第480回 シーズン48 エピソード10

平方剰余の相互法則（後編） ただいま無料

平方剰余の相互法則

ミルカ「平方剰余（へいほうじょうよ）の相互法則（そうごほうそく）」

テトラ「それは、どういう法則になるんでしょう」

ミルカ「初等整数論における美しい定理だ。ステートメントはこうなる」

テトラ「……」

僕「……」

テトラ「ずいぶん複雑ですね……」

僕「え。僕はずいぶんシンプルだと思ったけど」

テトラ「ともかく、あたしは具体例を作ります！　たとえば、 $p = 7$ で $q = 5$ とします。 $5$は$7$を法として$\TextNO$です（第476回参照）。 $p,q$ を反対にして、 $7$は$5$を法として（しばし計算）$\TextNO$です。 ということは、 $$ \LegSym{q}{p}\LegSym{p}{q} = \LegSym{5}{7}\LegSym{7}{5} = (\LegNO)\times(\LegNO) = 1 $$ になります。 $1$ ですね。 一方、 $$ (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} = (-1)^{\frac{7-1}{2}\frac{5-1}{2}} = (-1)^{3\times 2} = 1 $$ なので、こちらも $1$ です。 確かに、 $p = 7, q = 5$ のとき $$ \LegSym{q}{p}\LegSym{p}{q} = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} $$ は成り立っていますね」

ミルカ「では、ガウスの補題を使った、 平方剰余の相互法則の証明を紹介しよう。 これは高木貞治の『初等整数論講義』に書かれていた証明で、 図形の対称性を用いた巧妙なものだ。 非常にわかりやすい。 ではまず、証明の設定をしよう」

テトラ「いまからミルカさんは『平方剰余の相互法則』の証明をなさるんですよね？」

ミルカ「そのつもりだが」

テトラ「あの……わがままなことを言うようですが、 証明を小出しに していただくことはできますか？」

ミルカ「証明を小出しにする？」

テトラ「はい。 あのですね、 あたし、この《$p$ を法とする世界》に、少しだけ慣れてきたように思います。 フェルマーの小定理（第473回参照）、 ルジャンドル記号（第475回参照）、 オイラーの規準（第477回参照）、 ガウスの補題（第478回参照）などなど、 たくさんの《お友達》もできました。 それは、具体例をたくさん作ったからだと思うんです」

ミルカ「ふむ。それで？」

テトラ「平方剰余の相互法則 について、 証明全文をいきなり示されてしまうと、 ちょっと『もったいない』というか……一歩一歩をあたしも確かめつつ進みたいんです。 わ、わがままでしょうか」

ミルカ「もちろん、わがままではない。 証明をただ追うのではなく、一歩一歩確かめながら進むことに異論はない。 むしろそれは、私の方の理解度が試される要求だな。 証明をただ再生するだけではいけないからだ」

僕「それは、どういう意味？」

ミルカ「そこまでの知識から自然に導ける部分と、 アイディアが必要な部分とを分ける必要があるからだ」

僕「へえ……」

テトラ「ぜひ、お願いします」

ミルカ「では最初に、グラフを描こう。方程式 $$ y = \frac{q}{p}x $$ で表されるグラフだ。もちろんこれは、原点を通る右上がりの直線になる」

僕「グラフ？」

グラフ

ミルカ「座標平面に $y = \tfrac{q}{p}x$ のグラフを描く。この直線を $L$ と呼ぶことにする」

テトラ「これは $p = 7$ で $q = 5$ の場合のグラフということですね。 傾きが $q/p = 5/7$ で、原点 $(0,0)$ と $(p,q)$ を通る直線です。 はい、特に疑問はありません」

長方形

ミルカ「次に、点 $A,B,C$ を次のようにとる。

• $x$ 軸上で $x$ 座標が $(p+1)/2$ の点を $A$ とする。
• $y$ 軸上で $y$ 座標が $(q+1)/2$ の点を $B$ とする。
• $(x,y) = ((p+1)/2,(q+1)/2)$ の点を $C$ とする。

