第446回 シーズン45 エピソード6

アル＝フワーリズミー（後編） ただいま無料

方程式の分類

僕「うん、ここにさっき（第445回参照）ユーリが言ってた『負の数が使えないと何が大変か』が書かれている」

ユーリ「……？」

僕「係数に負の数やゼロを使えるなら、 $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ と一つの式で書けるのに、正の数しか使えないという制限があるから、 わざわざ $6$ パターンに分類しなくちゃいけなかったんだよ、きっと」

ユーリ「$6$ パターンに分類——あれっ、ちょっと待ってお兄ちゃん！　この分類、おかしいよ。抜けがある！」

僕「え？」

テトラ「ユーリちゃん？」

ユーリ「《ふわーりずみー》の分類ってこーじゃん？」

僕「なるほど。ぜんぶ移項してみたんだね。うん、確かにこうなる」

ユーリ「$x^2$ の係数は $a$ か $0$ か $-a$ で、 $x$ の係数は $b$ か $0$ か $-b$ で、 定数は $c$ か $0$ か $-c$ だから……あー、 もー、要するにこーゆーこと！」

テトラ「ユーリちゃんは、すべてのパターンを作ろうとしたんですね」

ユーリ「そだよん。だって、 $6$ 個のパターンってぜったい少ないもん。 $x^2$ の係数、 $x$ の係数、定数があって、 $0$ とプラスとマイナスがあるから……」

テトラ「$3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りあるはずですよね」

僕「すごいなあ……ユーリは鵜呑みにしないでちゃんと考えたんだね」

ユーリ「すごい？　すごい？」

僕「いや、すごいと思うよ。 ところで、どうしてアル＝フワーリズミーは $6$ 通りしか考えなかったんだろう？」

ユーリ「見落とし」

僕「違うと思うな。たとえば、 $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ に相当するパターンが出てこないのはなぜかというと、右辺の $0$ を表すことができなかったというのはあるけど、 $a,b,c,x$ がすべて正の数なら、最初からこれを満たす $x$ は存在しないことがわかっていたからじゃないのかなあ」

ユーリ「おー……にゃるほど。 $a,b,c,x$ がぜんぶプラスだったら、 $ax^2 + bx + c$ もプラスだってことかー」

テトラ「$c = 0$ や、 $bx + c = 0$ などもそうなりますね」

ユーリ「そっかー……わかりきってたからかー」

僕「本当のところはどうなのか、僕は知らないけどね」

ゼロの扱い

テトラ「こちらには、アル＝フワーリズミーの本について、また別のパネルがありますね」

僕「インド数字？　アラビア数字とはまた違うのかなあ」

ユーリ「お兄ちゃん、知らないの？　インドからアラビア世界を経由してヨーロッパに伝わったから アラビア数字って呼ばれてるんだよ」

僕「ああ、そういうことか！　ユーリ、よく知ってるなあ」

ユーリ「へへ。お兄ちゃんの後ろにあるパネルに書いてあった」

僕「アラビア世界ではインド数字って呼んでいる……なるほどね。おもしろい話だな」

ユーリ「あれ？　何だか変だよ。 《ふわーりずみー》は、算術書ではゼロも扱っているのに、 どーして、方程式では正の数しか扱わないんだろ？　おかしくね？」

僕「おお……言われてみれば確かに！」

テトラ「ユーリちゃんの疑問には、こっちのパネルが答えになりそうですよ」

ユーリ「ゼロの扱いが——」

僕「過渡的（かとてき）。変化している途中だったということだね」

ユーリ「変化してるって……ゼロはゼロじゃないの？」

僕「たとえば、 $1024$ という数の $0$ というのは百の位に数がないことを表している。 このパネルではそれを《空位を表す記号》と表現しているんだと思うよ。 そういう役割のゼロと、何かの量を表す数としてのゼロを同じものと見なすことがまだできていなかった。 そういうことなんじゃないかな」

テトラ「……そう考えると、不思議な気持ちになります」

ユーリ「テトラさん、何が不思議？」

テトラ「ゼロがインドで発見されるまでは、人類はゼロを知らなかった……と表現していいかどうかわかりませんけど。 ともかく人類は、少なくとも明確にはゼロのことを認識していなかったとします」

僕「……」

ユーリ「……」

テトラ「でも、発見されたからすぐに『ゼロとは何か』という問いにすべて答えられたわけではない……ともいえます。 ゼロという概念のすべてが理解されたわけでもないんですね。 《位取り記数法の空位を表す記号としてのゼロ》、《量を表す数としてのゼロ》……」

ユーリ「他にもあるかも！　《ものすごい何かを表すためのゼロ》」

テトラ「そうですよね。 そして、数学の歴史に残っている記録によって、 あたしたちがふだん当たり前だと思っていたゼロの多様な役割を改めて知ることができる——う、うまくいえませんが、 歴史は古くて不正確で未分化なものという考えは誤りかもしれないと思ったんです」

