第442回 シーズン45 エピソード2

ディオファントス（後編）

双倉図書館にて

問題1:平方数の差の問題

ユーリ「ふーん……じゃっ、次のパネル行こう！」

僕「ちゃんとパネル読んだ？」

ユーリ「ディオファントス方程式・未知数多い・整数・有理数」

僕「キーワードだけ並べられてもねえ」

ユーリ「具体的な問題を早く解きたいの！」

僕「なるほど」

ユーリ「何がなるほど？」

僕「この問題1は、さっきの《ディオファントス方程式》の説明通りだと思ったんだよ」

ユーリ「？」

僕「ほら、この $x^2 - y^2 = 60$ という方程式 $1$ 個に対して、未知数が $x$ と $y$ の $2$ 個がある。 方程式の個数よりも未知数の個数が多い問題になってるよね」

ユーリ「あれ？　じゃ、答えわかんないじゃん」

僕「$x^2 - y^2 = 60$ が与えられて解こうとしても、これを満たす $(x,y)$ の組が無数にあるかもしれない。 でも、問題1には正（せい）の整数という条件がある。 $x$ は $y$ はどちらも正の整数、つまり $$ 1,2,3,\ldots $$ のどれかだということ。 この条件があれば解ける——場合がある……かもしれない」

ユーリ「うーわ、不思議！　なんでじゃ」

僕「ユーリだったら、この $x^2 - y^2 = 60$ を満たす正の整数 $x,y$ を求めよと言われたらどうする？」

ユーリ「えーとね……あれ？　ユーリ、わかっちゃったかも？」

僕「いきなりかい」

ユーリ「$x = 8$ と $y = 2$ としてみたら、 $$ x^2 - y^2 = 8^2 - 2^2 = 64 - 4 = 60 $$ になった。これでオッケーじゃん！」

僕「うん、計算は正しいね。どうやって求めたの？」

ユーリ「試した」

僕「いやいや、それはそうだろうけど、何も考えずに試したわけじゃないよね」

ユーリ「こんな感じ」

• $x^2 - y^2 = 60$ だから、 $x > y$ だな……
• $x$ と $y$ は正の整数だから、 $x^2 > 60$ だな……
• $x^2$ は、 $60$ より大きな平方数（へいほうすう）か……
• たとえば『はっぱろくじゅーよん』$8 \times 8 = 64$ があるな…………
• $64 - y^2 = 60$ なのか……
• $y^2 = 4$ になるのは『ににんがし』$2 \times 2 = 4$ だな……
• これでいーじゃん！

僕「なるほどね。 $60$ より大きい平方数として $64$ を見つけて、 $60$ を引いてみたら残りの $4$ も平方数だった」

ユーリ「そーゆーこと！」

僕「$(x,y) = (8,2)$ は確かに求める組になっているけど、他には？」

ユーリ「$(x,y) = (8,2)$ の他にも $x^2 - y^2 = 60$ を満たすのがあるの？！」

僕「僕の方が聞いてるんだよ。 $60$ より大きい平方数の $64$ は『たとえば』として試しただけ。 $60$ より大きい平方数は他にもあるよね」

ユーリ「無理無理無理無理！　だって $9^2 = 81$ とか $10^2 = 100$ とか、 $11^2 = 121$ とか、無数にあるから、 ぜんぶ試すの無理無理！」

僕「でも少し試してみるのも悪くない。 たとえば $x = 9$ とすると、 $y^2 = 9^2 - 60 = 81 - 60 = 21$ になる」

ユーリ「でも、 $21$ は平方数じゃない」

僕「たとえば $x = 10$ とすると、 $y^2 = 10^2 - 60 = 100 - 60 = 40$ になる」

ユーリ「でも、 $40$ は平方数じゃない」

僕「たとえば $x = 11$ とすると、 $y^2 = 11^2 - 60 = 121 - 60 = 61$ になる」

ユーリ「でも、 $61$ は平方数じゃない」

僕「たとえば $x = 12$ とすると、 $y^2 = 12^2 - 60 = 144 - 60 = 84$ になる」

ユーリ「でも、 $84$ は平方数じゃないんだって！！」

僕「そうだねえ。 正の整数だから順番に試すことはできる。 でも、 $x^2 - y^2 = 60$ では《差》を考えているから、 $x$ と $y$ の両方を大きくしていくことができてしまい、どこまでいっても終わらない」

ユーリ「さっきからそー言ってんじゃん。無数にあるから無理だって」

僕「《差》を考える代わりに《積》を考えるようにしたら終わりを作れそうだよ」

ユーリ「《積》を考える？」

僕「因数分解するんだ。 $$ x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) $$ にできるから、問題1で与えられた式は、 $$ (x + y)(x - y) = 60 $$ と書き直せる。そして——」

ユーリ「右辺の $60$ も《積》にする！　なーるほど！」

僕「そこまでだね。 $60$ の約数は $$ 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 $$ だけだから、試す $(x,y)$ の組は無数じゃない。 たったの $6$ 個になった」