テトラ「ちょっと待ってください。 直線 $L$ は点 $C$ を通らないですよね？」

ミルカ「通らない。 $p$ と $q$ は互いに素だから」

テトラ「はい。大丈夫です」

ミルカ「ここからの関心事は長方形 $OACB$ の内部にある 格子点（こうしてん）になる」

テトラ「こうしてん？」

僕「格子点というのは、 座標平面上で $x$ 座標と $y$ 座標の両方が整数である点のことだよ、テトラちゃん」

テトラ「ああ、長方形 $OACB$ でいえば、こういう点ですね」

僕「長方形 $OACB$ の内部にある格子点だと、こうじゃないかな。

ミルカ「テトラは、この図と《お友達》になれたかな？」

テトラ「はい、 大丈夫です。 $p = 7, q = 5$ で具体的に考えられていますし、 直線 $L$ も点 $A,B,C$ のこともよくわかります。 《お友達》かどうかはわかりませんが、ごあいさつはしました」

僕「この図が平方剰余の相互法則の証明につながっていくの？」

余りの圧縮

ミルカ「一歩一歩進もう。 平方剰余の相互法則には、 $\tLegSym{q}{p}$ と $\tLegSym{p}{q}$ の二つのルジャンドル記号が出てくる。 そこでまずは、 $\tLegSym{q}{p}$ に注目しよう。この値をガウスの補題を使って求めるとしたらどうなる？」

テトラ「はい。ガウスの補題に出てくる $n$ を $q$ として考えればいいんですね」

僕「平方剰余の相互法則で、 $p,q$ が相異なる素数としているから、 $q$ は $p$ と互いに素になるね」

ミルカ「その通り」

ミルカ「ガウスの補題と、この図の関係を考えるとどうなる？」

テトラ「直線 $L$ が $x = 1,2,\ldots,\frac{p-1}{2}$ という縦線をよぎるところが、 ガウスの補題と関係しそうなのはわかります。 $p = 7$ でいえば、 $x = 1,2,3$ のときです」

ミルカ「まず、この直線 $L$ は長方形の内部の格子点を通らない」

テトラ「はい」

僕「$k$ を $1\LEQ k \LEQ \frac{p-1}{2}$ の整数として、 直線 $L$ が通過する点 $(x,y) = (k,qk/p)$ が格子点になったとするなら、 $qk$ が $p$ で割り切れることになってしまう。 でも $k$ も $q$ も $p$ では割り切れないから、 そんなことは起きない。 何だかわかってきたぞ。格子点とのずれが余りに関係する？」

ミルカ「直線 $L$ は格子点を通らない。 ということは格子点の間を抜ける。 いま、直線 $L$ が長方形内部で《$x$ 座標が整数 $k$ になる点 $L_k$》と、 《その点のすぐ下にある格子点 $G_k$》との距離は、次のように表せる」

僕「なるほど！　 $kq$ を $p$ で割った余りを $1/p$ にした値になるんだね」

テトラ「えっえっ？」

テトラ「わからなくなってしまいました……」

僕「格子点の $y$ 座標は整数だから、すぐ下の格子点の $y$ 座標も整数だよね」

テトラ「そうですね」

僕「点 $L_k$ の $y$ 座標は $y = kq/p$ だから、 点 $L_k$ と、そのすぐ下にある格子点 $G_k$ との距離は、 $kq/p$ から整数部分をできるだけ取り除いた部分つまり小数部分になる。 それは $\BAR{kq}/p$ になるよね」

テトラ「わかりません……」

僕「$kq$ という整数を $p$ で割った余りのことを、 $\BAR{kq}$ と僕たちは書く」

テトラ「はい、それは大丈夫です」

僕「ということは $kq$ を $p$ で割ったときの商を $Q$ とすると、 $$ kq = pQ + \BAR{kq} $$ になるから、両辺を $p$ で割ると $$ kq/p = Q + \BAR{kq}/p $$ になる。 $Q$ は整数部分で、 $\BAR{kq}/p$ は小数部分」

