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第434回 シーズン44 エピソード4
ベクトルを使う意味(後編)

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登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

メネラウスの定理

メネラウスの定理

平面上に三角形 $\TT{ABC}$ がある。

また図のように、 辺 $\BC$ と辺 $\CA$ に交わる直線 $\TT{L}$ がある。

  • 直線 $\AB$ と直線 $\TT{L}$ の交点を $\TT{P}$ とする。
  • 辺 $\BC$ と直線 $\TT{L}$ の交点を $\TT{Q}$ とする。
  • 辺 $\CA$ と直線 $\TT{L}$ の交点を $\TT{R}$ とする。

このとき、

$$ \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} = 1 $$

が成り立つ。

ユーリメネラウスの定理に取り組み、 それぞれ違った補助線を引いて、 証明することができた(第431回参照)。

そこでふと・・ベクトルを使ってメネラウスの定理が証明できるのでは、と気付いた(第432回参照)。

ユーリにベクトルの説明をしながら計算を進め、 ようやく証明までたどり着いたところ(第433回参照)。

証明できた!

「……ほら出た! これで、 $\vAP = p\vPB$ と、 $\vBQ = q\vQC$ と、 $\vCR = r\vRA$ から、 $$ pqr = -1 $$ が出てきた。 ここから、 $$ \ABS{p}\times\ABS{q}\times\ABS{r} = 1 $$ がいえる。 つまりこれで、 $$ \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} = 1 $$ が言えたことになる。 ベクトルを使ってメネラウスの定理が証明できたんだ!」

ユーリ「はい、おめでとー」

「なぜ棒読み」

ユーリ「計算、疲れて飽きたんだもん。ベクトルってめんどくさいね」

「お疲れさま。エレガントに証明しようと考えるんじゃなくて、《腕力》でかなり泥臭く計算したからね。 ふと・・『ベクトルでも示せるんじゃないか』と思ってしまったからなあ……」

ユーリふと・・思ったのが運の尽き」

「ところで、いま計算した結果が $$ pqr = -1 $$ になったことで、ふと・・気付いたことがあるんだ」

ユーリ「またかい!」

「ちょっとしたことだけど……どうして、 $$ pqr = 1 $$ じゃなくて、 $$ pqr = -1 $$ になったんだろう」

$pqr < 0$ の意味を考えよう

ユーリ「えーっ! また計算し直すの? どっか間違った?」

「いやいや、そうじゃないよ。証明はもう終わり。 ベクトルを使ってメネラウスの定理を証明できた」

ユーリ「あーよかった」

「僕たちは、 $$ \begin{cases} \vAP &= p\vPB & \REMTEXT{(ア)} \\ \vBQ &= q\vQC & \REMTEXT{(イ)} \\ \vCR &= r\vRA & \REMTEXT{(ウ)} \\ \end{cases} $$ と置いた。 $pqr$ の結果が $1$ でも $-1$ でも、 $$ \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} = 1 $$ は成り立つ。 $$ \begin{align*} \frac{\AP}{\PB} \times \frac{\BQ}{\QC} \times \frac{\CR}{\RA} &= \frac{\ABS{\vAP}}{\ABS{\vPB}} \times \frac{\ABS{\vBQ}}{\ABS{\vQC}} \times \frac{\ABS{\vCR}}{\ABS{\vRA}} \\ &= \ABS{p}\times\ABS{q}\times\ABS{r} \\ &= 1 \end{align*} $$ だから、証明はいいんだよ。 でも、どうして $pqr$ がマイナスになるのか、ちょっと気にならない?」

ユーリ「気になると言われましても」

「$pqr < 0$ には、何か意味があるんじゃないか——ということ」

「僕」の問いかけ

$pqr < 0$ には、何か意味があるのではないか。

そこでユーリは口を開きかけて……またすぐに口を閉じた。

本気で考えるモードに入ったらしい。

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(2024年10月4日)

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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki


『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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