第469回 シーズン47 エピソード9

順序から圏へ（前編）

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《名前》と《同一視》

テトラ「……それにしても数学はおもしろいです。 確かに先輩がおっしゃった通り、 数学を学んで《視点が変わる》という感じがします（第465回参照）」

僕「そうだね」

テトラ「『数の大小関係 $\LEQ$』と『集合の包含関係 $\subset$』は、 一見すると違うものですけれど、視点を変えればどちらも半順序といえます」

僕「うん」

テトラ「それから《関係》そのものについても、 視点を変えれば《集合》だと見なすことができます。 そうすると……なんて言うんでしょうか、 生々しいところから少し離れて考えているようにも感じられます」

僕「生々しい？」

テトラ「ええとですね、 『数の大小関係 $\LEQ$』だと、大きい・小さいというリアルな現実世界のイメージがあるじゃないですか。 でも、たとえば $x \LEQ y$ のことを $(x,y)$ と表して、 $x \LEQ y$ が成り立つ $(x,y)$ を集めた《集合》を考えるなら、 そういうイメージからちょっと離れた感じがします。 $S = \SET{0,1,2}$ における大小関係を $$ R_\LEQ = \SET{(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2)} $$ という $(x,y)$ の《集合》として表すと、 現実世界へのつながりから切り離して考えられるので、 むしろ扱いやすいと感じました」

僕「うーん……そうか。 イメージに縛られないから、 《関係》と《関係》の間の《関係》なんて発想になるんだね。 おもしろい考え方だなあ」

テトラ「それから先輩がおっしゃっていた《同一視》についても思うことがあります」

僕「《同一視》は違うものを、あたかも同じものとして見なすことだね」

テトラ「はい。あたしが気付いたのは《名前あるところに同一視あり》ということです」

僕「おお？」

テトラ「たとえば、あたしが思ったのは《順序》という名前のことでした。 数の大小関係や集合の包含関係の両方を《順序》という同じ名前で呼ぶ。 同じ名前で呼ぶからには、両方を同じものだと見なしているわけです。 つまりそこには必ず《同一視》があると思ったんです……へ、変でしょうか？」

僕「いやいやいや、ぜんぜん変じゃないよ、テトラちゃん。 まったくその通りだね。 『これは○○だ』のように○○という《名前》が出てくるときには、 どうして○○という《名前》を出したのかという理由がある。 その理由とは、その《名前》を持つのにふさわしい性質を持っているから。 その性質を持っているからこそ、その《名前》で呼んでいる……」

テトラ「ですです。そういうことです」

僕「……ちょっと待って。それは、まさに数学用語の定義だ」

テトラ「？」

僕「たとえばさっきの、 $$ R_\LEQ = \SET{(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2)} $$ という集合が半順序を表しているというときには、 半順序という数学用語の定義と照らし合わせることになる。 つまり、反射律・反対称律・推移律という公理を満たしているかを調べる。 それは、 $R_\LEQ$ に対して半順序という《名前》を与えることができるかどうかを調べているんだね」

テトラ「……」

ミルカ「テトラがいるのに、ずいぶん静かだな」

テトラ「ミルカさん！」

ミルカ「それで、今日の数学は？」

僕「いま話していたのは……」

ミルカ「ふうん……では、圏（けん）の話をしよう。 それもまた、同一視の新たな視点を与えてくれる」

テトラ「《けん》というのは、どういう字を書くんでしょうか？」

ミルカ「『首都圏』や『大気圏』の『圏』だ。英語ではカテゴリー（category）という」

テトラ「圏……それは、数学用語なんですよね。どういうものなんですか？」

ミルカ「それを今から話すんだよ、テトラ。圏という数学用語の定義だ。 すなわち、どのような性質を持っているものを圏と呼ぶのか、 それを話していこう」

テトラ「はいっ！」

圏と対象

ミルカ「少しずつ行こう。まずは対象から」

テトラ「その《対象》とはどんなものでしょうか。 あ、あの……すごく抽象的なのでどう考えたらいいかわかりません。 たとえば《対象》は数のようなものでしょうか？」

ミルカ「数が対象になることもあれば、集合が対象になることもある。 対象が具体的にどんなものであるか、それをまとめていうことはできない。 それはちょうど、集合の要素がどんなものであるかを具体的に述べるのが難しいのに似ている」

