第461回 シーズン47 エピソード1

発表順の決定（前編） ただいま無料

僕の部屋

ユーリ「ちーっす！　お兄ちゃん！」

僕「お、ユーリ」

ユーリ「いやー、お兄ちゃんのとこ来んの、ひさしぶりだにゃあ（・・・）」

僕「久し振り？　先週の土曜日も来てたよね」

ユーリ「おっと、そういう設定？」

僕「設定言うな」

ユーリ「ここ数か月、とある理由により、この部屋に来てなかった気分なんだけど」

僕「メタ発言自重！」

ユーリ「ＣＭが終わったところで……じゃじゃん！」

僕「ジャジャン？」

ユーリ「問題の出題音。じゃじゃん！　お兄ちゃんに問題です！」

問題1：ユーリからの出題

僕「発表順を投票で決める？」

ユーリ「ちゃんと最後まで読んでよー」

僕「待って待って。このルール、ややこしくないか？」

ユーリ「すぐ下に、ちゃんと例が書いてあるっしょ？」

僕「なるほど……」

ユーリ「わかった？　わかった？　ねー、答え言ってもいい？　降参？」

僕「いやいや、そんな瞬時にわかるわけないだろ。 考えさせてよ」

ユーリ「ちぇっ……」

僕の思考

問題1の解答

僕「……」

ユーリ「……はい、時間切れナリ〜！　わかった？」

僕「わかったよ。このルールだと発表順が決まらないことがあるね」

ユーリ「ほほー。そのココロは？」

僕「たとえば、三人の希望がこうだったとすると、発表順は決まらない」

ユーリ「あー、やっぱり気付くか〜」

僕「僕の例だと、【ルール】に従って二人ずつペアにして比べていくとこうなる。

• AとBのペアを比べると、Aが早い希望が多い（希望1と3）。
• BとCのペアを比べると、Bが早い希望が多い（希望1と2）。
• CとAのペアを比べると、Cが早い希望が多い（希望2と3）。

AはBより早く、BはCより早く、CはAより早い……これじゃ発表順を決めることはできないよね。 だって、これを実現しようとしても、

……→A→B→C→A→B→C→A→……

のようになってしまい、誰が最初に発表したらいいか決まらないから」

ユーリ「だいせいかーい！」

サイクリック

僕「この問題1はおもしろいね。僕の例を見るとわかるけど、 この三つの希望はサイクリックにずらした関係になっている」

ユーリ「さいくりっく？」

僕「そう、サイクリック（cyclic）。 日本語だと循環的（じゅんかんてき）な、とでもいえばいいかな。 サイクル（cycle）と語源が同じ言葉だね」

ユーリ「あー、そっか。ぐるぐる回ってること？」

僕「そうだね。A,B,Cを円形に配置しておいて、 少しずつずらして選んでいくといってもいい。 三つの希望がサイクリックにずらした関係にあるわけだ」

ユーリ「ぐるぐるだ〜！」

僕「そうだね。ぐるぐる……そうか！　なるほどね！」

ユーリ「何がなるほど？」

僕「三つの希望がサイクリックにずれた関係になっているということは、 言い換えると、発表順に対する三つの希望には対称性があるってことになる。 つまり、ちょうどバランスが取れてしまっている」

ユーリ「ふむふむ？」

僕「だから、三つの希望をきちんと満たそうとしても、それは無理なんだ。 A,B,Cのうち誰が最初に発表するかは決められない。 それを決めるためには、三つの希望にバランスが崩れたところが必要になる。 誰かに偏（かたよ）っていなければいけないということ」

