第447回 シーズン45 エピソード7

サービト・イブン・クッラ（前編） ただいま無料

代数的計算の幾何的正当化

僕「……だから、アル＝フワーリズミーのこの方法を二次方程式 $$ x^2 + bx = c \qquad (b > 0, c > 0) $$ に当てはめるなら『$b/2$ を二乗して $c$ を加えて正の平方根をとって $b/2$ を引く』ということだから、 $$ x = \SQRT{\left(\frac{b}2\right)^2 + c} - \frac{b}{2} $$ という正の解を得る解法になる——ということだね」

ユーリ「その調子で $6$ 通りのパターン（第446回参照）ぜんぶ書いてくのは、 めんどいにゃあ（・・・）」

テトラ「ユーリちゃんのいう通りですよね。 正の数に限定することで考えやすくところもありますけど、 場合分けが多くなってしまうのは大変ですね」

僕「こっちのパネルには図形が描いてあるね」

ユーリ「あっ、めんどくさい！　次のパネル行こ！」

僕「そんなに先を急いでもつまらないよ。この説明は $x^2 + 10x = 39$ の解法を図形的に説明しようとしてるんだね」

ユーリ「こーゆーの、動画にしないとわかんないよ」

僕「9世紀の時代には動画はないよ」

テトラ「その時代でも、図形を使って説明するというのは納得感を生んだんでしょうね」

ユーリ「たった一つしか図形なくても？」

僕「自分の頭の中で動画にするわけだね」

テトラ「これって……当時の人には《最先端の数学》だったわけですよね。 それを、あたしたちが追うことができるってすごいと思います」

ユーリ「あっ、なーんだ！　これだけの話？」

僕「早いな」

ユーリ「こんなのカンタンじゃん！」

テトラ「それじゃ、ユーリちゃん。 $x^2 + 10x = 39$ の解法を図形で教えてくださいな」

ユーリ「面積 $x^2$ を持つ正方形 $AB$ って、ココのことでしょ？

正方形なんだから、一辺が $x$ で、その $x$ を求めればいい」

僕「そうだね」

ユーリ「二つの長方形 $G$ と $D$ ってココのこと。 $x^2 + 10x = 39$ の $10x$ を二つに分けて、面積は $5x$ ずつ。 一辺を正方形の $x$ に合わせると別の辺は $5$ になる。

正方形 $x^2$ と長方形 $5x$ を二つ足すと面積は $x^2 + 10x$ になる。

二つの長方形 $G$ と $D$ の、 $5$ の辺二つで作ったちっちゃな正方形が 左下にできて、その面積は $5\times 5 = 25$ になる。 ココのこと。

$x^2 + 10x = 39$ に $5\times 5 = 25$ を足したら、 おっきな正方形 $SH$ ができる。これは全体の正方形のこと。

あとは $39 + 25 = 64 = 8^2$ だから、 おっきな正方形 $SH$ の一辺は $8$ になるし、 そこから $5$ を引いた $3$ が正方形 $AB$ の一辺 $x$ になる！」

僕「手早いなあ」

ユーリ「全然めんどくさくなかった」

僕「そうだよね。一見、複雑で面倒そうに見えたとしても——」

ユーリ「ストーップ！　お兄ちゃん、 いま《先生トーク》を始めようとしたね？」

僕「お？」

ユーリ「『一見、複雑でめんどーそーに見えたとしても、 きちんと取り組んでみると、意外とカンタンなんじゃ。 ゆめゆめサボることなかれ……』みたいな」

僕「キャラ崩壊してるぞ」

テトラ「ともかく、長い文章で解法の手順を示されるよりも、図があった方がわかりやすいのは確かだと思います。 もちろん、図を見て《わかったつもり》になるのはまずいですけど……」

僕「図を使ったアル＝フワーリズミーの説明は、 結局のところ、二次方程式を平方完成（へいほうかんせい）で解いているようすがよくわかるね」

テトラ「ああ、確かにそうですね！」

ユーリ「へーほーかんせー？」

僕「面積 $x^2$ の正方形に $5x$ の長方形を二つ足してできた形から、さらに大きな正方形を作ったというのは、 式で書くと—— $$ \begin{align*} x^2 + 10x &= 39 && \REMTEXT{二次方程式} \\ x^2 + 10x + \REDFOCUS{25} &= 39 + \REDFOCUS{25} && \REMTEXT{$(10/2)^2 = \REDFOCUS{25}$を両辺に足した} \\ x^2 + 2\times 5x + 5^2 &= 64 \\ (x + 5)^2 &= 64 && \REMTEXT{左辺は平方の形になっている} \\ \end{align*} $$ ——になる。 $(10/2)^2$ を加えて $(x + 5)^2$ という平方の形を完成させたんだ。これが平方完成だよ。 そして平方完成をしたことは幾何的には《大きな正方形を作る》と表現されている。 平方の形になったあとは、平方根を取ればいい。 いまは正の解だけを考えているから、 $$ \begin{align*} (x + 5) &= 8^2 \\ x + 5 &= 8 \end{align*} $$ となって、両辺から $5$ を引いて $x = 3$ になった」

ユーリ「なーるほどー……平方完成かー」

テトラ「正方形を完成させていくのは形が目に見えるから楽しいですね……ところで、 いまの先輩の説明をお聞きして思ったことがあります。 式を使って納得するのと、 図形を使って納得するのは、その両方があった方がいいような気がしました」