テトラ「……？」

ミルカ「むしろ話は逆だ。 具体的な圏を述べるときには、 『この圏では何を対象と見なすのか』を述べることになる。 だから、たとえば『$\CatC$ は圏である』という主張を聞いたなら、

• 圏 $\CatC$ の対象は何か？

と圏の対象について問いかける（・・・・・）のは正しい態度だ」

僕「なるほど。 一般的に、集合の要素とは数のことですかと聞かれても困るけど、 具体的な集合に対して、その要素は何かと聞くようなものか」

ミルカ「そう」

テトラ「えっえっ、いまのお話、わかりませんでした」

僕「実数の集合なら、その集合の要素は実数だし、 複素数の集合なら、その集合の要素は複素数になる。 圏の場合も、その圏の対象は何なのかは圏によって違うということだね」

ミルカ「そういうこと」

テトラ「ははあ……圏というものはともかく《対象の集まり》を持っている。 その対象が何かは具体的な圏を考えないと決まらない。 そこまでは何となくわかりました」

僕「ところで、ミルカさんが言った《集まり》というのは《集合》のこと？」

ミルカ「これから話す範囲では《集まり》は《集合》と考えていい。 だが、厳密には集合よりももっと大きな概念を使う。 でも話をややこしくしたくないので、いまは《集まり》として濁しておく」

僕「わかった、いいよ」

テトラ「対象は英語で何というんでしょう」

ミルカ「圏の対象は英語でオブジェクト（object）という。 $\ObC$ はそこから来ている」

テトラ「オブジェクト。《もの》ですか……英語でも抽象的なんですね。イメージをつかむのが難しいです」

例:大小関係の圏 $\CatA$ を作ろう（対象）

ミルカ「ふむ。 それでは、圏の定義を段階を追って説明しながら、それに合わせて 集合 $S = \SET{0,1,2}$ の大小関係（$\LEQ$）を使った圏を具体的に作っていくことにしよう」

テトラ「あっ、それは助かります。具体例があるとイメージしやすくなりますから……」

ミルカ「いまから作るその圏に $\CatA$ という名前を付ける。 つまり……私はこれから『$\CatA$ は圏である』といいたいのだ」

テトラ「……はい、あの、圏 $\CatA$ ですね。それは分かりましたが……？」

ミルカ「テトラは私に問いかける（・・・・・）はず」

テトラ「あっ！　はいはい。そうでした、そうでした。 ミルカさんが作ろうとしている圏（・） $\CatA$ の対象は何ですか（・・・・・・・・）？」

ミルカ「それでいい。 私が作る圏 $\CatA$ の対象は $0,1,2$ だ。つまり、

• $\ObA = \SET{0,1,2}$（圏 $\CatA$ は対象の集まり $\SET{0,1,2}$ を持っている）

ということ。そして、

• $0\in\ObA$（$0$ は圏 $\CatA$ の対象である）
• $1\in\ObA$（$1$ は圏 $\CatA$ の対象である）
• $2\in\ObA$（$2$ は圏 $\CatA$ の対象である）

が成り立っている。いまは表記の練習をしているんだよ」

テトラ「は、はい。それはわかっています。 大丈夫です」

射

ミルカ「圏が持っているのは対象の集まりだけではない。射の集まりも持っている。

テトラ「射というのも抽象的ですね。 いま、あたしの頭の中にはふわふわと《圏》というものがあり、 その中には《対象》と《射》が集まっている……というイメージだけが浮かんでいます。 射は英語で何というんでしょう」

ミルカ「射は英語でアロー（arrow）という」

テトラ「弓矢の矢ですね」

ミルカ「そして射は次のような性質を持たなくてはならない」

僕「なるほど。イメージが湧いてきたよ。 射は写像みたいなものかな？　始域から終域に向かう矢のようなイメージ」

ミルカ「ある圏ではその通り。 つまり、集合を対象とし、写像を射とする圏を考えることができる。 しかし、ここで重要な注意が入る。 写像を射と見なす圏を考えることはできる。 しかし、圏の射がすべて写像になるとは限らない」

僕「あ、そうなんだ」

ミルカ「圏では次のような図式で一つの射を表す。始域から終域に向かう矢印だ。 始域と終域はその圏の対象になる」

テトラ「なるほど。確かにアロー（arrow）ですね」