第445回シーズン45 エピソード5

アル＝フワーリズミー（前編）

「数学ガールのお知らせメール」で週に一度の更新連絡をしています。ぜひ、ご登録ください。登録は無料です。

登場人物紹介

僕：数学が好きな高校生。

ユーリ：僕のいとこの中学生。僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。論理的な話は好きだが飽きっぽい。

テトラちゃん：僕の後輩。好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

ディオファントス再訪

テトラ「先輩！　ユーリちゃん！　いらしてたんですね」

僕「やっと会えた」

ユーリ「テトラさーん！」

僕とユーリは、双倉（ならびくら）図書館で開催されているイベント《いにしえの代数学》を巡っている。会場にはパネルがたくさんあり、解説や数学の問題が書かれている。

ちょうど、後輩のテトラちゃんと会場でばったり出会ったところ。

テトラ「先輩たちはどのコーナーを回ったんですか？」

ユーリ「ディオファントスのところと……ぶらふま何とか」

僕「ディオファントス（第441回参照）とブラフマグプタ（第443回参照）だね。問題を解いたり、いろいろ考えたりしてたから、かなりゆっくり回っているよ」

テトラ「あらら？　あたしもディオファントスのところで問題を解いてました！」

ユーリ「ねーねー！　テトラさんは、あの問題解けた？　あの解けない問題」

僕「どっちだよ」

テトラ「何のことでしょう」

ユーリ「ほらほら、成り立つ $x$ がないやつ！」

問題3（再掲、（第442回参照））

文字はすべて正の整数とする。 $a, b, c, d$ をうまく選ぶと ${\begin{cases} x^{2} & = a + b \\ x^{2} + a & = c^{2} \\ x^{2} + b & = d^{2} \end{cases}$ が成り立つような $x$ を求めよ。

（参考：ディオファントス『算術』第D巻問題11）

テトラ「はい。何とか証明できましたよ」

テトラちゃんは、ユーリと話すときにはずいぶん《お姉さんモード》の話し方になるみたいだなあ。

ユーリ「すげー！　テトラさんも、無限降下法使ったの？」

テトラ「そうですよ。余りを利用しました」

ユーリ「さっすがー！　それにしても、よく《 $3$ で割った余り》を使うなんて思いつくにゃあ（・・・）……」

テトラ「え？　《 $3$ で割った余り》……でしたっけ？」

ユーリ「ふにゃ？」

僕「僕とユーリは問題3を考えるときに、《 $3$ を法とした剰余》を使ったんだよ。計算している途中で、 $3 x^{2} = c^{2} + d^{2}$ という式が出てきたから、この $3$ を使って何かできないかなって思ったんだ。テトラちゃんは違うの？」

テトラ「あたしも同じ式 $3 x^{2} = c^{2} + d^{2}$ を使って、しかも剰余で考えたんですけど……でも、 $3$ じゃなくて $4$ を使いました。《 $4$ を法とした剰余》を使ったんです」

僕「へえ、 $4$ を使っても解けるんだ！」

ユーリ「解けないんだってば！」

僕「解けないことを証明したって言いたかったんだよ……」

僕とユーリはテトラちゃんが、 問題3を《 $4$ を法とする剰余》を使って考えた話を聞くことにした。

テトラ「ディオファントスさんは正の整数 $x$ を求めようとしていました」

僕「そうだね。文字はぜんぶ正の整数だった」

ユーリ「お兄ちゃん、黙っててよ。テトラさんの話を聞かなきゃ」

僕「ごめんごめん」

テトラ「正の整数に限らず、整数を考えるときには偶数・奇数の区別に注目するのが大事でした。偶数・奇数の区別というのは、もちろん、 $2$ で割ったときに余りが $0$ になるか、 $1$ になるかということです」

僕とユーリは黙って頷く。

そうそう。《偶奇を考える》のは大事だ。

テトラちゃんは自分が考えた道すじをていねいに話していく。

テトラ「ところで、問題3には $x^{2}$ が出ていたので、 $2^{2} = 4$ で割った余りを考えてみようと思いました。具体的にいうと、こういうことです」

