第466回 シーズン47 エピソード6

《関係》って何だろう？（後編） ただいま無料

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《関係》を《集合》で表す

僕「そうするとね、

　《以下（$\leqq$）》という関係

を

　 $R_{\leqq}$ という集合

として表せたことになるんだ」

テトラ「《関係》を《集合》として表す……ちょ、ちょっと考えさせてくださいっ！」

僕「……」

テトラ「も、もうちょっと考えてもいいですか？」

僕「もちろん。好きなだけ時間を使っていいんだよ」

テトラ「……整理させてください。こういうことでしょうか」

僕「すごい！　その通りだよ、テトラちゃん」

テトラ「ずいぶん時間が掛かってしまいましたが、 たぶん、納得できたと思います。 あのですね、先輩、テトラの話を聞いてください」

僕「うんうん。何？」

テトラ「あたしは、 先輩のお話を聞いていて、 頭の中が裏返ったような感覚がありました（第465回参照）」

僕「そう言ってたね」

テトラ「それは、どうしても、 《関係》を《集合》として表す という考えが、 なかなか頭に着地してくれなかったんです」

僕「うん」

テトラ「そのときのあたしの頭の中では、こういう考えがうごめいていました」

僕「……」

テトラ「状況（・・）ともの（・・）。 それがどうして同じなのか……という考えが、 あたしの中でうごめいていたんです。 だから、その考えをうまくおさめるまでに時間が掛かってしまいました」

僕「なるほどなあ……すごくよくわかる。 テトラちゃんは自分が腑に落ちないところを丹念に探っていたんだね！」

テトラ「はい、でも、あたしなりに何とか納得できたと思います。 あのですね。それは $x \leqq y$ とは何かを考えてわかりました」

僕「おお！」

テトラ「あたしは《関係》という言葉のイメージに引っ張られて、 相互に絡み合うとか、バランスを取り合うとか、関わり合うということを考えてしまっていました。 でも、よくよく考えると《以下（$\leqq$）》という《関係》は、最終的には、

　 $x \leqq y$ が成り立つか？

という問いの答えを決めているものなんですね？」

僕「うんうん！」

テトラ「そして、いま $x$ や $y$ というのは $0,1,2$ のどれかで考えているわけですから、

• $0 \leqq 0$ は成り立つか？……○
• $0 \leqq 1$ は成り立つか？……○
• $0 \leqq 2$ は成り立つか？……○
• $1 \leqq 0$ は成り立つか？……×
• $1 \leqq 1$ は成り立つか？……○
• $1 \leqq 2$ は成り立つか？……○
• $2 \leqq 0$ は成り立つか？……×
• $2 \leqq 1$ は成り立つか？……×
• $2 \leqq 2$ は成り立つか？……○

というのが《以下（$\leqq$）》という《関係》を表すために必要な、すべての情報（・・）です。

そして、それは次の情報とまったく同じになります！

• $(0,0)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○
• $(0,1)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○
• $(0,2)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○
• $(1,0)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……×
• $(1,1)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○
• $(1,2)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○
• $(2,0)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……×
• $(2,1)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……×
• $(2,2)$ は集合 $R_{\leqq}$ の要素か？……○

ここまで具体的に考えて、あたしはようやく先輩がおっしゃっていた、 $$ R_{\leqq} = \SET{ (0,0), (0,1), (0,2), (1,1), (1,2), (2,2) } $$ としたとき、

　 $x \leqq y$ が成り立つこと

は、

　 $(x,y)$ が集合 $R_{\leqq}$ の要素であること

と同値であると納得がいきました。 最初から先輩はそうやって説明してくださっていたのに、 あたしは具体的に一つ一つ確かめるまでは、わかりませんでした……いつもながらトロくてすみません」

僕「いやいや、とんでもないよ、テトラちゃん。 ぜんぜんトロくなんかない。 いまのテトラちゃんはもう、 $$ x \leqq y \LONGBOTHIMPLIES (x,y) \in R_{\leqq} $$ も納得できるね」

テトラ「えっと、はい。わかります。 これは、

• $x \leqq y$ ならば $(x,y) \in R_{\leqq}$ である。
• $(x,y) \in R_{\leqq}$ ならば $x \leqq y$ である。

僕「うん、そうなんだけど、 でも人から言われるだけじゃ、 なかなか納得はできないよね」

テトラ「はい……そういうところはあります。 自分で具体的に考えてみて、 はじめて『そういうことなんだ！』と納得できます。 その瞬間、すごくすっきりします」

点とグラフ

僕「テトラちゃんは《表（ひょう）》の別表現を見たときに、 $(x,y)$ を点の座標のようだと言ってたよね。 そんなふうにいろんな数学的概念が結びつくのは楽しいと思う」

