第76回 シーズン8 エピソード6

ゼロの足し算（後編）

リビングにて

ユーリ「さっきの表もっかい見せて！」

僕「これ？」

• $\LOG{\dfrac{1}{1\underbrace{000\cdots0}_{\REMTEXT{$n$}個}}} = -n$
• ……
• $\LOG{\dfrac{1}{100000}} = -5$
• $\LOG{\dfrac{1}{10000}} = -4$
• $\LOG{\dfrac{1}{1000}} = -3$
• $\LOG{\dfrac{1}{100}} = -2$
• $\LOG{\dfrac{1}{10}} = -1$
• $\LOG{1} = 0$
• $\LOG{10} = 1$
• $\LOG{100} = 2$
• $\LOG{1000} = 3$
• $\LOG{10000} = 4$
• $\LOG{100000} = 5$
• ……
• $\LOG{1\underbrace{000\cdots0}_{\REMTEXT{$n$}個}} = n$

ユーリ「さっきから何だか引っかかってたんだけど」

僕「何に？」

ユーリ「$10$ の対数は $1$ で、 $1$ の対数は $0$ じゃん？」

僕「そうだね。 $10$ を底とすれば」

ユーリ「だったら《$10$ を底としたときの、 $0$ の対数》って何？」

僕「ユーリはいいところに気付いたなあ」

ユーリ「いやいや、そーゆー上から目線はいーから教えてよ。 $0$ の対数は何？」

僕「何だと思う？」

ユーリ「わかんないから聞いてるんだけど」

僕「でも、予想はしてるだろ？　予想したから何かが《引っかかった》わけだし」

ユーリ「お兄ちゃんはいいところに気付いたなー……あのね、ユーリはこう考えたの」

• $\LOG{\dfrac{1}{10}} = -1$ で、これはマイナス $1$ じゃん？
• $\LOG{1} = 0$ で、これはゼロ。
• $\LOG{10} = 1$ で、これはプラス $1$ 。

僕「そうだね」

ユーリ「そーか、 $\LOG{1} = 0$ なんだ。それじゃ $\LOG{0}$ って何だろって思ったんだよ」

僕「なるほど」

ユーリ「$\LOG{0} = 0$ なのかにゃ？　って思ったけど、 $\LOG{1}$ も $\LOG{0}$ も両方とも $0$ って何だか変じゃん？」

僕「そうだね、その気持ちはよくわかる」

ユーリ「$\LOG{10} = 1$ で、 $\LOG{100} = 2$ で、『そーだそーだ $0$ の個数』と思ったけど、 でも $0$ の個数ってゆーのは $1, 10, 100, 1000, \ldots$ という数の場合の話だよね」

僕「そうだね」

ユーリ「だから結局 $\LOG{0}$ はよくわかんなくなった」

僕「なるほど。ユーリ、自分が考えたことの説明、うまくできたなあ」

ユーリ「え、そ、そーかにゃ（照れ）」

僕「いつもは割とぐちゃぐちゃな説明になるのに」

ユーリ「余計なこと言わなくていーから。それで？　 $\LOG{0}$ は？」

僕「$\LOG{0}$ の値は……未定義だね」

ユーリ「《みてーぎ》って、何？　やっぱりゼロってこと？」

僕「違う違う。未定義というのは定義されていないということ。いいかえると $\LOG{0}$ という表記には意味がない。 数じゃないといってもいいけど。定義されていないんだから、 $0$ でもない」

ユーリ「え？　定義されてない……そんなのアリなの？」

僕「ありだよ」

ユーリ「うわー、めちゃめちゃ納得できないー」

僕「そう？」

ユーリ「そーだよー。 $\LOG{0}$ は未定義……」

僕「数学ではときどきあるよ。たとえば対数じゃないけど、 $\dfrac{1}{0}$ も同じように未定義だよね」

ユーリ「あ、ゼロ割……確かに」

僕「対数に話を戻すけど、 $\LOG{y}$ という表記が意味を持つのは $y > 0$ という条件を満たすときだけなんだ。この条件のことを真数条件（しんすうじょうけん）という」

ユーリ「しんすうじょうけん……」

僕「そう。真数っていうのは $\LOG{y}$ の $y$ のこと」

ユーリ「うわややこしい」

僕「ややこしくないよ。対数と真数は用語としてちょうど逆の意味になるんだね。 $x = \LOG{y}$ のとき、《$x$ は $y$ の対数》で《$y$ は $x$ の真数》ということ」

ユーリ「えー、でも、その条件……真数条件 $y > 0$ はいったいどっから出てきたの？　こーゆーの、突然出てこられてもなー」

僕「そうだね。それはごもっとも。お兄ちゃんも、はじめて $\log$ を習って真数条件のことを知ったときに『なんだこれ？』って思ったよ」

ユーリ「そーなんだ」

僕「でもこれは難しくない。ほらあれだよ。ポリアの《定義にかえれ》を実行してみればいい」

ユーリ「定義にかえれ？　何の定義？」

僕「もちろん、 $\LOG{y}$ の定義だよ。これだ」

ユーリ「え？」

僕「さっきは真数を $y$ で表したから、こう言い直そうか」

ユーリ「いやいや、これはわかってるよー。《$10$ を $x$ 乗したのが $y$》とすると、《$y$ の対数は $x$》ってことじゃん？」

僕「そうだよ。だったら真数条件はすぐわかるよね？」

ユーリ「？」

僕「$10^x = y$ を考えるとすぐにわかるよ。 $y$ は $10^x$ という数だから、必ず $0$ より大きくなるじゃないか！」

ユーリ「あ！」

僕「$y = 10^x$ というグラフを考えるともっとはっきりする。 $y = 10^x$ のグラフは $x$ 軸よりも必ず上にある。 つまりそれは常に $y > 0$ が成り立っているということになるよね。 $x$ 軸よりも上というのは $y > 0$ ということだから」

ユーリ「お、おおっ？　にゃるほどー……」

僕「さらに言い換えてみるよ。 $y = 10^x$ という $x$ と $y$ との関係を、 $\log$ を使って書くなら $\LOG{y} = x$ になるけれど、 それは、 $x$ と $y$ の関係を逆の視点で見ているだけなんだよ。 $y > 0$ としたとき……」

$$ y = 10^x \quad \Longleftrightarrow \quad \LOG{y} = x $$

ユーリ「そっかー。 $y = 10^x$ と $\LOG{y} = x$ は逆の視点……」

僕「ね？　だから、 $\LOG{y}$ という数式をみたときには $y > 0$ という真数条件を絶対に忘れないようにしなくちゃいけないんだ。 $y > 0$ は納得した？」

ユーリ「納得……してない」

僕「がく。え？　どうして？」