第448回 シーズン45 エピソード8

サービト・イブン・クッラ（後編） ただいま無料

博学多才なサービト・イブン・クッラ

テトラ「何度も感じていることですけれど、多様なものが混じり合うというのは興味深いですね……」

ユーリ「テトラさん、何のこと？」

テトラ「翻訳によって他の国の著作が自分の国にもたらされるというのと、 学問分野が相互に作用するというのはとてもおもしろいと思うんです」

僕「違う世界にいる人は、違う考え方をしている。 だから、それを知ることで何か新しいものが生まれてくるのかもしれないね。 代数的な式変形に幾何的な説明を加えることもその一つ」

ユーリ「んー……だったらヤバいね」

僕「何がヤバい？　新しいものが生み出されるんだよ」

ユーリ「だって、いまだったら自動翻訳とネットがあったらすぐ伝わっちゃうじゃん？」

僕「それは便利なことだと思うけど」

ユーリ「ちがーう！　違う世界じゃなくなるってこと！」

テトラ「ユーリちゃんは、自動翻訳とインターネットの発達によって、 次第に世界が均質化してしまうんじゃないか……と危惧してるんじゃないでしょうか。 情報が行き来するスピードがアップするのはいいけれど、多様なものが高速に混じり合ってしまうなら、 多様ではなくなってしまうという意味です」

ユーリ「それそれ！　テトラさんは、ちゃーんとユーリが言いたいことわかってる！」

僕「なるほどなあ……それぞれの世界を育む時間があってこそ《違う世界》に触れる意味があるってことか」

友愛数

僕「こっちに友愛数のパネルがあるよ」

ユーリ「ゆー・あい・すー？　うお・あい・にー？」

テトラ「《wǒ ài nǐ》は《I love you》ですね！」

僕「何の話？」

テトラ「友愛数という言葉は何かの本で見たことがありましたが、定義は知りませんでした。 こういうことだったんですね」

ユーリ「何だかごちゃごちゃしててわかんない」

テトラ「こういうときは《小さな数で考える》のがいいんですよ。 たとえば $12$ の約数は何でしょう」

ユーリ「$1,2,3,4,6,12$ でしょ？　 $12$ を割り切る数」

テトラ「《$12$ の約数の総和から $12$ を引いた数》を計算します。 $12$ の約数の総和を $\sigma(12)$ で表すと、 $$ \sigma(12) - 12 = (1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12) - 12 = 28 - 12 = 16 $$ のように $16$ になりますね。では今度は、 $16$ の約数を考えてみましょう」

ユーリ「$1,2,4,8,16$」

テトラ「ですから、《$16$ の約数の総和から $16$ を引いた数》は、 $$ \sigma(16) - 16 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) - 16 = 15 $$ になります。まとめると、 $$ \begin{cases} \sigma(12) - 12 &= 16 \\ \sigma(16) - 16 &= 15 \end{cases} $$ になりました。残念ながら $\sigma(16) - 16 = 15 \NEQ 12$ なので、 $(12,16)$ は友愛数ではないということがわかりました。 $(12,16)$ ではうまくいきませんでしたけど、 いまと同じような計算をしたときに、互いに

$$ \begin{cases} \sigma(\RFM) - \RFM &= \BFN \\ \sigma(\BFN) - \BFN &= \RFM \end{cases} $$

という関係が成り立っている自然数の組 $(\RFM,\BFN)$ のことを、友愛数と呼ぶんですね」

ユーリ「そーゆーことね。ユーリ、 $100$ パーセント理解した！　テトラさんの説明、わかりやすーい！」

僕「いまテトラちゃんがやってくれたように計算すれば $(12,16)$ が友愛数でないことはわかる。 そしてパネルに書いてある自然数の組 $(220,284)$ は本当に友愛数であるかと言われれば、 確かめるのはすぐにできる。 でも、友愛数を見つけるのは難しそうだな……」

ユーリ「$(220,284)$ が友愛数であるって、すぐに確かめられるの？」

僕「そりゃそうだよ。だって——」

ユーリ「ちょっと待った！　ユーリがそれやる！」

僕「……」

ユーリ「$220$ の約数は、 $1$ と、 $2$ と、 $3$ はダメ、 $4$ と、 $5$ と、 $6$ は……ダメ、 $7$ は……ダメ。 ほらー、やっぱり、すぐに確かめるなんて無理じゃん！」

僕「約数になるかどうか、 $1,2,3,4,5,\ldots$ のように順番に試しているからだよ。 約数になるかどうかを考えるときは素因数分解して考えるとすぐだよ」

ユーリ「素因数分解は知ってるけど……関係あるの？」

僕「$220$ を素因数分解すると、 $$ 220 = 2^2 \times 5 \times 11 $$ だから、 $220$ の約数は必ず

• 素因数 $2$ を、 $0$ 個か $1$ 個か $2$ 個、持っている。
• 素因数 $5$ を、 $0$ 個か $1$ 個、持っている。
• 素因数 $11$ を、 $0$ 個か $1$ 個、持っている。