テトラ「あっ、わかりました。わかってしまえば当たり前に見えます！」

ミルカ「テトラの《わかりました》は、 《当たり前に見えるところまで来ました》 の言い換えだからな」

テトラ「えっ、あっ、はい……」

僕「わかりにくいけど、ミルカさんはテトラちゃんをほめてるんだよね」

ミルカ「続きを話そう」

テトラ「あ、あの……テトラが気づいたことを言ってもいいでしょうか」

ミルカ「もちろん」

テトラ「直線 $L$ が通過するゲートがありますよね」

ミルカ「ゲート？」

テトラ「点 $L_k$ の上下の格子点を結ぶ長さ $1$ の線分です。 その長さ $1$ の線分というのは、

　《$p$ を法とする世界》を $p$ 分の $1$ に圧縮している

わけですね？」

ミルカ「そこまで来たら、ガウスの補題までもう一歩だ」

僕「そうか！　点 $L_k$ と格子点 $G_k$ の距離が $1/2$ より大きくなる $k$ の個数が $\ell$ だね」

ミルカ「ぴったり $1/2$ になるときはあるかな？」

僕「いや、それはないね。だって、 $\BAR{kq}/p = 1/2$ になったとしたら、 $p = 2\BAR{kq}$ で、 奇素数 $p$ が偶数になってしまうから。 もうすっかりわかったよ」

ミルカ「じゃあ、次の一歩は君に話してもらおうか」

$\ell$ の発見

僕「いま僕たちは、ガウスの補題に出てきた $\ell$ を調べたいんだよね。 つまり、 $$ \BAR{1q}\CommaQuad \BAR{2q}\CommaQuad \ldots\CommaQuad \BAR{kq}\CommaQuad \ldots\CommaQuad \BAR{\tfrac{p-1}{2}q} $$ のうち 《$\frac{p-1}{2}$より$\MARKC{\text{大きいもの}}$の個数》 を知りたい。 そこで、 $$ \BAR{1q}\CommaQuad \BAR{2q}\CommaQuad \ldots\CommaQuad \BAR{kq}\CommaQuad \ldots\CommaQuad \BAR{\tfrac{p-1}{2}q} $$ というのを、 $$ \BAR{1q}/{p}\CommaQuad \BAR{2q}/{p}\CommaQuad \ldots\CommaQuad \BAR{kq}/{p}\CommaQuad \ldots\CommaQuad \BAR{\tfrac{p-1}{2}q}/{p} $$ に置き換えて考える。 そして、 直線 $L$ 上の点 $L_k$ から、すぐ下の格子点 $G_k$ を見下ろしたときの……いわば《低さ》を考える。 すると $\ell$ というのは、

　《低さ》が$\frac{1}{2}$より$\MARKC{\text{大きい格子点}}$の個数

に等しいことがわかる」

テトラ「ええと……いまおっしゃった《低さ》とは、この赤い線の長さですか？」

僕「そうそう。 その赤い長さが $1/2$ より大きくなるような $k$ を数える」

テトラ「具体的にいうと、 $p = 7$ と $q = 5$ の場合には、 $k = 1$ だけですよね？」

僕「そうだね。 ただ、僕がいま見通せるのはここまで。 一般の $p,q$ で、どうやって、その個数を数えればいいんだろう？」

ミルカ「ここで一つアイディアがある。 《低さ》の代わりに《高さ》を考えるのだ。 直線 $L$ 上の点 $L_k$ からすぐ下の格子点 $G_k$ を見下ろす代わりに、 すぐ上の格子点 $U_k$ を見上げたときの《高さ》を考えよう。 そうするなら、 $\ell$ は、

