第468回 シーズン47 エピソード8

関係と関係の関係（後編）

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《関係》と《関係》の《関係》を探ろう！

僕「どうしたの、テトラちゃん？」

テトラ「《集合》をいくつか考えるとき、 その包含関係は半順序になりますよね？」

僕「そうだね。さっき確かめた通り、 全順序とは限らないけれど、半順序にはなる（第467回参照）」

テトラ「半順序というのは《関係》です」

僕「そうだけど……？」

テトラ「あたしたちはいま、 いろんな《関係》を《集合》で表すことを検討しています」

僕「うん」

テトラ「ということはですよ。 あたしたちは、《関係》と《関係》の《関係》を考えられることになりますっ！」

僕「うん？　……おおお！　確かにそうだね！　すごいなテトラちゃん！」

テトラ「ですよね？」

僕「確かにできる！　こういうことだね。

• $a$ という《関係》を、 $A$ という《集合》で表す。
• $b$ という《関係》を、 $B$ という《集合》で表す。
• そして、 $A$ と $B$ という二つの《集合》の包含関係を調べる。つまり、 $A\subset B$ なのか、 $B\subset A$ なのか、どちらでもないのかを調べる。

そうすれば、

• $a$ と $b$ という二つの《関係》のあいだの《関係》を考えることができる！

テトラ「そして、そして、そして……《集合》の包含関係で調べるなら、 《関係》と《関係》は半順序という《関係》になるはずです！」

僕「確かに、そうなる。 ということは、ハッセ図が描けるわけだね。 そりゃ、おもしろそうだ！」

テトラ「先輩、具体的にやりましょう！」

僕「うん、やろうやろう！」

テトラ「さっき《じゃんけん》で使った $0,1,2$ をそのまま使いましょうよ。 そうすれば $3\times3$ の表を作って具体的に考えることができます。 《じゃんけん》や、数の大小を表す《 $<$ 》や《 $\leqq$ 》の関係を考えられます」

僕「うん、それからもちろん《 $=$ 》もでてくるね」

テトラ「ですです」

僕「僕たちがやろうとしているのは、こういうこと」

テトラ「やってみましょうっ！」

《等しい（$=$）》という関係 $R_=$

僕「じゃあ、まずこれまで出てきた《関係》をリストアップして整理しようか」

テトラ「はい、そうですね。 まず《等しい（$=$）》という《関係》がありました」

僕「そうだね」

テトラ「これを $S \times S$ の部分集合で表すと $$ R_= = \SET{(0,0),(1,1),(2,2)} $$ となります」

僕「$R_=$ は、 $$ R_= = \SET{(x,x)\SETM x \in S} $$ とも書けるね」

テトラ「なるほど。 $x = 0,1,2$ で $(x,x)$ を全部集めたわけですか」

僕「そうそう」

《より小さい（$<$）》という関係 $R_<$

テトラ「それから《より小さい（$<$）》という《関係》もあります」

僕「これは $$ \begin{xalignat*}{1} R_< &= \SET{(0,1),(0,2),(1,2)} \\ &= \SET{(x,y)\SETM x < y, x \in S, y \in S} \end{xalignat*} $$ ということになるね」

テトラ「はい。あっ、ということは $R_=$ はこう書けますね？」

僕「そうなるね」

《以下（$\leqq$）》という関係 $R_\leqq$

テトラ「《以下（$\leqq$）》という《関係》はこうなります」

僕「うん。これは……」

テトラ「す、すみません。あたしに書かせてください」

僕「なるほど。さっそく自分で書いてみたんだ」

テトラ「はいっ！　はいはいはいっ！」

僕「え？」

テトラ「あたし……あの、当たり前のことを言ってもいいですか？」

僕「もちろん、どうぞ」

テトラ「結びつけているものを見つけた感じが……しました」

僕「結びつけているもの？」

テトラ「はい。 先輩は先ほど、 $$ x \leqq y \LONGBOTHIMPLIES (x,y) \in R_{\leqq} $$ という説明をしてくださいました（第466回参照）」

僕「そうだね。 $x \leqq y$ と $(x,y) \in R_\leqq$ が同値になるような集合 $R_\leqq$ を持ってくることができれば、 $x\leqq y$ という《関係》を $R_\leqq$ という《集合》で表せたといえる」

テトラ「そこで《集合》の $\SET{(x,y)\SETM\quad\cdots\quad}$ という書き方が効いてくるんだと思いました」

僕「おお？」

テトラ「つまりですね、

• $\MARKA{x \leqq y}$ という式が成り立つかどうか
• $(x,y)$ が $\MARKB{R_\leqq}$ に属しているかどうか

僕「いや、当たり前だけど、当たり前じゃないよ。 いまテトラちゃんは《そういうことだったんだ！》と納得したんだよね。 いま言ったことは、わかっている人には当たり前かもしれないけど、 テトラちゃんが自分で納得することには大きな価値があるはず！」

テトラ「で、ですよね！」

僕「当たり前のことでも、自分の理解をちゃんと言語化するテトラちゃんは偉いなあ！」

テトラ「あの……テトラはもう一つ、当たり前のことを発見しました。 ……当たり前を発見、って変ですけど…… $R_<$ は $R_{\leqq}$ の部分集合になってますよね。 なぜなら、 集合 $R_<$ の要素になっている $\MARKA{(0,1)}$ と、 $\MARKB{(0,2)}$ と、 $\MARKC{(1,2)}$ は、 すべて集合 $R_\leqq$ の要素でもあるからです！ $$ R_< = \SET{\MARKA{(0,1)},\MARKB{(0,2)},\MARKC{(1,2)}} \subset \SET{(0,0),\MARKA{(0,1)},\MARKB{(0,2)},(1,1),\MARKC{(1,2)},(2,2)} = R_{\leqq} $$ ですから、 $$ R_< \subset R_{\leqq} $$ が成り立ちます。 もちろん、 $$ \SET{(x,y)\SETM x < y, x \in S, y \in S} \subset \SET{(x,y)\SETM x \leqq y, x \in S, y \in S} $$ も成り立ちます。 あたしの理解、これで正しいですよね？」

僕「うん、もちろん！」

テトラ「具体例を考えるとスッキリします。 自分がおかしなことをやっていないとわかるからです。 やっぱり……」

僕「やっぱり……」

テトラ「《例示は理解の試金石》ですねっ！」

僕「《例示は理解の試金石》だよね！」

《じゃんけんで勝つ関係》

テトラ「《じゃんけんで勝つ》という《関係》はこうなります」

僕「$0,1,2$ はそれぞれパー、チョキ、グーと見なす」

テトラ「はい。それでこの《関係》を表す《集合》を $J$ とすると、 $$ J = \SET{(0,1),(1,2),(2,0)} $$ になります。この $J$ と、 $R_=, R_<, R_\leqq$ との間には包含関係はなさそう……はい、 ありません」

僕「ここまでで《関係》を表す四つの《集合》が出てきたね。 $R_=, R_<, R_\leqq$ そして $J$ だ」

テトラ「《関係》としては見つけられなくても、 《集合》としてはもっと見つけることができそうです」

僕「えっと、それは……？」