という形になる。言い換えると $a = 0,1,2$ で、 $b = 0,1$ で、 $c = 0,1$ としたとき、 $220$ の約数は $$ 2^a \times 5^b \times 11^c $$ という形をしている」

ユーリ「ふむふむ……あれ？　でも、その $a,b,c$ を全パターン計算するわけ？　結局めんどーじゃん……」

僕「ところが違うんだよ。いまは友愛数を考えているので《約数の総和》を得ることが大事になる。 $\sigma(220)$ を計算したい」

ユーリ「だからそれって、 $$ \begin{align*} \sigma(220) &= 2^0 \times 5^0 \times 11^0 && (a = 0,b = 0,c = 0) \\ &+ 2^0 \times 5^0 \times 11^1 && (a = 0,b = 0,c = 1) \\ &+ 2^0 \times 5^1 \times 11^0 && (a = 0,b = 1,c = 0) \\ &+ \cdots \\ &+ 2^2 \times 5^1 \times 11^1 && (a = 2,b = 1,c = 1) \end{align*} $$ をぜーんぶ計算することになるじゃん！」

テトラ「いまユーリちゃんが書いてくれた式は《積の和》の形ですから、 それを《和の積》に直せばいいんですね。 つまり、こんなふうに因数分解することになります」

$$ \sigma(220) = (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (5^0 + 5^1) \times (11^0 + 11^1) $$

ユーリ「……」

僕「……」

テトラ「……」

ユーリ「……わかった！　なーるほど！　展開すればちゃんと全パターンが出てくる！　 カッコの中で《どれ》を選ぶかで決まるから！」

$$ \newcommand{\RF}[1]{\REDFOCUS{\underline{#1}}} \newcommand{\BF}[1]{\BLUEFOCUS{\underline{#1}}} \newcommand{\GF}[1]{\GREENFOCUS{\underline{#1}}} \begin{align*} (\RF{2^0} + 2^1 + 2^2) \times (\BF{5^0} + 5^1) \times (\GF{11^0} + 11^1) &\to \RF{2^0} \times \BF{5^0} \times \GF{11^0} \\ (\RF{2^0} + 2^1 + 2^2) \times (\BF{5^0} + 5^1) \times (11^0 + \GF{11^1}) &\to \RF{2^0} \times \BF{5^0} \times \GF{11^1} \\ (\RF{2^0} + 2^1 + 2^2) \times (5^0 + \BF{5^1}) \times (\GF{11^0} + 11^1) &\to \RF{2^0} \times \BF{5^1} \times \GF{11^0} \\ &\vdots \\ (2^0 + 2^1 + \RF{2^2}) \times (5^0 + \BF{5^1}) \times (11^0 + \GF{11^1}) &\to \RF{2^2} \times \BF{5^1} \times \GF{11^1} \end{align*} $$

僕「だから——」

ユーリ「だから！　 $\sigma(220)$ はすぐ計算できる！」

$$ \begin{align*} \sigma(220) &= (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (5^0 + 5^1) \times (11^0 + 11^1) \\ &= (1 + 2 + 4) \times (1 + 5) \times (1 + 11) \\ &= 7 \times 6 \times 12 \\ &= 504 \end{align*} $$

テトラ「同じように——」

ユーリ「$\sigma(284)$ もわかるね。 $284$ を素因数分解するんでしょ？ $$ 284 = 2^2 \times 71 $$ ……あれ？　 $71$ って素数だっけ？」

僕「素数だね」

ユーリ「だったら、 $$ \begin{align*} \sigma(284) &= (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (71^0 + 71^1) \\ &= (1 + 2 + 4) \times (1 + 71) \\ &= 7 \times 72 \\ &= 504 \end{align*} $$ になった！　同じ $504$ だ！　……あれ？　 $284$ を引き算しなくていいんだっけ？」

僕「まず、話を整理しようよ。 $\sigma(220) = 504$ と $\sigma(284) = 504$ が計算できた。 友愛数の定義に当てはめてみると、 $$ \begin{cases} \sigma(\REDFOCUS{220}) - \REDFOCUS{220} &= \BLUEFOCUS{284} \\ \sigma(\BLUEFOCUS{284}) - \BLUEFOCUS{284} &= \REDFOCUS{220} \end{cases} $$ になっている。これでめでたく $(\REDFOCUS{220},\BLUEFOCUS{284})$ が友愛数だと確かめられた」

ユーリ「……あー、わかったわかった！ 友愛数を定義してる、 $$ \begin{cases} \sigma(\RFM) - \RFM &= \BFN \\ \sigma(\BFN) - \BFN &= \RFM \end{cases} $$ というのは、 $$ \begin{cases} \sigma(\RFM) = \RFM + \BFN \\ \sigma(\BFN) = \BFN + \RFM \end{cases} $$ だから、 $$ \sigma(\RFM) = \RFM + \BFN = \sigma(\BFN) $$ ということになる。 だから、友愛数は $$ \sigma(\REDFOCUS{220}) = \REDFOCUS{220} + \BLUEFOCUS{284} = \sigma(\BLUEFOCUS{284}) $$ が成り立つことで確かめてもいいんだね」

