$
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$
登場人物紹介
僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。
僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。
論理的な話は好きだが飽きっぽい。
メネラウスの定理
メネラウスの定理
平面上に三角形 $\TT{ABC}$ がある。
また図のように、
辺 $\BC$ と辺 $\CA$ に交わる直線 $\TT{L}$ がある。
- 直線 $\AB$ と直線 $\TT{L}$ の交点を $\TT{P}$ とする。
- 辺 $\BC$ と直線 $\TT{L}$ の交点を $\TT{Q}$ とする。
- 辺 $\CA$ と直線 $\TT{L}$ の交点を $\TT{R}$ とする。
このとき、
$$
\frac{\AP}{\PB}
\times
\frac{\BQ}{\QC}
\times
\frac{\CR}{\RA}
=
1
$$
が成り立つ。
僕とユーリはメネラウスの定理に取り組み、
それぞれ違った補助線を引いて、
証明することができた（第431回参照）。
そこで僕はふと、
ベクトルを使ってメネラウスの定理が証明できるのでは、と気付いた（第432回参照）。
ユーリにベクトルの説明をしながら計算を進め、
ようやく証明までたどり着いたところ（第433回参照）。
証明できた！
僕「……ほら出た！
これで、
$\vAP = p\vPB$ と、
$\vBQ = q\vQC$ と、
$\vCR = r\vRA$ から、
$$
pqr = -1
$$
が出てきた。
ここから、
$$
\ABS{p}\times\ABS{q}\times\ABS{r} = 1
$$
がいえる。
つまりこれで、
$$
\frac{\AP}{\PB}
\times
\frac{\BQ}{\QC}
\times
\frac{\CR}{\RA}
=
1
$$
が言えたことになる。
ベクトルを使ってメネラウスの定理が証明できたんだ！」
ユーリ「はい、おめでとー」
僕「なぜ棒読み」
ユーリ「計算、疲れて飽きたんだもん。ベクトルってめんどくさいね」
僕「お疲れさま。エレガントに証明しようと考えるんじゃなくて、《腕力》でかなり泥臭く計算したからね。
ふと『ベクトルでも示せるんじゃないか』と思ってしまったからなあ……」
ユーリ「ふと思ったのが運の尽き」
僕「ところで、いま計算した結果が
$$
pqr = -1
$$
になったことで、ふと気付いたことがあるんだ」
ユーリ「またかい！」
僕「ちょっとしたことだけど……どうして、
$$
pqr = 1
$$
じゃなくて、
$$
pqr = -1
$$
になったんだろう」
$pqr < 0$ の意味を考えよう
ユーリ「えーっ！ また計算し直すの？ どっか間違った？」
僕「いやいや、そうじゃないよ。証明はもう終わり。
ベクトルを使ってメネラウスの定理を証明できた」
ユーリ「あーよかった」
僕「僕たちは、
$$
\begin{cases}
\vAP &= p\vPB & \REMTEXT{（ア）} \\
\vBQ &= q\vQC & \REMTEXT{（イ）} \\
\vCR &= r\vRA & \REMTEXT{（ウ）} \\
\end{cases}
$$
と置いた。
$pqr$ の結果が $1$ でも $-1$ でも、
$$
\frac{\AP}{\PB}
\times
\frac{\BQ}{\QC}
\times
\frac{\CR}{\RA}
=
1
$$
は成り立つ。
$$
\begin{align*}
\frac{\AP}{\PB}
\times
\frac{\BQ}{\QC}
\times
\frac{\CR}{\RA}
&=
\frac{\ABS{\vAP}}{\ABS{\vPB}}
\times
\frac{\ABS{\vBQ}}{\ABS{\vQC}}
\times
\frac{\ABS{\vCR}}{\ABS{\vRA}} \\
&=
\ABS{p}\times\ABS{q}\times\ABS{r} \\
&=
1
\end{align*}
$$
だから、証明はいいんだよ。
でも、どうして $pqr$ がマイナスになるのか、ちょっと気にならない？」
ユーリ「気になると言われましても」
僕「$pqr < 0$ には、何か意味があるんじゃないか——ということ」
「僕」の問いかけ
$pqr < 0$ には、何か意味があるのではないか。
そこでユーリは口を開きかけて……またすぐに口を閉じた。
本気で考えるモードに入ったらしい。
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Web連載「数学ガールの秘密ノート」
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