　《高さ》が$\frac{1}{2}$より$\MARKC{\text{小さい格子点}}$の個数

に等しい」

僕「いやいやいや、その言い換えは正しいけど、意味はないんじゃない？　どうやって数えるか、 という問題が残るわけだから」

ミルカ「ところがそうでもない。 直線 $L$ を上に $\frac{1}{2}$ だけ平行移動した新しい直線 $U$ を描く。 つまり $U$ の方程式は、 $$ y = \frac{q}{p}x + \frac{1}{2} $$ になる。すると、 $\ell$ というのは、長方形 $OACB$ の内部にあって、 直線 $L$ と直線 $U$ のあいだの帯に含まれている格子点の数に等しいことがわかる。 この図でいうと $U_1$ だけだ」

僕「$1/2$ だけ上にある直線 $U$ が、いわば屋根になってくれるんだね。 いや、でもだからといって一般の $p,q$ では格子点の個数はわからないんじゃないかなあ」

テトラ「格子点の個数を求める定理ってありませんでしたっけ？」

僕「ピックの定理のこと？　あれは、 格子点を頂点に持つ多角形の面積を、 格子点の個数から求める定理だから違いそうだよ」

ミルカ「私たちは $\ell$ を求めたいわけではない」

テトラ「違うんですか？」

僕「確かに、 $\ell$ は必ずしもわからなくてもいいか。 $(-1)^\ell$ を使うんだから $\ell$ の偶奇さえわかればいいはず」

ミルカ「平方剰余の相互法則に出てきた式はこうだった」

僕「……」

ミルカ「ここまで、 $\tLegSym{q}{p}$ を求めるための図形的解釈を行ってきた。 さあ、テトラの出番だ。次の一歩は？」

テトラ「……」

僕「そうか！」

ミルカ「君は黙って。テトラ？」

テトラ「次の一歩は、 $\tLegSym{q}{p}$ と同じようにして、 $\tLegSym{p}{q}$ を図形的に解釈する、でしょうか？」

僕「うんうん！」

ミルカ「テトラはその一歩を説明する」

テトラ「はい。い、いいえ。 何となくのイメージしか浮かんでないので、 具体的に説明することはできません」

ミルカ「具体的な説明が難しいなら、 抽象的な説明でもいいが」

テトラ「$p$ と $q$ の役割を交換するんです。 さっきの説明で $p$ が持ってた役割を $q$ に任せるような。 $p$ で割るんじゃなくて、 $q$ で割るみたいな……うーん……」

ミルカ「それでは、テトラの役割を君に任せよう」

僕「テトラちゃんが言ったように、 $p$ と $q$ の役割を交換すればいいと思う。 直線 $L$ を上に $1/2$ 平行移動する代わりに、 右に $1/2$ 平行移動した直線 $R$ を考える。それは、 $$ y = \frac{q}{p}\left(x - \frac{1}{2}\right) $$ だね。 すると同じような多角形が直線 $L$ の右側にできる。 直線 $L$ 上の点 $L_k$ のすぐ上の格子点を $U_k$ と呼んだのと同じように、 直線 $L$ 上の点 $L'_j$ のすぐ右にある格子点を $R_j$ と呼ぶことにするよ。 $L'_j$ は、整数 $j$ が $1\LEQ j\LEQ \tfrac{q-1}{2}$ のとき、 直線 $y = j$ と直線 $L$ の交点とする。 $\tLegSym{p}{q}$ にガウスの補題を当てはめると、 $$ \LegSym{p}{q} = (-1)^m $$ になる。そしてこの $m$ は、 いま作った多角形の中にある格子点 $R_j$ の数に等しい！」

ミルカ「それでいい。これで、 $\ell$ と $m$ が定まって、 $$ \LegSym{q}{p}\LegSym{p}{q} = (-1)^\ell(-1)^m = (-1)^{\ell+m} $$ までたどり着いた。さあ、テトラ。 $\ell+m$ というのは、 どんな格子点の個数に相当する？」

