第472回 シーズン48 エピソード2

カレンダーの秘密（後編）

カレンダーの計算から合同式へ

僕「合同式（ごうどうしき）を使うと、 《曜日が同じである》 ことをめちゃめちゃすっきり書けるんだよ。 たとえば、 日付 $2$ と日付 $16$ が同じ曜日であることを、 $$ 2 \equiv 16 \pmod 7 $$ と書ける！」

ユーリ「ごーどーしき？」

僕「そう。便利だよ！」

ユーリ「そんなに便利なんだったら、先にそれを教えてよね！」

僕「ごもっとも……じゃあ、ちゃんと話すよ」

合同式

ユーリ「……めんどくさい話になってきた？」

僕「いやいや、何もめんどくさくないよ。 たとえば、これはどう？」

ユーリ「等式？　めんどくさくないよ。 $a$ と $b$ が等しい。 $a=b$ と書く。知ってるもん」

僕「合同式は等式とよく似ている。 $a$ と $b$ が $m$ を法として合同。それを $a\equiv b \pmod m$ と書く」

ユーリ「まあ……似てるっちゃ、似てる？」

僕「こんなふうに定義を書いた方がわかりやすいかな？」

ユーリ「おっ、似てる似てる！」

僕「具体的に見るとはっきりわかるよ。たとえば、この合同式は成り立つ。 $$ 8 \equiv 1 \pmod 7 $$ なぜかというと……なぜだかわかる？」

ユーリ「同じ曜日だから？」

僕「そうだね。カレンダーでいえばそう。 どんなカレンダーのどんな月でも $8$ 日と $1$ 日は同じ曜日になる。 それは、カレンダーを見ればわかる。 でもいまは定義に戻って考えよう。 こんなふうにね」

ユーリ「$k = 1$」

僕「そうだね。 $k = 1$ とすれば $8 - 1 = 7k$ が成り立つ。 つまり、 $8 - 1 = 7k$ となる整数 $k$ が存在する。 だから、 $8\equiv 1\pmod 7$ は成り立つ」

ユーリ「それって《同じ曜日の日付の差は $7$ の倍数になる》って言ってる？」

僕「そうだよ。カレンダーを見て《二つの日付が同じ曜日かどうか》を考えているときは、 《二つの日付の差が $7$ の倍数かどうか》を考えている。 言い方を変えると、 《二つの整数が $7$ を法として合同かどうか》 を考えているわけだ」

ユーリ「わかってきた！《$m$ を法として》の感じ。一週間が $m$ 日なんだね」

僕「じゃあ、これは成り立つ？」

ユーリ「$2 - 16 = -14$ だから、成り立つ！　 $k = -2$ でしょ？」

僕「そうだね。 $k = -2$ とすれば $2 - 16 = -14 = 7k$ が成り立っている。 だから、 $2$ と $16$ は $7$ を法として合同といえる」

ユーリ「……」

僕「……どうした？」

ユーリ「お兄ちゃん、 $0$ って $7$ の倍数だよね？」

僕「うん、 $0$ は $7$ の倍数だよ」

ユーリ「だったら、 $$ a \equiv a \pmod 7 $$ は $a$ が何でも成り立つ？」

僕「すばらしいな！　その通りだよ！」

ユーリ「だって、 $$ a - a = 0 $$ だから。差が $7$ の倍数。だから $a$ と $a$ は法のもとで平等」

僕「そうそう。ただ、『法のもとで平等』じゃなくて『$7$ を法として合同』だよ」

ユーリ「あっ！　ちょっと言い間違えただけじゃん！」

僕「それはともかく……ユーリの発見からも、 等式と合同式が似ていることがわかるね。 つまり、 $a = b$ なら $a \equiv b \pmod m$ が成り立つから」

ユーリ「同じ日は同じ曜日だから。 あー、でも曜日が同じでも同じ日とは限らないよね？」

僕「その通り。 $a$ と $b$ が合同だからといって、 $a$ と $b$ が等しいとは限らない。 たとえば、 $1\equiv8\pmod 7$ だけど、 $1\NEQ8$ だね」

