第449回 シーズン45 エピソード9

友愛数の楽しみ（前編）

友愛数

ユーリ「なんで？　なんて、こんな方法でうまくいくのー？」

テトラ「$n = 2$ で検算しましたけど（第448回参照）、やっぱり不思議な方法です」

僕「サービト・イブン・クッラの方法に出てくる《素数ならば》ってすごい条件だよね。 この《$p$ と $q$ と $r$ が素数である》という条件は、 いったいどこ（・・）に効いてくるんだろう……やっぱり、ちゃんと証明してみないといけなさそうだなあ」

ユーリ「待って待って。うまくいく理由がわかんないのに、 証明できんの？」

僕「違う違う。 ちゃんと証明するつもりになって考える。 そうやってしっかり考えて、 理由をはっきりさせたいっていう意味だよ」

ユーリ「そーゆーもんなんだ」

僕「そういうもんだよ」

テトラ「まずは《定義にかえれ》にしたがって、 友愛数の定義を確認しましょうっ！」

僕「やっぱり、カギになるのは 自然数 $x$ の約数の総和を求める $\sigma(x)$ という関数だろうなあ……」

テトラ「サービト・イブン・クッラの方法を、この友愛数の定義に当てはめてみるとどうなるでしょう……」

僕「サービト・イブン・クッラの方法だと、得られる友愛数は $$ (2^npq, 2^nr) $$ だから、友愛数の定義に出てきた $\RFM$ と $\BFN$ を使って、 $$ \beginCases \RFM &= \RF{2^npq} \\ \BFN &= \BF{2^nr} \endCases $$ と置いてもいいね。 もちろん $\RFM$ と $\BFN$ は反対にしてもいいけど」

テトラ「はい。ということは、友愛数の定義にそれを当てはめるなら、 $$ \beginCases \sigma(\RF{2^npq}) - \RF{2^npq} &= \BF{2^nr} \\ \sigma(\BF{2^nr}) - \BF{2^nr} &= \RF{2^npq} \endCases $$ が成り立つことを証明すればいいことになりますね？」

僕「うん、そうだね。あ、そうだ。 移項して $$ \beginCases \sigma(\RF{2^npq}) &= \RF{2^npq} + \BF{2^nr} \\ \sigma(\BF{2^nr}) &= \RF{2^npq} + \BF{2^nr} \endCases $$ を証明した方が計算が楽かもね。 要するに、 $$ \sigma(\RF{2^npq}) = \RF{2^npq} + \BF{2^nr} = \sigma(\BF{2^nr}) $$ を証明するわけだ」

テトラ「なるほど。その式があたしたちのゴールになるわけですね」

ユーリ「あ、それって、 $(\RFM,\BFN)$ が友愛数のとき、 $$ \sigma(\RFM) = \RFM + \BFN = \sigma(\BFN) $$ ってやつだね（第448回参照）！」

僕「そうだね」

テトラ「では、ここまでをまとめます！　あたしたちの《証明の方針》はこうなりました」

僕「うん、はっきりしてきた」

ユーリ「はっきりしてきた？　何だか、どんどん複雑になってきたんですけどー？」

僕「複雑にみえるのは、 $\RFM$ を $\RF{2^npq}$ に置き換えて、 $\BFN$ を $\BF{2^nr}$ に置き換えたからだよね。 でも、それは複雑にしたわけじゃないんだ。 $\RFM$ や $\BFN$ のように一文字になっているままじゃ、 どうしようもない。 $\RF{2^npq}$ や $\BF{2^nr}$ のように、 整数の《内部構造》が見えた方が手がかりが増える」

ユーリ「ふーん……どんな手がかり？」

僕「それをいま考えてるんだけどね。たとえば、 $$ \sigma(\RF{2^npq}) $$ はどういうものかというと——」

ユーリ「$\RF{2^npq}$ の約数をぜんぶ足した数でしょ？　でもそんなの、 $n$ とか $p$ とか $q$ とかが変われば変わるじゃん」

僕「具体的な値は変わる。でも、 $p$ も $q$ も $n$ で表せるんだから、 $\sigma(2^npq)$ を $n$ で表せると思うな」

テトラ「あたし、わかったかもしれません！　約数の総和を求めるときに 《積の和》を《和の積》に変えましたよね（第448回参照）。 あの考え方が使えそうです！」

ユーリ「テトラさん。どゆこと？」

テトラ「$\sigma(220)$ を計算する簡単な方法のことですよ。 $$ \begin{align*} \sigma(220) &= 2^0 \times 5^0 \times 11^0 && (a = 0,b = 0,c = 0) \\ &+ 2^0 \times 5^0 \times 11^1 && (a = 0,b = 0,c = 1) \\ &+ 2^0 \times 5^1 \times 11^0 && (a = 0,b = 1,c = 0) \\ &+ \cdots \\ &+ 2^2 \times 5^1 \times 11^1 && (a = 2,b = 1,c = 1) \end{align*} $$ のように《積の和》を計算する代わりに、 $$ \sigma(220) = (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (5^0 + 5^1) \times (11^0 + 11^1) $$ のように《和の積》を計算すれば簡単になりました（第448回参照）」

ユーリ「因数分解したんでしょ？　でも、それで $\sigma(\RF{2^npq})$ も計算できる……？」

僕「わかった。テトラちゃんが言う通りだよ。それでいける。 《$p,q,r$ が素数》という条件もそこで効いてくる！」

ユーリ「わかんない！」

僕「ちゃんと説明するよ。 そうか、整数の《内部構造》を探るんだから、 やっぱり素因数分解が大きな力となる。 $p$ と $q$ は素数だから、 $\RF{2^npq}$ は $2$ と $p$ と $q$ という異なる $3$ 個の素因数から作られていることになる。 だから、 $\sigma(\RF{2^npq})$ は、 $$ \sigma(\RF{2^npq}) = \underbrace{(2^0 + 2^1 + \cdots + 2^n)}_{\textrm{$2^n$の約数の和}} \times \underbrace{(p^0 + p^1)}_{\textrm{$p$の約数の和}} \times \underbrace{(q^0 + q^1)}_{\textrm{$q$の約数の和}} $$ として計算できるんだ！」

テトラ「そうですね！」

ユーリ「ほほー！ ……あれ？ ほんとに素因数は $3$ 個なの？ $p = 2$ になったり、 $p = q$ になったりしないの？」

僕「ユーリは鋭いなあ！ その指摘は鋭い。 でも、その心配はいらない。 なぜならサービト・イブン・クッラの方法を思い出せばわかる。 $p$ と $q$ は勝手な素数じゃない。 整数 $n \GEQ 2$ に対して、 $$ \beginCases p &= 3\times 2^{n-1} - 1 \\ q &= 3\times 2^n - 1 \\ r &= 9\times 2^{2n-1}-1 \endCases $$ として計算したものだった。 だから、 $p \NEQ 2$ だし、 $q \NEQ 2$ だし、もちろん $p \NEQ q$ になる」

ユーリ「あー、そっか」

テトラ「《$2^n$ の約数の和の部分》は、等比数列の和の公式から、 $$ 2^0 + 2^1 + \cdots + 2^n = 2^{n+1} - 1 $$ になりますよね？ それから、 $p^0 + p^1 = 1+p$ で、 $q^0 + q^1 = 1 + q$ です。 これで、 $\sigma(\RF{2^npq})$ は完全に求められます！」

ユーリ「これが $\RF{2^npq} + \BF{2^nr}$ に等しくなるの？」