[logo] Web連載「数学ガールの秘密ノート」
Share

第434回 シーズン44 エピソード4
ベクトルを使う意味(後編)

$ \newcommand{\TEXT}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\REMTEXT}[1]{\textbf{#1}} \definecolor{CUD-GREEN}{rgb}{0.012,0.686,0.478}% 3,175,122 \newcommand{\MARK}[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand{\MARKA}[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand{\MARKB}[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand{\MARKC}[1]{\textcolor{CUD-GREEN}{#1}} \newcommand{\GEQ}{\geqq} \newcommand{\LEQ}{\leqq} \newcommand{\NEQ}{\neq} \newcommand{\FOCUS}[1]{\fbox{ $#1$ }} \newcommand{\REDFOCUS}[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand{\GREENFOCUS}[1]{\textcolor{CUD-GREEN}{#1}} \newcommand{\BLUEFOCUS}[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand{\BROWNFOCUS}[1]{\textcolor{brown}{#1}} \newcommand{\REDHEART}{\REDFOCUS{\heartsuit}} \newcommand{\REDTEXT}[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand{\GREENTEXT}[1]{\textcolor{CUD-GREEN}{#1}} \newcommand{\BLUETEXT}[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand{\ABS}[1]{|#1|} \newcommand{\PHANTOMEQ}{\phantom{{}={}}} \newcommand{\SQRT}[1]{\sqrt{#1}} \newcommand{\PS}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\SGN}{\textrm{sgn}} \newcommand{\DOTNAME}[1]{\quad\cdots(#1)} \newcommand{\BAR}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\TRIANGLE}{\triangle} \newcommand{\TT}[1]{\textrm{#1}} \newcommand{\TTred}[1]{\textcolor{red}{\textrm{#1}}} \newcommand{\TTblue}[1]{\textcolor{blue}{\textrm{#1}}} \newcommand{\ANGLE}[1]{\angle\textrm{#1}} \newcommand{\TRI}[1]{\triangle\textrm{#1}} \newcommand{\AP}{\TT{AP}} \newcommand{\PB}{\TT{PB}} \newcommand{\BQ}{\TT{BQ}} \newcommand{\QC}{\TT{QC}} \newcommand{\CR}{\TT{CR}} \newcommand{\RA}{\TT{RA}} \newcommand{\AA}{\TT{AA}} \newcommand{\AB}{\TT{AB}} \newcommand{\AC}{\TT{AC}} \newcommand{\AP}{\TT{AP}} \newcommand{\AQ}{\TT{AQ}} \newcommand{\AR}{\TT{AR}} \newcommand{\PQ}{\TT{PQ}} \newcommand{\QR}{\TT{QR}} \newcommand{\BC}{\TT{BC}} \newcommand{\CA}{\TT{CA}} \newcommand{\LONGVEC}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vAP}{\LONGVEC{\AP}} \newcommand{\vPB}{\LONGVEC{\PB}} \newcommand{\vBQ}{\LONGVEC{\BQ}} \newcommand{\vQC}{\LONGVEC{\QC}} \newcommand{\vCR}{\LONGVEC{\CR}} \newcommand{\vRA}{\LONGVEC{\RA}} \newcommand{\vAA}{\LONGVEC{\AA}} \newcommand{\vAB}{\LONGVEC{\AB}} \newcommand{\vBC}{\LONGVEC{\BC}} \newcommand{\vAC}{\LONGVEC{\AC}} \newcommand{\vAP}{\LONGVEC{\AP}} \newcommand{\vAQ}{\LONGVEC{\AQ}} \newcommand{\vAR}{\LONGVEC{\AR}} \newcommand{\vPQ}{\LONGVEC{\PQ}} \newcommand{\vQR}{\LONGVEC{\QR}} \newcommand{\avAP}{\ABS{\vAP}} \newcommand{\avPB}{\ABS{\vPB}} \newcommand{\avBQ}{\ABS{\vBQ}} \newcommand{\avQC}{\ABS{\vQC}} \newcommand{\avCR}{\ABS{\vCR}} \newcommand{\avRA}{\ABS{\vRA}} \newcommand{\va}{\vec{a}} \newcommand{\vb}{\BLUEFOCUS{\vec{b}}} \newcommand{\vc}{\REDFOCUS{\vec{c}}} \newcommand{\vZ}{\vec{0}} \definecolor{MUTE-COLOR}{rgb}{0.6,0.6,0.6}% \definecolor{NOMUTE-COLOR}{rgb}{0.0,0.0,0.0}% \definecolor{REDNOMUTE-COLOR}{rgb}{1.0,0.0,0.0}% \newcommand{\MUTE}[1]{\textcolor{MUTE-COLOR}{\TT{#1}}} \newcommand{\NOMUTE}[1]{\textcolor{NOMUTE-COLOR}{\TT{#1}}} \newcommand{\REDNOMUTE}[1]{\textcolor{REDNOMUTE-COLOR}{\TT{#1}}} \newcommand{\mvAA}{\LONGVEC{\MUTE{A}\NOMUTE{A}}} \newcommand{\mvAB}{\LONGVEC{\MUTE{A}\NOMUTE{B}}} \newcommand{\mvAC}{\LONGVEC{\MUTE{A}\NOMUTE{C}}} \newcommand{\mvAP}{\LONGVEC{\MUTE{A}\NOMUTE{P}}} \newcommand{\mvAQ}{\LONGVEC{\MUTE{A}\NOMUTE{Q}}} \newcommand{\mvAR}{\LONGVEC{\MUTE{A}\NOMUTE{R}}} \newcommand{\mvAV}{\LONGVEC{\MUTE{A}\NOMUTE{V}}} \newcommand{\mvRevAB}{\LONGVEC{\REDNOMUTE{A}\NOMUTE{B}}} \newcommand{\mvRevAC}{\LONGVEC{\REDNOMUTE{A}\NOMUTE{C}}} \newcommand{\BP}{\TT{BP}} \newcommand{\vBP}{\LONGVEC{\BP}} \newcommand{\NEAREQ}{\fallingdotseq} $