$x = 1$ のとき、 $x^{2} = 1$ を $4$ で割った余りは $1$ です。
$x = 2$ のとき、 $x^{2} = 4$ を $4$ で割った余りは $0$ です。
$x = 3$ のとき、 $x^{2} = 9$ を $4$ で割った余りは $1$ です。
$x = 4$ のとき、 $x^{2} = 16$ を $4$ で割った余りは $0$ です。
$x = 5$ のとき、 $x^{2} = 25$ を $4$ で割った余りは $1$ です。
$x = 6$ のとき、 $x^{2} = 36$ を $4$ で割った余りは $0$ です。

ユーリ「……」

テトラ「整数を $4$ で割った余りは $0, 1, 2, 3$ の $4$ 通りどれかになるんですけど、整数を二乗した平方数にすると話が変わります。 平方数を $4$ で割った余りは $0$ と $1$ のどちらかにしかなりません」

ユーリ「へー！　それって、テトラさんが発見したの？！」

テトラ「いえいえ。以前に《 $4$ で割った剰余》を調べたことがあって、それを思い出した——というのが正確です」

【ＣＭ】

ノナ「詳しくはフェルマーの最終定理を読んで……お読みください $.. o O$ 」

僕「平方数を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ にしかならない。そのことは証明もできるよね」

テトラ「はい。あたしも証明しました。どんな整数 $x$ でも、整数 $n$ を使って——

{\begin{aligned} x & = 4 n + 0 \\ x & = 4 n + 1 \\ x & = 4 n + 2 \\ x & = 4 n + 3 \end{aligned}

——のどれかで表せます。そして、それぞれの場合について平方数

x^{2}

を作ってみます」

【 $x = 4 n + 0$ の場合】 $\begin{aligned} x^{2} & = (4 n + 0)^{2} \\ = 16 n^{2} \\ = 4 (4 n^{2}) + 0 \end{aligned}$ なので、 $4$ で割った余りは $0$ です。

【 $x = 4 n + 1$ の場合】 $\begin{aligned} x^{2} & = (4 n + 1)^{2} \\ = 16 n^{2} + 8 n + 1 \\ = 4 (4 n^{2} + 2 n) + 1 \end{aligned}$ なので、 $4$ で割った余りは $1$ です。

【 $x = 4 n + 2$ の場合】 $\begin{aligned} x^{2} & = (4 n + 2)^{2} \\ = 16 n^{2} + 16 n + 4 \\ = 4 (4 n^{2} + 4 n + 1) + 0 \end{aligned}$ なので、 $4$ で割った余りは $0$ です。

【 $x = 4 n + 3$ の場合】 $\begin{aligned} x^{2} & = (4 n + 3)^{2} \\ = 16 n^{2} + 24 n + 9 \\ = 4 (4 n^{2} + 6 n + 2) + 1 \end{aligned}$ なので、 $4$ で割った余りは $1$ です。

ユーリ「にゃるほど」

テトラ「ですから、平方数を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ です。そこで、問題3から得られる $3 x^{2} = c^{2} + d^{2}$ を見ますと、これは $3 \times 平方数 = 平方数 + 平方数$ という形になっていることがわかります」

ユーリ「待って待って！　テトラさん、そっから先、ユーリも考えたい！」

テトラ「いいですよ。待ってますね」

《お姉さんモード》のテトラちゃんがにっこりした。

ユーリはここまでの話から、 $c, d$ が正の整数のとき、 $3 x^{2} = c^{2} + d^{2}$ を満たす正の整数 $x$ は存在しないことの証明にすぐ手が届くことに気付いたんだな。

ユーリ「……たぶん、できた！」

僕「どんな感じ？」

ユーリ「こんな感じ」

ユーリの説明

さっき、テトラさんは《平方数を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ 》って話をしてた。

だから、

$3 x^{2}$ を $4$ で割った余りは、 $3$ 倍するから《 $0$ または $3$ になる》。
$c^{2} + d^{2}$ を $4$ で割った余りは、二つ足すから《 $0$ または $1$ または $2$ になる》。

0 + 0

0 + 1

1 + 0

1 + 1

てことは、 $3 x^{2} = c^{2} + d^{2}$ になるなら、 $3 x^{2}$ と $c^{2} + d^{2}$ は両方とも、 $4$ で割った余りが《 $0$ になる》はず！　つまり、両方とも $4$ の倍数になる！　

