたちは《例示は理解の試金石》というスローガンを大事にしています。よね？」

僕「そうだね、僕たちは《例示は理解の試金石》を大事にしている」

• 理解したかどうか確かめたかったら、例を作ろう。
• 例を作ることができたら、理解している。
• 例を作ることができなかったら、理解していない。

テトラ「あたしはそのスローガンを聞いたときに、すっと納得できました。 あたしは、根気よく書き上げることや、例をたくさん作ることが好きです。 だから、自分のやっていることはまちがっていなかった……そんなふうにうれしくなりました」

僕「なるほど。そうだね、テトラちゃんは根気よくて粘り強い。 例を作って理解することはとても大事だよね」

テトラ「でも、最近、例をたくさん積み上げるだけでは、乗り越えられない壁があるように感じるんです」

僕「えっ？　どういうこと？」

テトラ「数学ではいろんな定義が出てきます。 これが多項式ですよ。これが関数ですよ、これが微分ですよ……という具合に」

僕「もちろん、そうだね。数学で定義はとても大事」

テトラ「そしてその定義を理解するために、例を作ることになりますよね。 具体的な多項式、具体的な関数、具体的な微分……いろんな例を作ります」

僕「うん、うん、それで？　それはちっとも悪いことじゃない」

テトラ「そんなふうに例を作ると、自分が定義を理解しているかどうかを試せます。《例示は理解の試金石》です」

僕「その通りだと思うよ」

テトラ「でも、それだけでは乗り越えられない壁、理解のギャップがあることをよく感じます」

僕「へえ……《例示は理解の試金石》の弱点ということかな？」

テトラ「弱点というわけではないんですが、あたしが感じる、その乗り越えられない壁っていうのはSo what?という疑問です」

僕「So what?（だから、何？）」

テトラ「はい。そう思いませんか。数学を勉強して、 新しいことを学びます。具体例を作ることができて、 確かに自分は理解したと感じることがあります。 練習問題も解けるし、テストで点が取れます。 でも《だから、何？》と感じることはよくあります」

僕「なるほど……」

テトラ「あっと、もちろん、それは『数学が何の役に立つのか』という意味の疑問ではないです」

僕「うん、テトラちゃんの言いたいことはわかってるよ」

テトラ「問題は解けるから、確かに理解はしていると思うんですが、 でも、So what? ……《どうしてそんなことを考えるのか》……がわからないことがあるんです。 それは、とっても、もどかしいです」

僕「なるほどね。テトラちゃんがいうもどかしさというのは、 《意味はわかるけど、意義がわからない》ということだよね」

テトラ「それです！」

僕「あるいは《それのどこに、おもしろいところがあるのか》という疑問？」

テトラ「そうそう、そうです！　……どうして先輩はあたしの言いたいことがわかるんですか」

僕「僕も、テトラちゃんと同じように感じることがよくあるからだよ、きっと」

テトラ「そうなんですね。 あたしは、いろんなところで引っかかります。 たとえば《多項式の書き方》でも引っかかりました」

僕「多項式の書き方って何だっけ」

テトラ「$x + 5x^2 + 4x - 2x^2 + 1$ という多項式があったときに、 同類項をまとめて、降冪の順（こうべきのじゅん）に並べて $3x^2 + 5x + 1$ にする話です」

$$ \begin{align*} x + 5x^2 + 4x - 2x^2 + 1 &= (x + 4x) + (5x^2 - 2x^2) + 1 && \REMTEXT{同類項をまとめた} \\ &= 5x + 3x^2 + 1 && \REMTEXT{計算した} \\ &= 3x^2 + 5x + 1 && \REMTEXT{降冪の順にした} \\ \end{align*} $$

僕「ああ、式の整理の方法のこと」

テトラ「はい、そうです。同類項をまとめて、降冪の順に並べることは、 やり方を理解すればできます。自分で具体例を作ることもできます。 問題が出れば解くこともできます」

僕「うん。でも？」

テトラ「はい。でも、So what? と心のどこかで思います。 どうしてこんな整理の仕方をするんでしょうか。 こうしなくてはいけないんでしょうか。 他の整理の仕方ではいけないんでしょうか……のように」

僕「そういえば、テトラちゃんとその話をした記憶があるよ （『数学ガールの秘密ノート／式とグラフ』参照）」

テトラ「はい、確か、ミルカさんもいらっしゃったはずです」

僕「どんな話になったんだっけ。最高次数を調べるのに便利とか？」

テトラ「それもありますが、多項式の同一性……チェック」

僕「ああ、なるほど。二つの多項式があったときに、 式の整理をしたあとなら同じ多項式かどうかわかりやすい、みたいな話だね」

テトラ「はい、確かそんな話になりました」

僕「思い出してきたぞ。多項式の次数を調べるのはなぜかという話もしたよね。 関数のグラフの形が似ているとか何とか……」

テトラ「そうです、そうです。 一次関数、二次関数、三次関数……それぞれのグラフを考えたとき、 同じ次数の多項式が作る関数のグラフ同士は似ています」

僕「一次関数のグラフは直線になるし、二次関数のグラフは放物線になる」

テトラ「はい、そうです。そしてそこまでわかったとき、 あたしは『なるほど』と思えました」

僕「へえ……」

テトラ「だって、そうですよね。 関数のグラフはとってもたくさんあります。 無数にあります。でも《一次関数のグラフ》というだけで、 直線であると決まるわけです。それはとてもすごいことなんじゃないでしょうか」

僕「うん、そうだと思うよ」

テトラ「だとすると、何次関数なのかを知るのは意味がありますし、 多項式の最高次数を調べることにも意味がありますし、 同類項をまとめて降冪の順に整理することにも意味があります。 いろんな意味がつながるんです」

僕「うんうん」

テトラ「あたしが『なるほど』と思ってうれしかったのは、 わけがわからないことを強制させられているんじゃない、 と感じたからです」

僕「わけがわからないことって、式の整理のこと？」

テトラ「はい、そうです。 ルールが与えられて、参考書に枠で囲まれて《重要ポイント》と書かれて、 ここはテストに出ると言われます。 覚えればルールに従うことはできます。 重要ポイントと書かれれば重要なのだと思います。 テストに出ると言われれば復習もしてテストに備えます。 でも、そうやっているだけでは、あまり『なるほど』とは思えません」

僕「そりゃそうだね。納得しなくちゃ『なるほど』とはいえない」