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Web連載「数学ガールの秘密ノート」
オフシーズンのお知らせ
結城浩です。いつもご愛読ありがとうございます。
おかげさまでこのWeb連載も今回で第480回を迎えました！ みなさまの応援に感謝します！
さて、たいへん恐れ入りますが、 次のシーズン準備と書籍執筆のため、 下記の通りしばらく更新をお休みいたします。
| 日程 | 内容 |
|---|---|
| 2026年8月28日（金） | 第480回更新 |
| 2026年9月4日〜11月13日 | オフシーズンのため更新はありません |
| 2026年11月20日（金） | 第481回更新（以降、毎週金曜日更新） |
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登場人物紹介
僕：数学が好きな高校生。
テトラちゃん：僕の後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。
ミルカさん：数学が好きな高校生。 僕のクラスメート。メタルフレームの眼鏡に長い黒髪の《饒舌才媛》。
ミルカ「平方剰余の相互法則」
テトラ「それは、どういう法則になるんでしょう」
ミルカ「初等整数論における美しい定理だ。ステートメントはこうなる」
平方剰余の相互法則
相異なる奇素数 $p,q$ に対して、 $$ \LegSym{q}{p}\LegSym{p}{q} = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} $$ が成り立つ。
ただし、 $\tLegSym{q}{p}$ および $\tLegSym{p}{q}$ はルジャンドル記号である（第475回参照）。
テトラ「……」
僕「……」
僕とテトラちゃんはしばらく無言で、この式を見つめた。
出てくる文字は $p$ と $q$ だけ。
二つのルジャンドル記号の積が、こんなにシンプルな形に書けるの？
テトラ「ずいぶん複雑ですね……」
僕「え。僕はずいぶんシンプルだと思ったけど」
テトラ「ともかく、あたしは具体例を作ります！ たとえば、 $p = 7$ で $q = 5$ とします。 $5$は$7$を法として$\TextNO$です（第476回参照）。 $p,q$ を反対にして、 $7$は$5$を法として（しばし計算）$\TextNO$です。 ということは、 $$ \LegSym{q}{p}\LegSym{p}{q} = \LegSym{5}{7}\LegSym{7}{5} = (\LegNO)\times(\LegNO) = 1 $$ になります。 $1$ ですね。 一方、 $$ (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} = (-1)^{\frac{7-1}{2}\frac{5-1}{2}} = (-1)^{3\times 2} = 1 $$ なので、こちらも $1$ です。 確かに、 $p = 7, q = 5$ のとき $$ \LegSym{q}{p}\LegSym{p}{q} = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} $$ は成り立っていますね」
ミルカ「では、ガウスの補題を使った、 平方剰余の相互法則の証明を紹介しよう。 これは高木貞治の『初等整数論講義』に書かれていた証明で、 図形の対称性を用いた巧妙なものだ。 非常にわかりやすい。 ではまず、証明の設定をしよう」
そこでテトラちゃんがさっと手を挙げた。
質問がある、ということだ。
テトラ「いまからミルカさんは『平方剰余の相互法則』の証明をなさるんですよね？」
ミルカ「そのつもりだが」
テトラ「あの……わがままなことを言うようですが、 証明を小出しに していただくことはできますか？」
ミルカ「証明を小出しにする？」
テトラ「はい。 あのですね、 あたし、この《$p$ を法とする世界》に、少しだけ慣れてきたように思います。 フェルマーの小定理（第473回参照）、 ルジャンドル記号（第475回参照）、 オイラーの規準（第477回参照）、 ガウスの補題（第478回参照）などなど、 たくさんの《お友達》もできました。 それは、具体例をたくさん作ったからだと思うんです」
ミルカ「ふむ。それで？」
