第466回 シーズン47 エピソード6

《関係》って何だろう？（後編）

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《関係》を《集合》で表す

僕「そうするとね、

　《以下（$\leqq$）》という関係

を

　 $R_{\leqq}$ という集合

として表せたことになるんだ」

テトラ「《関係》を《集合》として表す……ちょ、ちょっと考えさせてくださいっ！」

僕「……」

テトラ「も、もうちょっと考えてもいいですか？」

僕「もちろん。好きなだけ時間を使っていいんだよ」

テトラ「……整理させてください。こういうことでしょうか」

僕「すごい！　その通りだよ、テトラちゃん」

テトラ「ずいぶん時間が掛かってしまいましたが、 たぶん、納得できたと思います。 あのですね、先輩、テトラの話を聞いてください」

僕「うんうん。何？」

テトラ「あたしは、 先輩のお話を聞いていて、 頭の中が裏返ったような感覚がありました（第465回参照）」

僕「そう言ってたね」

テトラ「それは、どうしても、 《関係》を《集合》として表す という考えが、 なかなか頭に着地してくれなかったんです」

僕「うん」

テトラ「そのときのあたしの頭の中では、こういう考えがうごめいていました」

僕「……」

テトラ「状況（・・）ともの（・・）。 それがどうして同じなのか……という考えが、 あたしの中でうごめいていたんです。 だから、その考えをうまくおさめるまでに時間が掛かってしまいました」

僕「なるほどなあ……すごくよくわかる。 テトラちゃんは自分が腑に落ちないところを丹念に探っていたんだね！」

テトラ「はい、でも、あたしなりに何とか納得できたと思います。 あのですね。それは $x \leqq y$ とは何かを考えてわかりました」

僕「おお！」

テトラ「あたしは《関係》という言葉のイメージに引っ張られて、 相互に絡み合うとか、バランスを取り合うとか、関わり合うということを考えてしまっていました。 でも、よくよく考えると《以下（$\leqq$）》という《関係》は、最終的には、

　 $x \leqq y$ が成り立つか？

という問いの答えを決めているものなんですね？」

僕「うんうん！」

テトラ「そして、いま $x$ や $y$ というのは $0,1,2$ のどれかで考えているわけですから、

• $0 \leqq 0$ は成り立つか？……○
• $0 \leqq 1$ は成り立つか？……○
• $0 \leqq 2$ は成り立つか？……○
• $1 \leqq 0$ は成り立つか？……×
• $1 \leqq 1$ は成り立つか？……○
• $1 \leqq 2$ は成り立つか？……○
• $2 \leqq 0$ は成り立つか？……×
• $2 \leqq 1$ は成り立つか？……×
• $2 \leqq 2$ は成り立つか？……○

というのが《以下（$\leqq$）》という《関係》を表すために必要な、すべての情報（・・）です。

そして、それは次の情報とまったく同じになります！

• $(0,0)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○
• $(0,1)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○
• $(0,2)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○
• $(1,0)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……×
• $(1,1)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○
• $(1,2)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○
• $(2,0)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……×
• $(2,1)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……×
• $(2,2)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○

ここまで具体的に考えて、あたしはようやく先輩がおっしゃっていた、 $$ R_{\leqq} = \SET{ (0,0), (0,1), (0,2), (1,1), (1,2), (2,2) } $$ としたとき、

　 $x \leqq y$ が成り立つこと

は、

　 $(x,y)$ が集合 $R_{\leqq}$ の要素であること

と同値であると納得がいきました。 最初から先輩はそうやって説明してくださっていたのに、 あたしは具体的に一つ一つ確かめるまでは、わかりませんでした……いつもながらトロくてすみません」

僕「いやいや、とんでもないよ、テトラちゃん。 ぜんぜんトロくなんかない。 いまのテトラちゃんはもう、 $$ x \leqq y \LONGBOTHIMPLIES (x,y) \in R_{\leqq} $$ も納得できるね」

テトラ「えっと、はい。わかります。 これは、

• $x \leqq y$ ならば $(x,y) \in R_{\leqq}$ である。
• $(x,y) \in R_{\leqq}$ ならば $x \leqq y$ である。

僕「うん、そうなんだけど、 でも人から言われるだけじゃ、 なかなか納得はできないよね」

テトラ「はい……そういうところはあります。 自分で具体的に考えてみて、 はじめて『そういうことなんだ！』と納得できます。 その瞬間、すごくすっきりします」

点とグラフ

僕「テトラちゃんは《表（ひょう）》の別表現を見たときに、 $(x,y)$ を点の座標のようだと言ってたよね。 そんなふうにいろんな数学的概念が結びつくのは楽しいと思う」

テトラ「はい」

僕「この《以下（$\leqq$）》という《関係》をグラフとして表すこともできるよね。 $(x,y)$ を $x$ 座標と $y$ 座標の組として扱うんだよ」

テトラ「《関係》をグラフとして表す……でも、 グラフといっても曲線にはなりませんよね？　点の集まりにしかなりません」

僕「でも、曲線だって点の集まりだよ。 座標平面上の点の集まりが曲線や直線のような図形になってるんだから……」

テトラ「あっ、あっ、もしかして、 《以下（$\leqq$）》という《関係》をグラフとして表すというのは、 こういう意味ですか？」