テトラ「それは、長方形 $OACB$ の内部にある格子点のうち、 直線 $U$ と直線 $R$ ではさまれた領域にあるものの個数？」

ミルカ「そういうこと」

僕「おもしろい！」

ミルカ「では、ここからの次の一歩は？」

テトラ「平方剰余の相互法則に出てきた式は、 $$ \LegSym{q}{p}\LegSym{p}{q} = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} $$ ですよね。 ということは、

　《$\ell+m$ の偶奇》と《$\tfrac{p-1}{2}\tfrac{q-1}{2}$ の偶奇》

が一致すれば証明完了ですっ！」

ミルカ「それは、最後の一歩だな」

僕「少なくとも《$\tfrac{p-1}{2}\tfrac{q-1}{2}$ の偶奇》の方は、もう少しかみ砕けるよ。 $\tfrac{p-1}{2}\tfrac{q-1}{2}$ が奇数になるのは、 $\tfrac{p-1}{2}$ と $\tfrac{q-1}{2}$ の両方が奇数になるということ」

テトラ「あ、あたし、なぜか手が震えてきたんですが、 $\tfrac{p-1}{2}$ と $\tfrac{q-1}{2}$ の両方が奇数になるとき、 格子点はどうなるんでしょう。どうなってほしいんでしょう？」

ミルカ「具体例を見よう」

僕「$p = 7$ で $q = 5$ だと、 $\tfrac{p-1}{2} = 3$ は奇数だけど、 $\tfrac{q - 1}{2} = 2$ は偶数だね」

テトラ「$p = 11$ と $q = 7$ なら、 $\tfrac{p-1}{2} = 5$ は奇数で、 $\tfrac{q - 1}{2} = 3$ も奇数です！」

僕「なるほど！　 $U_3$ が六角形の中心にくるんだ！」

テトラ「わかりました！　中心の $U_3$ 以外はペアになるんですね！　 $U_1$ と $R_3$ のペア、 $U_4$ と $R_1$ のペアができます。ですから、 中心が格子点のときはペアにならないので、 $\ell+m$ は奇数になります！」

ミルカ「これですべてがつながった。 ここで作られた六角形は、 $$ \left(\frac{p+1}{4},\frac{q+1}{4}\right) $$ という点を中心として点対称になり、六角形内部にある格子点同士も点対称の位置にある。 したがって、 この点を $G$ と呼ぶと、 点 $G$ が格子点のとき、そしてそのときに限り、内部の格子点の個数 $\ell+m$ は奇数になる」

僕「点 $G$ が格子点ということは、 $\tfrac{p+1}{4},\tfrac{q+1}{4}$ の両方が整数だから、 $\frac{p+1}{2}$ と $\frac{q+1}{2}$ の両方が偶数のとき。 つまり……」

テトラ「$\frac{p-1}{2}$ と $\frac{q-1}{2}$ の両方が奇数のときですっ！」

ミルカ「これで、平方剰余の相互法則が証明できた」

ミルカ「これで、ひと仕事おしまい」

僕「おもしろかった！　ミルカさん、ありがとう！」

テトラ「ミルカさん、ありがとうございます！」

僕「テトラちゃんも、ありがとう！」

テトラ「えっえっえっ？」

ミルカ「楽しかったな」

テトラ「そうですね……《$p$ を法とする世界》は、どうしてこんなに楽しいんでしょうねっ！」

参考文献

• 『ガウス 整数論』
• 雪江明彦『整数論1　初等整数論から $p$ 進数へ』
• 高木貞治『初等整数論講義 第2版』
• アイゼンシュタイン「平方剰余の相互法則の幾何学的証明」（G. Eisenstein, "Geometrischer Beweis des Fundamentaltheorems für die quadratischen Reste," Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal), Band 28 (1844), pp. 246–248.）