ユーリ「なーる。バランスの意味、わかった」

僕「たとえていうなら、あいこみたいな状態になってるんだね」

ユーリ「ジャンケンのこと？」

僕「そうだね。発表順で、

• AはBより早く、BはCより早く、CはAより早く！

と言われても、最初に発表する人は決まらない。それはジャンケンで、

• グーはチョキより強く、チョキはパーより強く、パーはグーより強く！

と言われても、最強の手が決まらないのと同じこと」

ユーリ「なーるほど」

僕「ジャンケンでは、二人で違う手を出せば勝負は決まる。 でも三人で違う手を出せば勝負は決まらない。あいこだ。 なるほど……」

ユーリ「ポケモンみたい」

僕「ポケモン？」

ユーリ「うん。タイプ相性。 《ほのお》は《くさ》に有利で、 《くさ》は《みず》に有利で、 《みず》は《ほのお》に有利。 さいくりっく〜！」

出典を問う

僕「ユーリが持ってきたこの問題1はとてもおもしろいね」

ユーリ「でしょでしょ？」

僕「ところで、気がついたんだけど……」

ユーリ「このユーリさまに何でも聞きたまえ！」

僕「これ、ユーリの字じゃないよね。誰が書いた問題？」

ユーリ「あっ……えーっと……とあるルートから入手したでござるよ」

僕「わかった。例の彼氏だね」

ユーリ「あいつ（・・・）はそーゆーんじゃないもん！」

僕「まあ、いいよ。おもしろかったって伝えておいて」

ユーリ「むー……」

僕「この問題1は、彼氏が作ったのかなあ。それとも何か出典がある？」

ユーリ「コンドルセのパラドックス（Condorcet paradox）を元にしたって言ってたよ。 詳しくは知らない」

僕「ふーん……あとで調べてみよう。 ところで、ユーリはこの問題1は解けたの？」

ユーリ「もっちろん！　お兄ちゃんと同じ例を見つけたよん！　すごいっしょ」

僕「すごいすごい。 それで、ユーリは《逆》については考えた？」

ユーリ「《逆》って、どゆこと？」

僕「希望がサイクリックになっていたら発表順が決まらないのはわかった。 だったら逆に、発表順が決まらないときはいつも希望はサイクリックになっているんだろうか。 つまり、発表順が決まらないのはどんなときなのか、それが気になる」

ユーリ「お、おお？」

問題2：「僕」からの出題

僕「……」

ユーリ「……たぶん、サイクリックのときだけじゃない？」

僕「それはどうして？」

ユーリ「何となく。 サイクリックだと、うま〜くバランスが取れちゃって《あいこ》になるから発表順は決まらない。 でも、サイクリックじゃないと、バランスが崩れるから発表順は決まりそう」

僕「うん、僕もパッと考えるとそう思う」

ユーリ「えっ、違うの？」

僕「いや、たぶんそれが正解だと思うけど、絶対にそうだと確信は持てないな。 サイクリックじゃないときに二人の発表順は決まるとしても、本当に三人の発表順は決まる？」

ユーリ「うー……」

《場合分け》を考えよう

僕「これ、意外と難しいな。ちゃんとやろう！」

ユーリ「だんだん頭がごちゃごちゃしてきた……」

僕「場合分けをきちんとやった方がよさそうだ。 最初から、三つの希望がサイクリックかどうかを考えるんじゃなくて、 網羅的（もうらてき）に考えることにしよう」

ユーリ「もうらてき」

僕「すべての場合を漏らさず考えるということ。 三つの希望は必ず次のどれかの場合になる」

• 場合1: 三つの希望がすべて同じ場合
• 場合2: 三つの希望のうち同じものが二つある場合
• 場合3: 三つの希望がすべて異なる場合

ユーリ「にゃるほど。 えーっと……場合3を考えればいい！」

僕「速いな。いやいや、あわてないあわてない。 場合1と場合2をちゃんと確かめてから行こう」

ユーリ「へいへい」

場合1: 三つの希望がすべて同じ場合

僕「場合1は、三つの希望がすべて同じ場合」

ユーリ「発表順は決まる！　あったりまえ」

僕「そうだね。たとえば三つの希望がA→B→Cなら、 文句なく発表順はA→B→Cになる。 だって、A→Bが3票、B→Cが3票、A→Cが3票になるから」

ユーリ「三つの希望がB→C→Aなら、 発表順はB→C→Aになる。はいはい、解決解決！　場合2に行こ！」

場合2: 三つの希望のうち同じものが二つある場合

僕「場合2は、三つの希望のうち同じものが二つある場合」

ユーリ「これも発表順は決まるよね。 二つ同じ希望があるんだから、それが必ず多数派になるもん」

僕「うん、そうなる。 たとえば二つ同じになる希望がB→A→Cなら、 発表順もB→A→Cになる。 だって、B→Aが2票以上、A→Cが2票以上、B→Cが2票以上になるから」