僕「うーん……」

テトラ「つまりですね……同一視されていない過渡的な状態を通して見せてくれる世界があるということです——や、 やっぱりうまく言えません」

言葉の流れ、数の流れ

テトラ「この流れはとても興味深いです。 人々の流れと、概念の流れと、言葉の流れ……あたしたちは、 ゼロというものを当たり前のように使ってますけれど、 世界中を旅してきた言葉なんですね……」

ユーリ「アラビア語って、右から左に書くの？！」

テトラ「そうですね。ネットで調べ物していて、アラビア語のページ にジャンプしてびっくりすることがあります」

アルゴリズム

僕「アルゴリズムという言葉の由来だね。アル＝フワーリズミーの名前から来てたんだ」

テトラ「『アル＝フワーリズミー曰（いわ）く』って、孔子の『論語』に出てくる『子（し）曰（いわ）く』みたいですね」

ユーリ「アルゴリズムって、プログラムのこと？」

テトラ「とても近いですね。 アルゴリズムの方は、どのような手順で計算や処理を行うかという手続きのことで、 プログラムの方は、それを実際にコンピュータで動くようにした具体的なものになります」

ユーリ「うーん……」

テトラ「ですから、 プログラムAとプログラムBがあって、 プログラムとしては二つは異なっているけれど、 どちらのプログラムも同じアルゴリズムを実装しているというのはよくあります」

ユーリ「じっそう？」

テトラ「実装というのは、 プログラミング言語という言葉を使って、 具体的なプログラムを作ることですね」

ユーリ「テトラさん、詳しーね！」

【ＣＭ】

リサ「ＣＭ開始。『乱択アルゴリズム』必読。ＣＭ終了（咳）」

二次方程式の解法

ユーリ「ややこしー！　方程式の解き方が言葉で書かれるってややこしーね！」

僕「そうだ！　この解法

• ジャズルの個数を半分にしたものをそれ自身に掛ける。
• それに数を加えて、正の平方根をとる。
• そこからジャズルの個数の半分を引く。
• それが求めるジャズルである。

ユーリ「これ、合ってるの？」

僕「合ってるね。だって $x^2 + bx - c = 0$ を解の公式に当てはめると、 $$ x = \frac{-b \pm \SQRT{b^2 + 4c}}{2} $$ になって、正の解ということで $\pm$ のうち $+$ だけにして、分母の $2$ をルートの中に入れると、 $$ x = -\frac{b}{2} + \SQRT{\frac{b^2 + 4c}{4}} = \SQRT{\left(\frac{b}2\right)^2 + c} - \frac{b}{2} $$ になる。 $b$ も $c$ も正だから、ルートの中身は必ず正になるし、解の $x$ も正になる」

テトラ「合ってるのはいいんですけど、言葉で書かれるよりも数式の方がわかりやすいですね」

ユーリ「さんせー！」

僕「そうだよね。数式という言葉は偉大だ。歴史の中で数学が整備されてきたおかげで、数学的な操作が楽になったんだね」

ユーリ「……プログラムも言葉で書かれるんだよね？」

テトラ「そうですね。プログラミング言語は人間がさまざまな計算をコンピュータにしてもらうために作った言葉です」

僕「そうか……『ジャズルの個数を半分にしたもの』みたいな日常の言葉で書かれたものが、 やがて $b/2$ のような数式という言葉で書かれるようになって、 現代ではコンピュータで計算するためにプログラミング言語という言葉で書かれるようになった」

テトラ「先輩、でもそれは少し違うと思います」

僕「え？　違うの？」

テトラ「時代が変化して、すべての言葉が入れ替わるわけじゃないですよね。 現代では《日常の言葉》《数式という言葉》《プログラミング言語という言葉》はすべて共存しています。 共存していて、用途に合わせて使い分けているように感じます。 多様な言葉があり、多様な表現方法がある——という感じがしませんか？」

僕「ああ、確かに。それはそうだね」

ユーリ「だったらさー、未来にはまた別の、 数学を表すための《ものすごい言葉》が出てくるかもね！」

テトラ「確かにそうですねっ！」

僕「そこには、どんな新しい用途があるんだろう……」

参考文献

• Knuth『The Art of Computer Programming Volume 1 Fundamental Algorithms Third Edition 日本語版』（KADOKAWA）
• Knuth『The Art of Computer Programming　Volume 2 Seminumerical Algorithms Third Edition 日本語版』（KADOKAWA）
• Contributions to the History of Science: Part I. Robert of Chester's Latin Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi
• カッツ『数学の歴史』（共立出版）
• ジョーゼフ『非ヨーロッパ起源の数学』（講談社）