テトラ「はい」

僕「この《以下（$\leqq$）》という《関係》をグラフとして表すこともできるよね。 $(x,y)$ を $x$ 座標と $y$ 座標の組として扱うんだよ」

テトラ「《関係》をグラフとして表す……でも、 グラフといっても曲線にはなりませんよね？　点の集まりにしかなりません」

僕「でも、曲線だって点の集まりだよ。 座標平面上の点の集まりが曲線や直線のような図形になってるんだから……」

テトラ「あっ、あっ、もしかして、 《以下（$\leqq$）》という《関係》をグラフとして表すというのは、 こういう意味ですか？」

僕「そうだね。 $x \leqq y$ という関係を満たす点 $(x,y)$ を黒い点で表している。 それはこの《以下（$\leqq$）》という《関係》のグラフといえるし、 また $R_{\leqq}$ という《集合》の点を図示したものともいえる」

テトラ「……あたしは、 $x \leqq y$ という不等式を満たす座標平面上の領域を、 描いたことがあります。こういうものです。 これは $x$ と $y$ がどんな実数をとっても構わないからですね」

僕「まさにそうだね！　いまテトラちゃんは、 《以下（$\leqq$）》という《関係》を……

• $S = \SET{0,1,2}$ という集合の直積 $S \times S$ の部分集合じゃなくて、
• 実数全体の集合 $\REAL$ の直積 $\REAL \times \REAL$ の部分集合として考えた

……ということだね！」

テトラ「なるほどです！　……これ、おもしろいですね。 何だかぐるっと回って帰ってきたみたいです」

僕「え……それはどういう比喩なんだろう」

テトラ「$\SET{0,1,2}$ という小さなおもちゃで遊んでいたと思っていたら、 急に、あたしが知っている数学とつながったみたいな感じです。 わ、わかりにくいですよね」

僕「いや、わかるよ。 さっきの六個の点をこの領域に重ねて描くのもおもしろいね。 領域の離散バージョンみたいだ」

《関数》は《関係》

テトラ「ちょっとお待ちください、先輩！」

僕「ん？」

テトラ「もしかして《関数（かんすう）》も《関係（かんけい）》ですか？」

僕「ああ、そうだね。確かにそういえる。 あれ、そういえば……」

テトラ「あたし、思い出しましたよ。 すっかり忘れてました。 先輩とミルカさんと三人で、 《関数》というものを《集合》で表したことがありました！」

僕「あったあった（第206回参照）。 $f$ という《関数》に対して、 $y = f(x)$ を満たす点 $(x,y)$ 全体の《集合》を考えるわけだ」

テトラ「はい。そうすれば《関数》を《集合》で表せることになります。 そしてそれは《関係》を《集合》で表したのと同じ方法ですよね？」

僕「うん、そうなる。 ただし、《関数》の場合には、 $x$ に対して $f(x)$ の値はたった一つに定まる必要がある。 それは《関数》という言葉の定義。 でも、一般の《関係》にはそんな制限はない。 だから、《関係》がすべて《関数》になるわけじゃないね」

テトラ「ええと、ええと、それは…… たとえば $x \leqq y$ を満たす $(x,y)$ は $x$ に対して一つとは限らないから？」

僕「そういうこと。 もちろん逆はいえる。だから……

• 《関係》は《関数》とは限らない。でも、
• 《関数》は《関係》である。

テトラ「《以下（$\leqq$）》は《関数》じゃないですけど、 《等しい（$=$）》は《関数》です。そうですよね？」

僕「ああ、そうなるね。 $x$ を決めたとき、 $x = y$ を満たす $y$ は一つに決まるから」

テトラ「納得です！」

僕「実際のところ、 《等しい（$=$）》という《関係》と、《$f(x) = x$》という《関数》は同じグラフを描くことになるね。 $\REAL\times\REAL$ で考えた場合でも、 $S = \SET{0,1,2}$ の直積 $S\times S$ で考えた場合でも」

余りを求める《関数》は……

テトラ「それにしても $S = \SET{0,1,2}$ という小さな集合を使って考えるのは楽しいです。 すべてを根気よく列挙すれば、具体的に確かめられますから！」

僕「なるほど。テトラちゃんらしいね。 ああ、だったら、こういう《関数》はどうだろう。 これも《関係》として《集合》で表せるよね」

テトラ「ははあ、つまり、

• $f(0) = 1$
• $f(1) = 2$
• $f(2) = 0$

僕「そうだね。これは《$1$ を足して $3$ で割った余りを得る関数》になる」

テトラ「この関数 $f$ なら、 《表》で表すことも、 《集合》で表すこともできます！」

僕「素早いね！」

テトラ「もう大丈夫です。理解しましたからっ！」

僕「ところで、《これ》ってじゃんけんに見えない？」

テトラ「じゃんけん？　……ああ、本当ですね。

• $0$ で《パー》を表す。
• $1$ で《チョキ》を表す。
• $2$ で《グー》を表す。

そうすると、

• $(x,y)$ は集合 $F$ の要素である
• $f(x) = y$ が成り立つ
• じゃんけんで $x$ に $y$ が勝つ

がすべて同値になります！　いろんなものがつながりますね……」

僕「$F = \SET{(0,1),(1,2),(2,0)}$ で、 $J = \SET{(0,1),(1,2),(2,0)}$ にできる」

テトラ「$F = J$ になりました！」