第467回 シーズン47 エピソード7

関係と関係の関係（前編）

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もう一つのじゃんけん

僕「なかなか楽しいね。 《表（ひょう）》を見れば当たり前なんだけど、 ちゃんと《集合》として等しくなることが確かめられる（第466回参照）」

テトラ「おもしろいと思います。 じゃんけんの手を数で表すというのは不思議じゃありませんけど、 うまく対応づけるとぴったり同じになるというのがいいですね。 じゃんけんの勝ち負けと関数……」

僕「そうだね」

テトラ「……ちょっとお待ちください。 うまく対応づけることができれば良いんですよね？」

僕「？」

テトラ「たとえば、 こういう《表》でもじゃんけんを表現しているものと同じになりますね」

僕「え、ああ、うん、そうだね。 これもじゃんけんを表現した《表》と同一視できるよ。 《表》の中の○と×の配置が同じだから」

テトラ「ですよね！」

僕「ねえ、でもテトラちゃん。 この漢字は、いったい何？」

テトラ「何だと思います？」

僕「《伍》と《弐》と《零》……？」

テトラ「簡単なクイズですよ、先輩っ！」

僕「……」

テトラ「……どうです？」

僕「わかった、なるほどね。 これは《じゃんけんの手》と《指の数》を対応させたんだね」

テトラ「そういうことです！」

• 《伍（ご）》は $5$ で、じゃんけんの《パー》に対応（指を $5$ 本立てる）
• 《弐（に）》は $2$ で、じゃんけんの《チョキ》に対応（指を $2$ 本立てる）
• 《零（ぜろ）》は $0$ で、じゃんけんの《グー》に対応（指を $0$ 本立てる）

僕「確かに、こういう対応を付ければじゃんけんそのものになる。 そしてもちろん、じゃんけんの勝ち負けとも対応がつけられるね」

テトラ「はい。 こうやって自分で新しい例を作ってみると、 《関係》を作るということと《お友達》になれた感じがします」

僕「なるほど……これは、 $$ A = \SET{\text{伍},\text{弐},\text{零}} $$ という集合を考えて、 $A \times A$ の部分集合として、 $$ K = \SET{(\text{伍},\text{弐}), (\text{弐},\text{零}), (\text{零},\text{伍})} $$ を作ったことになるんだね（第466回参照）。 伍と弐では弐が勝つ。弐と零では零が勝つ、零と伍では伍が勝つ」

テトラ「そういうことです！ 実は最初、ローマ数字で表してみようと思ったんですよ。 いつものアラビア数字ではつまらないので」

僕「なるほど？」

テトラ「《パー》は $5$ なので『Ｖ』を使い、《チョキ》は $2$ なので『ＩＩ』を使って……とも考えたんですが、 《グー》で駄目なことに気付きました」

僕「どうして？」

テトラ「ローマ数字には『ゼロ』がないんです！」

対応と理解

僕「テトラちゃんの例を見ていて気付いたんだけど、 僕たちは、無意識のうちに対応付けをしていることになるんだね」

テトラ「《対応付け》と、いいますと？」

僕「テトラちゃんの《表》から、僕は $$ K = \SET{(\text{伍},\text{弐}), (\text{弐},\text{零}), (\text{零},\text{伍})} $$ という集合を作った。そして、確かにじゃんけんと同じだと思った」

テトラ「そうですね。じゃんけんの勝ち負けの関係を表す集合は、 《パー》を $0$ 、《チョキ》を $1$ 、《グー》を $2$ で表すと $$ J = \SET{(0,1),(1,2),(2,0)} $$ です（第466回参照）。 同じように、 集合 $K$ で 《パー》を表す《伍》を $0$ 、 《チョキ》を表す《弐》を $1$ 、 《グー》を表す《零》を $2$ で表した集合 $K'$ は $$ K' = \SET{(0,1),(1,2),(2,0)} $$ になって、 $J = K'$ ですね」

僕「ほらそこ！」

テトラ「どこでしょう？」