テトラ「平方剰余の相互法則 について、 証明全文をいきなり示されてしまうと、 ちょっと『もったいない』というか……一歩一歩をあたしも確かめつつ進みたいんです。 わ、わがままでしょうか」
ミルカさんは目を閉じ、一呼吸おいてから目を開く。
ミルカ「もちろん、わがままではない。 証明をただ追うのではなく、一歩一歩確かめながら進むことに異論はない。 むしろそれは、私の方の理解度が試される要求だな。 証明をただ再生するだけではいけないからだ」
僕「それは、どういう意味？」
ミルカ「そこまでの知識から自然に導ける部分と、 アイディアが必要な部分とを分ける必要があるからだ」
僕「へえ……」
テトラ「ぜひ、お願いします」
ミルカ「では最初に、グラフを描こう。方程式 $$ y = \frac{q}{p}x $$ で表されるグラフだ。もちろんこれは、原点を通る右上がりの直線になる」
僕「グラフ？」
こんなふうにして、ミルカさんの《講義》が始まった。
「平方剰余の相互法則」の証明だ。
ミルカ「座標平面に $y = \tfrac{q}{p}x$ のグラフを描く。この直線を $L$ と呼ぶことにする」
$y = \tfrac{q}{p}x$ のグラフ（直線 $L$）（$p = 7, q = 5$ の場合）
テトラ「これは $p = 7$ で $q = 5$ の場合のグラフということですね。 傾きが $q/p = 5/7$ で、原点 $(0,0)$ と $(p,q)$ を通る直線です。 はい、特に疑問はありません」
ミルカ「次に、点 $A,B,C$ を次のようにとる。
長方形 $OACB$ を描く
テトラ「ちょっと待ってください。 直線 $L$ は点 $C$ を通らないですよね？」
ミルカ「通らない。 $p$ と $q$ は互いに素だから」
テトラ「はい。大丈夫です」
ミルカ「ここからの関心事は長方形 $OACB$ の内部にある 格子点になる」
テトラ「こうしてん？」
僕「格子点というのは、 座標平面上で $x$ 座標と $y$ 座標の両方が整数である点のことだよ、テトラちゃん」
テトラ「ああ、長方形 $OACB$ でいえば、こういう点ですね」
格子点
僕「長方形 $OACB$ の内部にある格子点だと、こうじゃないかな。
長方形 $OACB$ 内部にある格子点
ミルカ「テトラは、この図と《お友達》になれたかな？」
テトラ「はい、 大丈夫です。 $p = 7, q = 5$ で具体的に考えられていますし、 直線 $L$ も点 $A,B,C$ のこともよくわかります。 《お友達》かどうかはわかりませんが、ごあいさつはしました」
僕「この図が平方剰余の相互法則の証明につながっていくの？」
$p = 7, q = 5$ のとき
$p = 11, q = 7$ のとき
ミルカ「一歩一歩進もう。 平方剰余の相互法則には、 $\tLegSym{q}{p}$ と $\tLegSym{p}{q}$ の二つのルジャンドル記号が出てくる。 そこでまずは、 $\tLegSym{q}{p}$ に注目しよう。この値をガウスの補題を使って求めるとしたらどうなる？」
テトラ「はい。ガウスの補題に出てくる $n$ を $q$ として考えればいいんですね」
僕「平方剰余の相互法則で、 $p,q$ が相異なる素数としているから、 $q$ は $p$ と互いに素になるね」
ミルカ「その通り」
ガウスの補題（$n$ を $q$ に変えて再掲）（第479回参照）
$p$ を奇素数とする。
$q$ を $p$ と互いに素な整数とする。
$x$ を $p$ で割った余りを $\BAR{x}$ で表す。 そして、 $\frac{p-1}{2}$ 個の正整数 $$ \BAR{1q}\CommaQuad \BAR{2q}\CommaQuad \BAR{3q}\CommaQuad \ldots\CommaQuad \BAR{\tfrac{p-1}{2}q} $$ のうち 《$\frac{p-1}{2}$より$\MARKC{\text{大きいもの}}$の個数》 を $\ell$ とする。 すると、 $$ \LegSym{q}{p} = (-1)^{\ell} $$ が成り立つ。
ただし、 $\tLegSym{q}{p}$ はルジャンドル記号である。
ミルカ「ガウスの補題と、この図の関係を考えるとどうなる？」
$p = 7, q = 5$ のとき（青い直線 $L$ は $y = qx/p$）
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