僕「そうだね」

テトラ「$(M,N)$ が友愛数であることを確かめるのはいいんですけれど、 先輩がおっしゃっていたように友愛数になる $(M,N)$ を見つけるのは難しそうです」

ユーリ「コンピュータ使ったらすぐじゃない？　順番に調べていけばいいもん」

テトラ「……順番に調べるのは難しいと思います。だって、自然数は無数にありますよね。 ある $M$ を決めておいて $(M,1)$ と、 $(M,2)$ と、 $(M,3)$ と、 $(M,4)$ と……順番に調べていったとして、 いつまでも終わりません」

僕「うーん……いやいや、そんなことはないと思うよ。 $M$ に対して極端に $N$ が大きくなったら、 $(M,N)$ は友愛数にならないことがいえるんじゃないかな」

テトラ「え……そうでしょうか。 $N$ が大きいとしても、約数の和はそれほど大きくならないことがあります。 たとえば、 $N$ が素数だったら、 $N$ の約数は $1$ と $N$ だけですから $\sigma(N) = 1 + N$ です」

僕「いや、もっと大きい $N$ なら……」

ユーリ「お兄ちゃんとテトラさんは何を議論してんの？」

僕「$M$ に対して、ある $U$ という数が存在するかを考えているんだ。 その $U$ というのは——『$M$ に対して $U$ より大きな $N$ は考えなくてもいいよ。 なぜなら、 $U$ より大きな $N$ について絶対に $(M,N)$ は友愛数にならないから』——という数のこと。 もちろん、 $U$ は $M$ ごとに決まっていい。 もしそういう $U$ があるなら、そこまでで $N$ の調査を打ち切れるから、 $M$ を次に進めることができる」

ユーリ「にゃるほど！」

僕「……わかった。簡単だった。 やっぱり《$M$ の約数の総和 $\sigma(M)$》は、そんなに大きくなれない」

テトラ「あたしはまだ、はっきりわかっていません……」

僕「話してもいい？　いいよね」

ユーリ「お兄ちゃん、話したがりだにゃあ（・・・）……」

テトラ「先輩、お願いします」

僕「考えてみればあたりまえなんだよ。この二つはすぐにいえる。

• $M$ の約数は、すべて $M$ 以下である。
• $M$ の約数の個数は、いくら多くても $M$ 個以下である。

ということは、 $M$ の約数の総和 $\sigma(M)$ は、 $$ \sigma(M) \LEQ M\times M = M^2 $$ になる。約数の一つ一つが $M$ 以下で、約数の個数はいくら多くても $M$ 個以下だから、 $\sigma(M)$ は二つの $M$ を掛けた数以下になる」

テトラ「なるほどですね」

ユーリ「なーるほどー！」

僕「$M$ が与えられて $(M,N)$ が友愛数になるかどうかを調べるとしよう。 そうすると、 $\sigma(M) \LEQ M^2$ であることから、 $$ \sigma(M) - M \LEQ M^2 - M $$ になる。言い換えると $M^2 - M$ より大きな $N$ は調査する必要がないわけだね。 ああ、すっきりした！」

ユーリ「てことは、コンピュータで友愛数を順番に調べていけるね！　すぐにぜんぶ計算できる」

テトラ「《順番に調べられる》のはそうですけど……《すぐに》とも《ぜんぶ》とも言えないと思いますよ」

ユーリ「テトラさん、なんで？」

テトラ「大きな整数の素因数分解は計算が大変ですから《すぐに》とはいきませんし、 $M$ と $N$ の組み合わせは無数にありますから、これで《ぜんぶ》ともいえないと思います」

ユーリ「そっか……」

僕「そろそろパネルに戻ろうか」

ユーリ「$12$ 億！」

テトラ「無数に存在するかどうかも未解決問題なんですね……」

僕「そういう意味ではやはり難しい問題なんだな……」

サービト・イブン・クッラと友愛数

ユーリ「え……？　何だかすごいこと書いてない？」

テトラ「ええと……不思議な方法ですね」

僕「$n$ を決めて、 $p$ と $q$ と $r$ を作って、そして、いま作った $p,q,r$ が素数ならば、 $(2^npq, 2^nr)$ が友愛数になる？」

テトラ「$n = 2$ の場合を検算してみますっ！」

ユーリ「えー……でも、ぜんぜん納得できなーい。なんでこの方法でうまくいくのー？」

僕「いやあ、このサービト・イブン・クッラの方法に出てくる《素数ならば》ってすごい条件だな。 この条件はどこに効いてくるんだろう？」

参考文献

• ジョーゼフ『非ヨーロッパ起源の数学』（講談社）
• カッツ『数学の歴史』（共立出版）
• メルツバッハ＆ボイヤー『科学の歴史1』（朝倉書店）
• アナトリー・サヴィン編『みえる数学の世界1』（大竹出版）
• ジョニー・ボール『数学の歴史物語／古代エジプトから現代まで』（SBクリエイティブ）