第78回 シーズン8 エピソード8

一般には、一般には（後編）

僕とテトラちゃんが $e^x$ の冪級数展開についておしゃべりした次の日の放課後。

教室でカバンを片付け、 そろそろ図書室に行こうかなと思っていると、ミルカさんがやってきた。 ミルカさんは僕のクラスメート。数学が得意な才媛である。

村木先生のカード

実数全体を定義域とする関数 $T(x)$ を以下のように定義する。

$$T(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$$

このとき、 $T(2x)$ を $T(x)$ で表せ。ただし $e$ は自然対数の底とする。

教室には僕とミルカさんしかいない。 黒板に向かい、僕は問題を解き始めた。 ミルカさんは最前席で机に腰掛け、足を組む。

《僕の板書1》

$$\begin{array}{rlrl}T(x)& ={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}& & \mathbf{\text{関数}}T(x)\mathbf{\text{の定義から}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^x{e}^x-e^x{e}^{-x}}{e^x{e}^x+e^x{e}^{-x}}}& & \mathbf{\text{分子分母に}}{e}^x\mathbf{\text{を掛けた}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}& & \mathbf{\text{指数法則から}}{e}^x{e}^x=e^{2x},e^x{e}^{-x}=1\end{array}$$

《僕の板書2》

$$\begin{array}{rlrl}T(x)& ={\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}& & \mathbf{\text{板書1から}}\\ T(x)\cdot (e^{2x}+1)& =e^{2x}-1& & \mathbf{\text{両辺に}}{e}^{2x}+1\mathbf{\text{を掛けて分母を払う}}\\ T(x)\cdot e^{2x}+T(x)& =e^{2x}-1& & \mathbf{\text{左辺を展開した}}\\ T(x)\cdot e^{2x}-e^{2x}& =-1-T(x)& & e^{2x}\mathbf{\text{を左辺に移項し、}}T(x)\mathbf{\text{を右辺に移項}}\\ e^{2x}\cdot (T(x)-1)& =-1-T(x)& & e^{2x}\mathbf{\text{でくくった}}\\ e^{2x}& ={\displaystyle \frac{-1-T(x)}{T(x)-1}}& & \mathbf{\text{両辺を}}T(x)-1\mathbf{\text{で割った}}\\ e^{2x}& ={\displaystyle \frac{1+T(x)}{1-T(x)}}& & \mathbf{\text{分子分母に}}-1\mathbf{\text{を掛けて整理}}\end{array}$$

《要確認》

実数全体を定義域とする関数 $T(x)$ を以下のように定義する。

$$T(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$$

このとき、 $T(x)-1=0$ を満たす実数 $x$ は存在するか。

《僕の板書3》（《要確認》を考える）

$$\begin{array}{rlrl}T(x)-1& ={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}-1& & T(x)\mathbf{\text{の定義から}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}-1& & \mathbf{\text{板書1から}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}-{\displaystyle \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}+1}}& & \mathbf{\text{通分}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^{2x}-1-(e^{2x}+1)}{e^{2x}+1}}& & \mathbf{\text{引き算}}\\ & ={\displaystyle \frac{-2}{e^{2x}+1}}& & \mathbf{\text{計算した}}\end{array}$$

分子が $-2$ だから、この式は $0$ にならない。 よって、どんな実数 $x$ に対しても $T(x)-1\ne 0$ がいえた。

《要確認》の答え

$T(x)-1=0$ を満たす実数 $x$ は存在しない。

《僕の板書4》（$T(2x)$ を $T(x)$ で表す）

$$\begin{array}{rlrl}T(x)& ={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}& & \mathbf{\text{板書1から}}\\ T(2x)& ={\displaystyle \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}}& & \mathbf{\text{上の式の}}x\mathbf{\text{を}}2x\mathbf{\text{に変えた}}\end{array}$$

上の式の右辺を $T(x)$ で書くのが目標だ。

$e^{-2x}$ は $e^{2x}$ の逆数だから、次の二式が成り立つ。

$$\{\begin{array}{llll}{e}^{2x}& ={\displaystyle \frac{1+T(x)}{1-T(x)}}& & \mathbf{\text{板書2から}}\\ e^{-2x}& ={\displaystyle \frac{1-T(x)}{1+T(x)}}& & \mathbf{\text{上の逆数}}\end{array}$$

ここまでで準備ができた。 $T(2x)$ の分子と分母を順番に計算する。

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{《}}T(2x)\mathbf{\text{の分子》}}\\ & =e^{2x}-e^{-2x}\\ & ={\displaystyle \frac{1+T(x)}{1-T(x)}}-{\displaystyle \frac{1-T(x)}{1+T(x)}}\\ & ={\displaystyle \frac{{(1+T(x))}^2}{(1+T(x))(1-T(x))}}-{\displaystyle \frac{{(1-T(x))}^2}{(1+T(x))(1-T(x))}}& & \mathbf{\text{通分}}\\ & ={\displaystyle \frac{{(1+T(x))}^2-{(1-T(x))}^2}{(1+T(x))(1-T(x))}}\\ & ={\displaystyle \frac{4T(x)}{(1+T(x))(1-T(x))}}& & \mathbf{\text{計算した}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{《}}T(2x)\mathbf{\text{の分母》}}\\ & =e^{2x}+e^{-2x}\\ & ={\displaystyle \frac{1+T(x)}{1-T(x)}}+{\displaystyle \frac{1-T(x)}{1+T(x)}}\\ & ={\displaystyle \frac{{(1+T(x))}^2}{(1+T(x))(1-T(x))}}+{\displaystyle \frac{{(1-T(x))}^2}{(1+T(x))(1-T(x))}}& & \mathbf{\text{通分}}\\ & ={\displaystyle \frac{{(1+T(x))}^2+{(1-T(x))}^2}{(1+T(x))(1-T(x))}}\\ & ={\displaystyle \frac{2(1+T(x{)}^2)}{(1+T(x))(1-T(x))}}& & \mathbf{\text{計算した}}\end{array}$$

村木先生のカード（解答）

$$T(2x)={\displaystyle \frac{2T(x)}{1+T(x{)}^2}}$$

ミルカさんは何を言ってるんだろう。