第180回 シーズン18 エピソード10

数学的帰納法の第一歩（後編）

僕の部屋

ユーリ「あのね。無数のドミノは倒せない、って思ったの。 だって、一個ずつしか倒せないもん。 数学的帰納法の話って、お兄ちゃんの《テンテンテン》でごまかされた感じがする。それが、すんごくイヤ」

僕「なるほど、なるほど」

ユーリ「ドミノは無数にあるから、倒し尽くすことはないでしょ？　だったら、 証明したいことも無数にあるんだから、証明し尽くすことはないってことにならない？」

僕「ユーリ！　ユーリは、ほんとに賢いなあ！　まったく同じこと、考えたよ」

ユーリ「え？　お兄ちゃんが？」

僕「うん。そして、自分なりに納得したポイントがあるんだ」

ユーリ「そーなんだ」

僕「まず、数学的帰納法はこういう２ステップの証明方法だったよね？」

ユーリ「前回読んでないヒト向けの配慮はいーから、先に進んでよ」

僕「メタ発言自重。それで、ユーリがいう《テンテンテン》はこれのことだろ？　説明するときに書いた、これ」

ユーリ「これこれ！　最後の『・・・』があやしいの。どこまでいっても終わらないじゃん？　これで、 証明したことになるの？」

僕「自分が納得したときにはこんなふうに考えたんだよ。 『このまま、 $1$ 個ずつ追いかけていったら、いつまで経っても終わらないな』って。 そこで、考え方を変えてみた。『《$n$ についての主張》が証明されないような、そんな正の整数 $n$ ってあるのかな？』ってね」

ユーリ「証明されないもの……」

僕「どこまでいっても証明が終わらない。いつまで経っても証明が終わらない。そんな感覚に襲われてしまう。 だったら、《$n$ についての主張》で証明されないものはあるだろうかと考えてみたんだ」

ユーリ「たとえば《$123$ についての主張》とか、そゆこと？」

僕「そういうこと。たとえば、ね。いまユーリが言ったのは $n$ が $123$ の場合を考えたわけだ」

ユーリ「そんでそんで？」

僕「具体的に $n = 123$ と与えられたら、それは確実に証明できることがわかるよね。

ユーリ「にゃるほど……これは証明できてる」

僕「いまは $123$ で考えたけれど、 $1234$ でも、 $100000$ でも何でも同じだよね。 だから、自分はこんなふうに納得したんだ。 『数学的帰納法を使って《$n$ についての主張》を証明したならば、 どんな正の整数 $n$ を持ってきても、確かにそれは証明されている』ってね」

ユーリ「うう……確かに証明できない $n$ は持ってこれない……くぅ、くやしいが納得じゃ」

僕「ところで、ユーリは途中に出てきた《テンテンテン》は気にならないの？」

ユーリ「だって、それは無限じゃないもん。ユーリが気にしてたのは、最後についてる《テンテンテン》だけ。無限に続くやつ」

僕「その違いがわかるんだ。すごいな。その違いはとっても大事なんだよ。 数式でもよく出てくるよ。こんなの」

ユーリ「この違いはわかるよん。 $F_1 + F_2 + \cdots + F_n$ は $n$ 個足してるから有限個でしょ。 $F_1 + F_2 + \cdots$ は無限個足してる」

僕「そうだね。『無限個の項』という言い方をすることはあまりなくて、 たいていは『無数の項』というかな」

ユーリ「へー」

僕「数学的帰納法の《説明》をするときには《テンテンテン》を使うけど、 数学的帰納法そのものには《テンテンテン》は出てこないよ」

ユーリ「えっ、そーだっけ？」

僕「よく読んでなかったユーリに配慮して、もう一度書いてみようか」

ユーリ「ほんとだ！　《テンテンテン》は出てきてない！」

数学的帰納法を使う

僕「数学的帰納法のいいところは、考えを進めるパターンがあるところ。 《$n$ についての主張》を証明したかったら、２ステップに当てはめて考えていけばいいからね。 そのときにはドミノのことを思い出すのも悪くない。最初のドミノを倒す（ステップA）と、 途中の $k$ 番目が倒れたならば、 $k+1$ 番目が倒れることを示す（ステップB）と」

ユーリ「ちょっと待ってお兄ちゃん。それってすごくない？　だって《$n$ についての主張》の形だったら、 何でもサクサク証明できるってことでしょ？　パターンに当てはめて」

僕「いや……残念ながら、そううまくは行かないんだ。何でもサクサクとはいかない」

ユーリ「なんで？　いま、当てはめればいーって言ったじゃん」

僕「たいていは（ステップA）はすぐにできる。具体的だから、まあ機械的にできる。 でも、（ステップB）を証明するのは機械的にはいかない。簡単な問題は簡単にいくけど、難しい問題は難しい」

ユーリ「なーんだ」

僕「それでも、さっき言ったように、考えを進める道筋があるのは助かるんだよ」

ユーリ「たとえば？」

僕「え？」

ユーリ「たとえば、どんなふうに？　『ほらユーリ、数学的帰納法を使えばこんなふうに問題が解けるんだよ』……って例がないとわかんないよ。 《例示は理解の試金石》だもん」

僕「はいはい……何か問題を考えろってことだね。たとえば、フィボナッチ数列の第 $n$ 項までの和 $F_1 + F_2 + \cdots + F_n$ は……」

ユーリ「それ、さっきやったばっかり（第179回参照）」

僕「それじゃ、たとえば平方和を考えてみようか。つまり $F_1^2 + F_2^2 + \cdots + F_n^2$ ということ」

ユーリ「ほほー？」

ユーリ「……」

僕「さて」

ユーリ「これ、どーやって数学的帰納法使うの？」

僕「いやいや。数学的帰納法は《$n$ についての主張》を証明する方法なんだから、 まず何を証明すべきかを見つけなくちゃいけない」

ユーリ「だって、 $T_n$ について証明すんでしょ？」

僕「そうなんだけど《$T_n$ とはこういう数列である》という形の主張にしなければ、 証明できないよ。何を証明するか決まらないのに、証明はできないよね」

ユーリ「んー、そりゃそーか……ちょっと待って。 だったら、 $T_n$ がどんな数列か、予想しなきゃダメってこと？」

僕「そういうことになるね」

ユーリ「なんか話、ちがーう！　数学的帰納法だとすべてオーケー、じゃないの？」

僕「そんなこと言ってないよ。 $T_n$ という数列について予想を立てたら、 それを数学的帰納法で証明できるかも、ということ」

ユーリ「そんなにうまいこと予想なんて、できないよー」

僕「だから、予想を立てる前に必ずやるべきことがある」

ユーリ「なになに？」

僕「小さい $n$ について、具体的に $T_n$ の値を求めること。 具体的に計算できるんだから。具体的に値を求めると、予想しやすくなるんだ」

ユーリ「うわめんどい」

僕「いっしょに計算していこう」

ユーリ「へーい」

僕「まずは、 $F_n^2$ の表を作ろうか」