ユーリ「めちゃくちゃ減った」

僕「$x + y$ と $x - y$ がそれぞれわかれば、 $x$ と $y$ も求められる。 $$ x = \frac{(x + y) + (x - y)}{2} \quad \textrm{と} \quad y = \frac{(x + y) - (x - y)}{2} $$ と計算すればいいから。 ただし、 $x,y$ がどちらも正の整数になってることの《確認》が必要になる」

ユーリ「出た！　 $(x,y) = (16,14)$ と $(x,y) = (8,2)$ の $2$ 組あるんだね」

僕「$(16,14)$ は $16^2 - 14^2 = 256 - 196 = 60$ で確かに $60$ になる。 $(8,2)$ の方はさっきユーリが見つけてくれた。 これですべての組が見つかった。この他には、 $x^2 - y^2 = 60$ を満たす正の整数 $x$ と $y$ の組は存在しない！」

問題2:「僕」による問題1の一般化

ユーリ「そんじゃ、次のパネルに行こー！」

僕「……」

ユーリ「早く行こーよー！」

僕「ちょっと待って。いまの問題1、もっと一般化できそうだ」

ユーリ「ほよ？」

僕「問題1は $x^2 - y^2 = 60$ を満たす正の整数 $x,y$ の組を求めたけど、 ここに $60$ という数が出てきているよね。 《文字の導入による一般化》をやってみると、 こんな問題ができるよ」

ユーリ「なーるほど？ $60$ を $n$ に変えたってことだね。 でも、方法は同じじゃないの？　 $n = ab$ みたいに因数分解して、 $$ (x + y)(x - y) = ab $$ になるような $a$ と $b$ を探せばすぐ見つかるじゃん。 $n = ab$ になる正の整数の組み合わせは有限個だもん」

僕「まったくその通り。 $a = x + y$ と $b = x - y$ がわかれば、 $$ x = \frac{a+b}{2} \qquad \textrm{と} \qquad y = \frac{a-b}{2} $$ のように計算すれば、 $x$ と $y$ の組がわかる」

ユーリ「じゃっ、次のパネル……」

僕「わかるんだけど、もうちょっと《おもしろいこと》がいえないかと思うんだよ」

ユーリ「出たな《数式マニア》。何が《おもしろいこと》なの？」

僕「それを探してるんだ。あのね、さっきの問題1で、 $x$ と $y$ がどちらも正の整数になるかの《確認》をした。そこが引っかかってる」

ユーリ「へー」

僕「いま話した通り、 $(x + y)(x - y) = n = ab$ としたとき、 $$ x = \frac{a+b}{2} \qquad \textrm{と} \qquad y = \frac{a-b}{2} $$ だから、 $x$ と $y$ が正の整数になるためには、

• $a + b$ は偶数
• $a - b$ は偶数

ユーリ「そだね。 $2$ で割り切れないといけないから」

僕「$a,b$ が正の整数で、 $a + b$ が偶数ということは《$a$ と $b$ の偶奇（ぐうき）が一致する》ことになる」

ユーリ「ぐーき？」

僕「偶奇というのは《偶数か奇数か》ということ。 $a$ と $b$ の偶奇が一致するというのは、

• $a$ と $b$ の両方が偶数である（たとえば、 $a = 8$ で $b = 2$ のように）
• $a$ と $b$ の両方が奇数である（たとえば、 $a = 9$ で $b = 3$ のように）

ユーリ「……」

僕「わからない？」

ユーリ「《$a + b$ が偶数なら $a$ と $b$ の偶奇は一致する》って話を考えてんの！！ ……そっか、わかった、わかった。ちゃんと考えればすぐわかるね」

僕「そうそう。そして $a$ と $b$ の偶奇が一致していたら、 $a - b$ も偶数になる」

ユーリ「ふんふん」

僕「で、話を戻すと、 $$ x = \frac{a+b}{2} \qquad \textrm{と} \qquad y = \frac{a-b}{2} $$ で $x$ と $y$ が正の整数になるということは、 $a+b$ と $a-b$ はどちらも偶数だから、 $a$ と $b$ の偶奇が一致するように $n = ab$ の因数分解をするのがいいってことだね」

ユーリ「さっきは $60 = ab$ となる $a,b$ を全部考えて計算したけど、無駄だったってこと？」

僕「無駄ともいえるけど、 具体的に考えたから一般化も考えやすかったといえるよ。 だから無駄でもない」

ユーリ「オッケー！　んじゃ、次のパネルに……」

僕「待って待って。まだ考えたいことがある。問題2で、 $x^2 - y^2 = n$ を考えるとき、 $(x + y)(x - y) = ab$ と因数分解するとして《$a$ と $b$ の偶奇は一致する》ことがわかった」

ユーリ「それいま話したやつ」

僕「それでだ。《$a$ と $b$ の偶奇は一致する》としたら、 $n = ab$ で $n$ の偶奇はどうなるかなと思ったんだ」