ユーリ「ふむふむ」

同じ数を足したり引いたり

僕「$a = b$ という等式が成り立つとき、 $a + C = b + C$ も成り立つ。 つまり、同じ数を足してもいい」

ユーリ「当たり前」

僕「では、 $a \equiv b \pmod m$ という合同式が成り立つとき、 $a + C\equiv b + C\pmod m$ も成り立つだろうか？」

ユーリ「えーと……成り立つっしょ？」

僕「早いな！」

ユーリ「だって、 $a$ と $b$ が同じ曜日だったら、両方を $C$ 日動かしても同じ曜日だもん」

僕「なるほど。ユーリは $7$ を法として考えたわけだね。いいね！　ところで、 それは $m = 7$ 以外でもいえる？」

ユーリ「いえる！　一週間が何日でも同じことがいえるから！」

僕「ユーリはちゃんとわかっているんだね。 でも、数式でも確かめよう。定義に戻って証明するんだ」

ユーリ「なんで？　もうわかってるのに？」

僕「きちんと確かめるためだね」

ユーリ「ふーん」

僕「といっても、 $$ a \equiv b \pmod m \LONGIMPLIES a + C\equiv b + C\pmod m $$ を証明するのは簡単だよ」

ユーリ「あらま。簡単ですこと」

僕「だよね。これで合同な二つの整数に同じ整数 $C$ を足しても合同であることがわかった」

ユーリ「ふんふん」

僕「もちろん、 $C$ を引いても合同だね。 $C' = -C$ として $C'$ を足すと考えればいいから」

同じ数を掛ける

ユーリ「足し算、引き算……だったら、掛け算もできそう！ $$ a\equiv b\pmod m $$ のとき、 $$ aC\equiv bC\pmod m $$ になる？」

僕「どう思う？」

ユーリ「できる！　ユーリ、証明やってみる！」

僕「どう？」

ユーリ「できた！　お兄ちゃんのさっきの証明とおんなじだ！」

僕「いいねえ！」

ユーリ「これで割り算もできることがわかった！」

僕「おっと！　割り算もできるとはならないよ！」

ユーリ「へ？　 $C$ を掛けて成り立つんだから、 $C' = 1/C$ として $C'$ を掛ければいいじゃん？」

僕「そうはいかないよ。 $a\equiv b\pmod m$ が成り立つからといって、 どんな整数 $C$ でも $$ \frac{a}{C}\equiv\frac{b}{C}\pmod m $$ とはならない」

同じ数で割れる？

ユーリ「あー！　わかった。ゼロ割りになっちゃうかもしれない！　だから、 『どんな整数 $C$ に対しても $a/C\equiv b/C\pmod m$ が成り立つ』じゃなくて、 『ゼロ以外の整数 $C$ に対して $a/C\equiv b/C\pmod m$ が成り立つ』にすればいいね！」

僕「えらい！　よく気がついたね。でも、それではまだ不十分なんだ」

ユーリ「なんで？」

僕「まず第一に、 $a$ と $C$ が整数のとき、 $a/C$ が整数になるとは限らないから」

ユーリ「あっ……確かに。 $a=1$ と $C=2$ で $a/C = 0.5$ ってことか……」

僕「しかも、割り算の結果が整数になる場合でも、合同じゃなくなることがある」

ユーリ「へー……さっぱりわからん」

僕「たとえば、 $m = 6$ として考える。 $6$ を法とするということだよ。 このとき、 $$ 8 \equiv 2 \pmod 6 $$ が成り立つよね？」

ユーリ「$8 - 2 = 6$ で $6$ の倍数だから？」

僕「そうだね。では $8$ と $2$ をそれぞれ $2$ で割ってみよう」

ユーリ「ほんとだ。 $4 - 1 = 3$ だから $6$ の倍数じゃない……」

僕「だから、 $D$ を $0$ 以外の整数として、 $aD\equiv bD\pmod m$ だとしても、 $a\equiv b\pmod m$ になるとは限らない」

ユーリ「えー……なんで？　足し算はスッと引き算にできたのに、 掛け算はスッと割り算にできないの？」

僕「不思議に思うよね」

ユーリ「思う思う。数学ってもっと、こう、シュッと行くんじゃないの？ 　ミステリーじゃあ！」

僕「そのミステリーを考えてみよう」

ユーリ「おお！」

割り算は掛け算の逆演算

僕「$8\equiv 2\pmod 6$ のとき、《$2$ で割る》のがうまくいかなかった。 割り算は掛け算の逆演算だと考えると、《$2$ 倍する》のを考えたらいいと思う」

ユーリ「なんで？」

僕「こういう図を見ればわかるよね」

ユーリ「わからん。これなに？」