ついでに、 $c^{2}$ と $d^{2}$ も $4$ の倍数になる。だって、 $0 + 0$ のはずだから。

あ・と・は、無限降下法！

テトラ「ユーリちゃん、すごいですねえ！」

ユーリ「へへ」

僕「すごいすごい……あ、でも、無限降下法に行くにはもう少し補足があった方がいいよね」

ユーリ「えー！　そーお？」

僕「 $3 x^{2} = c^{2} + d^{2}$ を満たす $(x, c, d)$ から、 $3 x_{1}^{2} = c_{1}^{2} + d_{1}^{2}$ を満たす $(x_{1}, c_{1}, d_{1})$ を作るところまで行きたいなあ」

僕の補足

$3 x^{2}$ と、 $c^{2}$ と、 $d^{2}$ がぜんぶ $4$ の倍数になる——という続きだよ。

$3 x^{2}$ が $4$ の倍数で、 $3$ と $4$ は互いに素だから $x^{2}$ は $4$ の倍数になる。このとき $x$ は $2$ の倍数になる。 $x$ は正の整数だから、 $x = 2 x_{1}$ という正の整数 $x_{1}$ が存在して、 $x_{1} < x$ を満たす。

同じように考えて、 $c^{2}$ と $d^{2}$ が $4$ の倍数だから、 $c = 2 c_{1}, d = 2 d_{1}$ という正の整数 $c_{1}, d_{1}$ が存在する。

したがって、 $3 x^{2} = c^{2} + d^{2}$ から $3 (2 x_{1})^{2} = (2 c_{1})^{2} + (2 d_{1})^{2}$ が成り立つ。両辺を $4$ で割ると $3 x_{1}^{2} = c_{1}^{2} + d_{1}^{2}$ になる。

同じ議論を繰り返して、 $(x, c, d) \to (x_{1}, c_{1}, d_{1}) \to (x_{2}, c_{2}, d_{2}) \to \dots$ と続けていくことができる。このとき $x > x_{1} > x_{2} > \dots$ になるが、これは $x, x_{1}, x_{2}, \dots$ が正の整数であることに反する。したがって、問題2を満たす $x$ は存在しない。

ユーリ「あっ、そんなことユーリもわかってたもん！」

僕「ユーリがわかってたことは僕もわかってたよ。だから念のための補足」

ユーリ「むー……」

テトラ「あっちのコーナーに行きませんか？　あたしは一通り回ったんですが、あっちのコーナーにはアルゴリズムという言葉のもとになった数学者のコーナーがありましたよ」

ユーリ「あるごりずむ？」

テトラ「アル＝フワーリズミーさんですね」

ギリシアのディオファントス（第441回参照）、インドのブラフマグプタ（第443回参照）、そこから僕たち三人は《いにしえの代数学》の新たなコーナーへ向かった。

アル＝フワーリズミー

フワーリズム（ホラズム）地方（図中のChoresmienの部分）

Image by Lencer, licensed under CC BY-SA 3.0,
based on Relief Map of Middle East.jpg by User: Виктор and
Khorasan-Mawaralnahr-Khwarizm.jpg by User: Phoenix2,
via Wikimedia Commons

アル＝フワーリズミー

アル＝フワーリズミーは9世紀のイスラム世界の数学者で、数学・天文学・地理学に業績を残した。彼は『アル＝ジャブルとアル＝ムカーバラの書』や『インド数字による計算法』という数学書を書いた。名前の「アル＝フワーリズミー」は現代のアルゴリズムという言葉のもとになった。もともとは「フワーリズム（ホラズム）出身」という意味である。

ユーリ「ある・いこーる・ふわーりずみー」

テトラ「途中のイコール（＝）はイコールと読むわけじゃなくて、区切り文字ですね」

ユーリ「ある・ふわーりずみー」

テトラ「アラビア語で《アル》というのは英語の《the》に相当する定冠詞だそうです。ですから、アラビア語に由来する言葉はよく『アル』で始まりますよ」

無料で「試し読み」できるのはここまでです。この続きをお読みになるには「読み放題プラン」へのご参加が必要です。

ひと月500円で「読み放題プラン」へご参加いただきますと、 447本すべての記事が読み放題になりますので、ぜひ、ご参加ください。

読み放題プランへのご参加について

参加済みの方／すぐに参加したい方はこちら

結城浩のメンバーシップで参加結城浩のpixivFANBOXで参加

（2025年3月21日）

記事の一覧

第445回 シーズン45 エピソード5 アル＝フワーリズミー（前編）

ディオファントス再訪

アル＝フワーリズミー

結城浩（ゆうき・ひろし） @hyuki

第445回シーズン45 エピソード5

アル＝フワーリズミー（前編）