ユーリ「楽勝楽勝。んじゃ、いよいよ場合3じゃのう」

場合3: 三つの希望がすべて異なる場合

僕「場合3は、三つの希望がすべて異なる場合。つまり希望1,2,3がぜんぶバラバラの場合」

ユーリ「A→B→CとB→A→CとB→C→Aの場合は……」

僕「待って、ユーリ。闇雲に考えると絶対混乱するから、 どういう基準で場合分けするかを確認してから行こうよ」

ユーリ「まだ場合分けがあんの？」

僕「たとえば、こう考えれば、場合3は二つに場合分けできる」

• 場合3-1: 三つの希望がサイクリックになっている場合
• 場合3-2: 三つの希望がサイクリックになっていない場合

ユーリ「場合3-1は発表順が決まらないやつでしょ？」

僕「そうだね。もう調べたけれど、念のために整理しておく」

ユーリ「ふーん」

場合3-1: 三つの希望がサイクリックになっている場合

僕「場合3-1は、三つの希望がサイクリックになっている場合。 これは二つのパターンのどちらかになる」

• 場合3-1-1: パターン $\heartsuit$ : 三つの希望がA→B→C, B→C→A, C→A→Bである場合
• 場合3-1-2: パターン $\spadesuit$ : 三つの希望がA→C→B, B→A→C, C→B→Aである場合

ユーリ「え？　もっとありそうだけど？　たとえば、 B→A→C, C→B→A, A→C→Bとか」

僕「それは、パターン $\spadesuit$ と同じことだよね」

ユーリ「ほんとだ！」

場合3-2: 三つの希望がサイクリックになっていない場合

僕「場合3-2は、三つの希望がサイクリックになっていない場合。 さあ、いよいよだ。 この場合3-2で、発表順が決まらないものがあるかどうか……」

ユーリ「ねえ、お兄ちゃん！」

僕「何？」

ユーリ「ユーリ、楽しい！」

僕「なんだなんだ」

ユーリ「場合分けを繰り返してると、 何だか犯人を追い詰めている感じがするんだもん！」

僕「なるほど、確かにそうだね」

ユーリ「場合3-2は、三つの希望がぜんぶバラバラになっていて、 しかもサイクリックにならない場合でしょ。 これ、どーすんの？」

僕「いろいろ賢く考える方法はありそうだけど、《テトラちゃん流》でやってみよう」

ユーリ「テトラさん流……とは？」

僕「根気よく、しらみつぶし！」

ユーリ「むぎゃ！」

僕「といっても、大したことはないよ。そもそも、個々の希望の出し方というのは、 A,B,Cという三つのものを一列に並べる順列（じゅんれつ）だから、全部で $6$ 通りしかない」

ユーリ「おお、勇者よ……すべての希望がここに……」

僕「このすべての希望から異なる三つを選ぶけど、 サイクリックにならないようにする。 そのためには、 サイクリックになる パターン $\heartsuit$ と パターン $\spadesuit$ の両方から希望を取り出すことになる」

ユーリ「えーと？　何で？」

僕「だって、すべての希望は パターン $\heartsuit$ と パターン $\spadesuit$ にあるから、片方のパターンから三つを選んだら、 サイクリックになっちゃうよね？」

ユーリ「あ、そっか。わかった」

僕「両方のパターンから選ぶなら、

• 場合3-2-1: パターン $\heartsuit$ から二つとパターン $\spadesuit$ から一つ選ぶ場合
• 場合3-2-2: パターン $\heartsuit$ から一つとパターン $\spadesuit$ から二つ選ぶ場合

の二つになる。 ここまでくれば、すべてのパターンをつくしても大した手間じゃない」

ユーリ「けっこー大変じゃん！」

僕「これで、すべての場合を尽くすことができた」

ユーリ「もうらてき」

問題2の解答