第440回 シーズン44 エピソード10

《九点平面》の世界（後編） ただいま無料

《九点平面》における平行

僕「この四辺形 $\TT{OAPB}$ は《いわゆる平行四辺形》には見えない。 $\TT{OA}$ と $\TT{PB}$ は平行に見えるけど、 $\TT{AP}$ と $\TT{OB}$ は平行に見えない。 でも《九点平面》での平行をベクトルで定義すればどうだろうか。 つまり、 $$ \vAP = k\vOB $$ という $k$ が存在すれば《九点平面》で $\TT{AP}$ と $\TT{OB}$ は平行と考えるということ」

テトラ「おもしろいですっ！　見た目では $\vAP$ と $\vOB$ はまったく平行じゃありません。 でも、 $\vAP = k\vOB$ を満たす $k$ が存在すれば $\vAP$ と $\vOB$ が平行——」

僕「そうだね。 それは、ベクトルを使ってこの《九点平面》における《いわば平行》を定義していることになる。 見た目ではなくて、数式を頼りにする」

テトラ「この問題1は、機械的に成分を計算してみればいいはずですよね？　では、やってみます」

僕「ちょっと待って。最後のところ、どうして《$k$ が存在しない》って思ったの？」

テトラ「だってそうですよね。 $$ \begin{cases} -2 &= k \\ 2 &= 2k \end{cases} $$ の両方を満たす $k$ は存在しません」

僕「$k$ が実数だったらそうだね。 でもいま僕たちは《九点平面》の世界にいる。 つまり、ここの $k$ は、 $k = 0,1,2$ のどれかになる。 成分の和もスカラー倍も、すべての計算は $3$ で割った余りで考えるんだよ！」

テトラ「あっ、そうでしたっ！　この演算表を使うんでしたね。 でも、 $k = -2$ としたら、すでに $k$ は $0,1,2$ のどれでもありませんよね？」

僕「いやいや。《九点平面》の世界では $-2 = 1$ だよ。 だって、 $-2$ と $1$ はどちらも $3$ で割ったときに余りが $1$ になるから。 つまり、 $$ -2 \equiv 1 \pmod{3} $$ ということ」

テトラ「ああ、そうでした。 $3$ 個進めばぐるっと回るんでしたね。トーラスです（第439回参照）。 ……ということは、 $k = -2$ は《九点平面》では $k = 1$ と同じこと。 だとしたら $k = 1$ なら、二つ目の式 $2 = 2k$ も満たします！」

僕「うん。 だから、 $k = 1$ のとき、 $$ \vAP = k\vOB $$ が成り立つ。つまり、 ベクトルを使って平行を定義したとき、 $\TT{AP}$ と $\TT{OB}$ は平行だといえる」

テトラ「ということはですよ、 四辺形 $\TT{OAPB}$ は《九点平面》の世界における《平行四辺形》といえますね！」

僕「そうだね！」

ミルカ「今日は、どんな数学？」

僕「あ、ミルカさん」

テトラ「いまは、ベクトルで《九点平面》というものを考えているところです」

ミルカ「ふうん……ところで、村木先生からテトラへの伝言がある」

テトラ「伝言？　あたしに？」

ミルカ「テトラに《カード》を渡すとき、直線とは何かと言い忘れたそうだ」

テトラ「直線とは何か……哲学的ですね」

ミルカ「哲学じゃない。数学だ」

テトラ「直線というのは、こう……何と言いますか。まっすぐな線で——」

僕「なるほど！！」

テトラ「きゃあ！」

僕「《いわば直線》も作れるよ！　《いわば平行四辺形》や《いわば平行》だけじゃない！　 さっきは、 $\TT{AP}$ と $\TT{OB}$ が平行であることをベクトルを使って定義した。 それと同じように、この《九点平面》における直線もベクトルを使って定義できるね！！」

テトラ「直線を——定義する？」

ミルカ「ふうん……直線のパラメータ表示？」

僕「そうそう！」

直線のパラメータ表示

テトラ「はあ……」

僕「通常の平面ベクトルや空間ベクトルの場合は、パラメータ $t$ は実数全体を動くんだよ。 だから、 $\vOA + t\vAP$ という式は、 《点 $\TT{O}$ から点 $\TT{A}$ に進み、 そこからさらにベクトル $\vAP$ の向きに $\vAP$ の長さの $t$ 倍だけ進んでたどり着く点》 を表している」

テトラ「なるほど、確かにそれは直線です……それで？」

僕「それでね、僕たちの《九点平面》においても、 この《直線のパラメータ表示》を使って直線というものを考えられるんだ。 《九点平面》にはベクトルがある。ベクトルの和もスカラー倍もある。 だから、まったく同じ定義で《いわば直線》が定義できる！」

ミルカ「《いわば直線》というか、直線そのものだな」

テトラ「あの……でも、さきほどからすでに四点 $\TT{O},\TT{A},\TT{P},\TT{B}$ を直線で結んでいましたよね。 わざわざ定義する意味がよくわかっていないようです……すみません」

僕「うん、それはそうなんだけど、ここで使っていた直線は補助的なものに過ぎないよ。 僕たちの《九点平面》にはたった九個の点しかない（・・・・・・・・・・・）と考えるなら、 点と点を結ぶ途中には何もないんだから」

テトラ「ははあ……少しわかりました。 つまり、四辺形 $\TT{OAPB}$ は、 四辺形と呼んではいるけれど、 《九点平面》では、単に四点 $\TT{O},\TT{A},\TT{P},\TT{B}$ に過ぎない、ということでしょうか」

僕「そうだね。 《九点平面》の世界では、四辺形 $\TT{OAPB}$ に《辺》というものはなくて、 $$ \TT{O},\TT{A},\TT{P},\TT{B} $$ という四つの点の集合でしかないといえるね。 つまり、 $$ \SET{\TT{O},\TT{A},\TT{P},\TT{B}} $$ という集合が四辺形 $\TT{OAPB}$ なんだよ」

ミルカ「それは違うな」

僕「え、どうして？」

ミルカ「《九点平面》でも《辺》はある。 四辺形 $\TT{OAPB}$ は、 $$ \TT{O},\TT{A},\TT{P},\TT{B} $$ という《頂点》を持ち、 $$ \SET{\TT{O},\TT{A}}\COMMA \SET{\TT{A},\TT{P}}\COMMA \SET{\TT{P},\TT{B}}\COMMA \SET{\TT{B},\TT{O}} $$ という四つの《辺》を持つと考えるべきだろう。 《頂点》だけで四辺形が決まるなら、 四辺形 $\TT{OAPB}$ と四辺形 $\TT{OABP}$ を区別できなくなる」

僕「ああ、確かにそうだね」

ミルカ「もちろん、《九点平面》にどんな概念を構築するのも自由だから、 区別できないとしても構わない。だが《四辺形》と呼ぶからには《辺》という概念もほしくなる」

僕「うーん……なるほどねえ、それは《四辺形》や《辺》という名前を与える妥当性に関わる話だね。 数学というより国語かな」

《九点平面》における直線上の点

テトラ「ちょっと整理させてください」

• あたしたちは九個の点からなる《九点平面》というものを考えています。
• 計算はすべて $3$ で割った余りで行う《時計演算》を使います。
• そして《九点平面》でのベクトルを使って、いろんな数学的概念を《九点平面》に持ち込んでいます。

僕「そうだね。《平行四辺形》《平行》《直線》《四辺形》……」

テトラ「思うんですけど、 点 $\TT{A}$ と点 $\TT{P}$ の途中にある点 $\PT M11$ は《直線 $\TT{AP}$ 上の点》といえますよね？」

ミルカ「いえる」

僕「いえるね。見た目ではもちろんいえるけど、 ベクトルで考えてもいえるかな……うん、いえるね。 《点 $\PT M11$ が直線 $\TT{AP}$ 上の点にある》というのは、 $$ \vOM = \vOA + t\vAP $$ を満たす $t$ が存在することからいえる。 成分で考えると、 $$ \VECV11 = \VECV20 + t\VECV{-2}{2} = \VECV{2-2t}{2t} $$ だから、 $$ \begin{cases} 1 &= 2 - 2t \\ 1 &= 2t \end{cases} $$ を満たす $t$ が存在すればいい。 $t = 2$ にすれば満たすことがわかる」

ミルカ「点 $\TT{M}$ は線分 $\TT{AP}$ の《中点》ともいえるな。 なぜなら、 $$ \vOM = \frac{\vOA + \vOP}{2} $$ が成り立つから」

テトラ「割り算？　《九点平面》で割り算ってどうするんですか？」

ミルカ「たとえば《$\frac12$》ならば《$2$ に掛けると $1$ になる数》と考えればいい。それが《$2$ の逆数》だ」

テトラ「ははあ……ということは、 $2$ の逆数は $2$ で、 $1$ の逆数は $1$ になるわけですね」

僕「三点 $\TT{A},\TT{M},\TT{P}$ は一直線上にあることがわかったね」

テトラ「はい。これは見た目と一致しますね」

ミルカ「見た目と違う場合も考えよう。点 $\TT{C}$ は直線 $\TT{OB}$ 上にあるか」

テトラ「ああ、なるほど。点 $\TT{C}$ は直線 $\TT{OB}$ 上にあるといえますね！」

僕「おお、早い！」

テトラ「だってそうですよ。点 $\TT{C}$ から上にトン・トン・トンと三歩のぼるんです。 そこにある点 $\TT{C'}$ は点 $\TT{C}$ のいわば《影武者》です。 トーラスとして考えれば同一視できますから、直線 $\TT{OB}$ 上にありますっ！」

僕「《影武者》は本人とは違うよね」

ミルカ「《影武者》を本人と同一視するのはまずいだろう」

テトラ「かっ、《影武者》はたとえ（・・・）ですようっ！」

僕「ごめんごめん。ベクトルでもちゃんと確かめられるね。 《点 $\PT C21$ が直線 $\TT{OB}$ 上の点にある》というのは、 $$ \vOC = \vOO + t\vOB $$ つまり $$ \vOC = t\vOB $$ を満たす $t$ が存在するということ。だから、 $$ \VECV21 = t\VECV12 $$ を満たす $t$ が存在すればいい。 $t = 2$ でOKだね」

テトラ「はい。直線 $\TT{OB}$ 上の点は $$ t\vOB $$ で表せますから、

• $t = 0$ のとき、点 $\PT O00$
• $t = 1$ のとき、点 $\PT B21$
• $t = 2$ のとき、点 $\PT C12$

平行と直線

テトラ「《九点平面》で、三点 $\TT{O},\TT{B},\TT{C}$ は一直線上にありますが、 こんなふうに平行線が走っていると思うことができそうです」

僕「なるほどね。だったら、こんな平行線でもいいよね」

ミルカ「ふうむ。座標平面で考えると、テトラが描いた平行線の傾きは $2$ で、 君が描いた平行線の傾きは $\tfrac12$ といえる。 そして《九点平面》では $2$ と $\tfrac12$ は同一視できる。つじつまが合っていて楽しいな」

僕「おお！」

テトラ「ほんとうですね！」

《九点平面》における直線

ミルカ「さっきテトラは、三点 $\TT{O},\TT{B},\TT{C}$ は一直線上にあると言っていた」

テトラ「はい。《九点平面》で考えると、そうですよね」

僕「ベクトルで確かめたよ」

ミルカ「もちろんまちがいではない。私は $$ \SET{\TT{O},\TT{B},\TT{C}} $$ という三点からなる集合が《九点平面》の直線だと言いたいだけだ」

僕「うん。僕もそう思う」

テトラ「はい……それはあたしもわかっていると思います。 この世界には九個の点しかないわけですから」

ミルカ「《九点平面》の直線の数は有限だな」

僕「確かに……」

テトラ「直線の数が有限の世界って、楽しいですね。ミニチュアの世界みたいです。 《九点平面》の直線の数って、全部でいくつあるんでしょう……数えてみますっ！」

僕「できた。意外と簡単だったなあ」

テトラ「あたしもできましたっ！　意外と簡単ですね」

ミルカ「それで？」

僕「《九点平面》の直線は全部で $9$ 本あったよ。 $9$ 本と呼ぶべきか、 $9$ 個と呼ぶべきかわからないけど」

ミルカ「ふうん……」

テトラ「違います。先輩、三つ足りませんよ？」

僕「え？」

テトラ「先輩は、垂直線を忘れてます！」

僕「ああ……本当だ！」

僕「僕は、三点のうち、二点決めればもう一点が決まると考えたんだよ。

• 点 $(0,y)$ の $y$ は $0,1,2$ の $3$ 通りあり、
• そのそれぞれに対して、点 $(1,y)$ の $y$ は $0,1,2$ の $3$ 通りあり、
• そこまで決まれば点 $(2,y)$ の $y$ は決まる。

テトラ「いえいえ」

ミルカ「テトラのおかげで《九点平面》に存在する $12$ の直線すべてがわかった。 これを眺めるのも楽しいな」

テトラ「何か、特別な鑑賞ポイントがあるんでしょうか？」

ミルカ「たとえば、異なる二直線をピックアップすれば、 《平行ではない二直線は一点で交わる》ということが見てとれる。 もちろん証明もできるわけだが、見るのは楽しい」

僕「なるほど、確かにね！」

テトラ「《九点平面》の中に、ミニチュアの幾何学があるんですねえ……」

《十六点平面》？

テトラ「ふと思ったんですけれど、 《九点平面》は $3\times3=9$ 個の点からできていて、 $3$ で割った余りで計算をしていますよね。 これを $4\times4 = 16$ 個の点に拡張して、 $4$ で割った余りにすると《十六点平面》ができますよね」

ミルカ「《十六点平面》にすると、《九点平面》とはまったく違う世界が生まれそうだな」

僕「せっかくのミニチュア感が薄れるからだね」

ミルカ「そういう理由ではない。《$3$ は素数だが、 $4$ は素数ではない》からだ」

テトラ「素数？　ベクトルに素数が関係するんですか？」

瑞谷先生「下校時間です」