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

メネラウスの定理

メネラウスの定理

平面上に三角形 $\TT{ABC}$ がある。

また図のように、 辺 $\BC$ と辺 $\CA$ に交わる直線 $\TT{L}$ がある。

  • 直線 $\AB$ と直線 $\TT{L}$ の交点を $\TT{P}$ とする。
  • 辺 $\BC$ と直線 $\TT{L}$ の交点を $\TT{Q}$ とする。
  • 辺 $\CA$ と直線 $\TT{L}$ の交点を $\TT{R}$ とする。

このとき、

$$ \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} = 1 $$

が成り立つ。

ユーリメネラウスの定理に取り組み、 それぞれ違った補助線を引いて、 証明することができた(第431回参照)。

そこでふと・・ベクトルを使ってメネラウスの定理が証明できるのでは、と気付いた(第432回参照)。

ユーリにベクトルの説明をしながら計算を進め、 ようやく証明までたどり着いたところ(第433回参照)。

証明できた!

「……ほら出た! これで、 $\vAP = p\vPB$ と、 $\vBQ = q\vQC$ と、 $\vCR = r\vRA$ から、 $$ pqr = -1 $$ が出てきた。 ここから、 $$ \ABS{p}\times\ABS{q}\times\ABS{r} = 1 $$ がいえる。 つまりこれで、 $$ \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} = 1 $$ が言えたことになる。 ベクトルを使ってメネラウスの定理が証明できたんだ!」

ユーリ「はい、おめでとー」

「なぜ棒読み」

ユーリ「計算、疲れて飽きたんだもん。ベクトルってめんどくさいね」

「お疲れさま。エレガントに証明しようと考えるんじゃなくて、《腕力》でかなり泥臭く計算したからね。 ふと・・『ベクトルでも示せるんじゃないか』と思ってしまったからなあ……」

ユーリふと・・思ったのが運の尽き」

「ところで、いま計算した結果が $$ pqr = -1 $$ になったことで、ふと・・気付いたことがあるんだ」

ユーリ「またかい!」

「ちょっとしたことだけど……どうして、 $$ pqr = 1 $$ じゃなくて、 $$ pqr = -1 $$ になったんだろう」

$pqr < 0$ の意味を考えよう

ユーリ「えーっ! また計算し直すの? どっか間違った?」

「いやいや、そうじゃないよ。証明はもう終わり。 ベクトルを使ってメネラウスの定理を証明できた」

ユーリ「あーよかった」

「僕たちは、 $$ \begin{cases} \vAP &= p\vPB & \REMTEXT{(ア)} \\ \vBQ &= q\vQC & \REMTEXT{(イ)} \\ \vCR &= r\vRA & \REMTEXT{(ウ)} \\ \end{cases} $$ と置いた。 $pqr$ の結果が $1$ でも $-1$ でも、 $$ \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} = 1 $$ は成り立つ。 $$ \begin{align*} \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} &= \frac{\ABS{\vAP}}{\ABS{\vPB}} \times \frac{\ABS{\vBQ}}{\ABS{\vQC}} \times \frac{\ABS{\vCR}}{\ABS{\vRA}} \\ &= \ABS{p}\times\ABS{q}\times\ABS{r} \\ &= 1 \end{align*} $$ だから、証明はいいんだよ。 でも、どうして $pqr$ がマイナスになるのか、ちょっと気にならない?」

ユーリ「気になると言われましても」

「$pqr < 0$ には、何か意味があるんじゃないか——ということ」

「僕」の問いかけ

$pqr < 0$ には、何か意味があるのではないか。

そこでユーリは口を開きかけて……またすぐに口を閉じた。

本気で考えるモードに入ったらしい。

無料で「試し読み」できるのはここまでです。 この続きをお読みになるには「読み放題プラン」へのご参加が必要です。

ひと月500円で「読み放題プラン」へご参加いただきますと、 439本すべての記事が読み放題になりますので、 ぜひ、ご参加ください。


参加済みの方/すぐに参加したい方はこちら

結城浩のメンバーシップで参加 結城浩のpixivFANBOXで参加

(2024年10月4日)

[icon]

結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki


『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

Twitter note 結城メルマガ Mastodon Bluesky Threads Home