登場人物紹介
僕:数学が好きな高校生。
ユーリ:僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
メネラウスの定理
平面上に三角形
また図のように、
辺
このとき、
が成り立つ。
僕とユーリはメネラウスの定理に取り組み、 それぞれ違った補助線を引いて、 証明することができた(第431回参照)。
そのとき僕はふと、 ベクトルを使ってメネラウスの定理が証明できる んじゃないかと思い、その計算を始めた(第432回参照)。
ステップ1(三点が一直線上にある)
僕たちは、
ステップ2(位置ベクトル)
すべてのベクトルを
※
ステップ3(一次独立なベクトル)
一次独立なベクトル
ユーリ「ここからどーすんの? どんどこ式が複雑になっていくんですけどー!」
僕「《求めるものは何か》を忘れないようにしよう」
ユーリ「もー忘れた」
僕「がく。僕たちはメネラウスの定理を証明しようとしているんだから、
ユーリ「へいへい。そーでしたな」
僕「ということは、さっきの(ア’’)(イ’’)(ウ’’)(エ’’)の式で
ユーリ「にゃるほど」
僕「それから、僕たちが使える大事な《武器》は、
一次独立な
ユーリ「《武器》なんて、テトラさんみたいなこと言う」
僕「あはは、そうだね。……そこで、
(ア’’)(イ’’)(ウ’’)(エ’’)を
ユーリ「お兄ちゃんは、 《式を整理する》っていつもパパパッとやっちゃうよね」
僕「え? そうかなあ……今回の場合でいうと、
《
ユーリ「だったら、そー言ってほしいにゃあ……」
僕「そうだね。たとえば、(ア’’)を見ると、
ユーリ「まとめる……」
僕「
ユーリ「
僕「(ア’’)ではそうだね。
ユーリ「ダウト!」
僕「何がダウト?」
ユーリ「いまさらっと
僕「鋭いなあ……いや、大丈夫だよ」
ユーリ「理由を述べたまえ」
僕「
ユーリ「ぜろべくとる」
僕「要するに、始点と終点が一致しているベクトルだ。
でも、
ユーリ「そりゃそーだ! だって
僕「そういうこと。だから
ユーリ「ナットクした。それから、いまの、何だか面白かった」
僕「《いまの》?」
ユーリ「
僕「なるほどなあ……ユーリが感じる面白ポイントが面白いな。
そんなふうに隠れた条件が見つかることってときどきあるよ。
《三角形
ユーリ「アンモクって何」
僕「『暗黙のうちに』というのは、
『はっきりとは表されていないけど、表されたことから考えれば』ということ。
いまの場合でいうと、
ユーリ「ふーん……」
僕「これで、(ア’’)から、
ユーリ「ほほー」
僕「そして、(イ’’)(ウ’’)(エ’’)も同じように——」
ユーリ「——式を整理する」
僕「そういうこと」
僕とユーリは、同じような計算を行って、
ユーリ「慣れてきた。確かに《式の計算》だね、これ」
僕「(ウ’’)の式には、
ユーリ「零ベクトル。始点と終点が同じだから」
僕「そう。
ユーリ「ふむふむ」
僕「ここまでで
ユーリ「……」
僕「何か気になる?」
ユーリ「んー……ま、いいや。 お兄ちゃん、まだ(エ’’)が残ってるよ。これも同じことするんでしょ?」
僕「そうなんだけど、一本の式に
ユーリ「また式の整理って言ってる」
僕「少なくとも両辺に散らばっている
ユーリ「そんで、両辺を
僕「いや、ちょっと待って。そうじゃなくて、
こんなふうに
ユーリ「?」
僕「うん、これで行けるよ」
ユーリ「何が?」
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