僕「どういうこと？」

テトラ「論理的には片方だけでもいいかもしれませんが、 式と図形と、両方あった方が深く納得して、深く理解できるんじゃないでしょうか」

僕「うーん……」

テトラ「たとえて言うなら……右手と左手が協力して大切なものを持ち運ぶような感覚があります」

僕「へえ……」

テトラ「持ち運ぶだけなら片手でも十分なんですけれど、両手を使った方が大切に扱える……と感じます。 何というんでしょう。《多様な方法》で説明する。《多様な方法》で表現する。 それによって、より深く理解できる感じがしませんか？」

ユーリ「動画とかも！」

僕「動画？」

ユーリ「いろんな方法で表現するって話じゃないの？　式を使ったり、図を使ったり。 だったら、動画を使った表現があってもいーじゃん？」

テトラ「そうですね！　だとしたら、 数学的な概念を、プログラミング言語で表現する場合があるかもしれませんね……」

イスラム世界と数学

ユーリ「どゆこと？」

僕「ちゃんと読んだ？　書いてある通りだと思うけど……」

ユーリ「代数学と幾何学が混じり合う……？」

僕「イスラム世界で二次方程式の解法のような代数学の研究が進んでいるところに、 ギリシアからの幾何学に関する研究成果が翻訳を通じて流れ込んでくる。 その結果、さっきの平方完成みたいに、 代数学な解法に対して幾何学的な説明が付けられる……ということを 言ってるんだよ、きっと」

ユーリ「いまだと、自動翻訳で変換してネットでさっと送れるのにね」

テトラ「確かにそうですねえ……」

僕「コンピュータを使った翻訳で言語の壁はずいぶん下がっていると思うけど——ただ、どうなんだろ。 《数学の概念を人間が理解する》という部分では、 コンピュータはどんなふうに貢献するんだろう」

ユーリ「そんなの、難しかったらAIが教えてくれる時代じゃん！　『ここがわかんない』ってAIに聞いたら 『ここはこうなってるんですよ、お嬢さま』って優しく教えてくれる。いいじゃん！」

僕「お嬢様はいずこ」

テトラ「そうなってくると、ますます自分で《考える》ことが大事になりますね」

ユーリ「へ？　なんで？　逆じゃないの？　だって難しいことはAIが教えてくれるんだよ？」

テトラ「だとしても、AIさんに何を尋ねるかを《考える》のは、 やはり自分になるはずですよね。それから、 AIさんが教えてくれたことが本当かどうかを《考える》のも自分です」

ユーリ「んー……そっかな」

テトラ「自分は何を知りたいのか。 自分が作りたいものは何か——そういうことも、 どれほどAIさんが進化したとしても、 自分で考えなくてはいけないように思います。 でないと、どこにも自分がいなくなってしまいそうです」

僕「……」

テトラ「自分で《考える》こともそうですし、 考えたことを言葉にして誰かに《伝える》ことも大切ですね」

ユーリ「どーして？」

テトラ「だって、いくらAIさんが進化しても、 あたしたちの心の中にあるものを外に取り出すことができるのは、自分だけですから。 それから……心の中から何を取り出して、何を取り出さないかを考えるのも、自分ですし」

サービト・イブン・クッラ

テトラ「ギリシア語の原本はなくなったけれど、 アラビア語の翻訳が残っていた——という本があるのですね、きっと」

ユーリ「そーいえば、記録がギリギリ残ってた話、前にもあったよね。 直接の記録はないけど、たまたま誰かが書いてたとか、 書いてたけど、それを紛失しちゃったとか、 紛失前に要約してた人がいたけど、 原本はなくなっちゃったとか……スリリングな展開！」

僕「タレスの記録の話だね（第185回参照）」

テトラ「時代を越えて言葉を残すのは、難しいことなんですね」

ユーリ「またまた、めんどい話？」

僕「さっきの $x^2 + 10x = 39$ と $x^2 + bx = c$ は同じ形だけど、 別の図形を使った解法ということかな」

テトラ「でも $x^2$ の正方形と $bx$ の長方形を合わせて、全体が $x^2 + bx = c$ の長方形になるというのは、 それほど難しくはありませんね」

ユーリ「でも、急にユークリッド出てきちゃった！」

テトラ「こちらに解説がありますよ」

僕「これは……さすがに文章よりも数式で書かれた方がわかりやすいなあ。 特に《加えられた線分》や《もとの線分》のような言い方だとだんだん混乱してしまう」

ユーリ「《もとの線分の半分と加えられた線分とを合わせた線分上の正方形》って長いのが、 $(A+B)^2$ なんて極端に短くなるんだもんね」

テトラ「ああ、本当に——表現って、おもしろいと思いませんか！」

ユーリ「？」

テトラ「数式よりも図で表現した方がわかりやすいことが多いですけれど、 その図が何を表しているのかを説明するには言葉が必要になります。 でも長々と言葉を連ねていると読みにくくなるし、 その言葉が何を指しているのかわかりにくくなります。 数式を使うとあいまいさを減らして、短く書くことができます。 数式に慣れていれば、そちらの方がわかりやすくなる……うまく相手に《伝える》ためには、 適切な表現を選ぶことが必要になりますよね。 そして、表現もまた時代の流れで変化していきますし、 新しい表現の方法も生まれてきます」

ユーリ「動画とか？」

テトラ「数式と、言葉と、図形と……やっぱり《多様な方法》で表現するのは大切じゃないかと思いますっ！」

参考文献

• ジョーゼフ『非ヨーロッパ起源の数学』（講談社）
• カッツ『数学の歴史』（共立出版）
• 中村幸四郎＋寺阪英孝＋伊東俊太郎＋池田美恵（訳・解説）『ユークリッド原論［追補版］』（共立出版）
• Contributions to the History of Science: Part I. Robert of Chester's Latin Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi