第433回 シーズン44 エピソード3

ベクトルを使う意味（前編）

メネラウスの定理

前回までのまとめ

どんなふうに整理する？

ユーリ「ここからどーすんの？　どんどこ式が複雑になっていくんですけどー！」

僕「《求めるものは何か》を忘れないようにしよう」

ユーリ「もー忘れた」

僕「がく。僕たちはメネラウスの定理を証明しようとしているんだから、 $$\frac{\text{AP}}{\text{PB}}\times \frac{\text{BQ}}{\text{QC}}\times \frac{\text{CR}}{\text{RA}}=1$$ を示したい。そのためには、 $$|p|\times |q|\times |r|=1$$ を示せばいい。だから $p,q,r$ の関係が求めるものになる。 まあ、そうなるように $p,q,r$ を選んだんだけど」

ユーリ「へいへい。そーでしたな」

僕「ということは、さっきの（ア’’）（イ’’）（ウ’’）（エ’’）の式で $p,q,r$ は大事な数だ。 でも、 $s$ は消えても構わない。消えてほしいという気持ちがある」

ユーリ「にゃるほど」

僕「それから、僕たちが使える大事な《武器》は、 一次独立な $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ だ。この二つですべての点が表せるんだから（第432回参照）」

ユーリ「《武器》なんて、テトラさんみたいなこと言う」

僕「あはは、そうだね。……そこで、 （ア’’）（イ’’）（ウ’’）（エ’’）を $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で整理してみる」

ユーリ「お兄ちゃんは、 《式を整理する》っていつもパパパッとやっちゃうよね」

僕「え？　そうかなあ……今回の場合でいうと、 《$\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で整理する》というのは、 《$\overrightarrow{\text{A}\text{P}},\overrightarrow{\text{A}\text{Q}},\overrightarrow{\text{A}\text{R}}$ などを、 $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ を使って表す式を作る》という意味で言ったんだけど」

ユーリ「だったら、そー言ってほしいにゃあ……」

僕「そうだね。たとえば、（ア’’）を見ると、 $$\overrightarrow{\text{A}\text{P}}=p(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{\text{A}\text{P}})$$ という式がある。 $\overrightarrow{\text{A}\text{P}}$ が両辺にわかれわかれになっているので、 これを一つにまとめる」

ユーリ「まとめる……」

僕「$\overrightarrow{b}$ や $\overrightarrow{\text{A}\text{P}}$ といったベクトルが、 それぞれ数を表す文字であるかのように式の計算を行って、 $$\overrightarrow{\text{A}\text{P}}=\text{《}\overrightarrow{b}\text{と}\overrightarrow{c}\text{を使った式》}$$ という形にもっていくという意味だよ」

ユーリ「$\overrightarrow{c}$ なんてないけど」

僕「（ア’’）ではそうだね。 $\overrightarrow{b}$ だけだ。ともかく、実際にやってみよう」

$\overrightarrow{\text{A}\text{P}}$ を $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表す（実際は $\overrightarrow{b}$ だけ）

ユーリ「ダウト！」

僕「何がダウト？」

ユーリ「いまさらっと $1+p$ で割ったけど、これゼロ割にならないの？」

僕「鋭いなあ……いや、大丈夫だよ」

ユーリ「理由を述べたまえ」

僕「$p$ という数は何だったかというと、 $$\overrightarrow{\text{AP}}=p\overrightarrow{\text{PB}}$$ を満たす実数だった。 もしも $1+p=0$ だったら、 $p=-1$ になるけど、 そうしたら、 $$\overrightarrow{\text{AP}}=-\overrightarrow{\text{PB}}$$ つまり、 $$\overrightarrow{\text{AP}}+\overrightarrow{\text{PB}}=\overrightarrow{0}$$ になる。 $\overrightarrow{0}$ というのは零ベクトルのこと。 零ベクトルというのは、大きさが $0$ で向きのないベクトル」

ユーリ「ぜろべくとる」

僕「要するに、始点と終点が一致しているベクトルだ。 でも、 $$\overrightarrow{\text{AP}}+\overrightarrow{\text{PB}}=\overrightarrow{\text{AB}}$$ なんだから、もし $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{0}$ になってしまったら、点 $\text{A}$ と点 $\text{B}$ が一致していることになる。 でも、そんなことはありえない。 $\text{A}$ と $\text{B}$ は異なる二点だから。だよね？」

ユーリ「そりゃそーだ！　だって $\text{A}$ と $\text{B}$ が同じ点なら三角形できないもん！」

僕「そういうこと。だから $1+p$ で割ってもかまわない」

ユーリ「ナットクした。それから、いまの、何だか面白かった」

僕「《いまの》？」

ユーリ「$1+p$ が $0$ じゃない理由が《三角形ができなくなるから》なのが面白かった」

僕「なるほどなあ……ユーリが感じる面白ポイントが面白いな。 そんなふうに隠れた条件が見つかることってときどきあるよ。 《三角形 $\text{ABC}$》といったときに、 《$\text{A},\text{B},\text{C}$ は異なる三点》という条件が暗黙のうちに入り込んでたりする」

ユーリ「アンモクって何」

僕「『暗黙のうちに』というのは、 『はっきりとは表されていないけど、表されたことから考えれば』ということ。 いまの場合でいうと、 $p$ を導入したときに、本当は $p$ の範囲を意識しないといけなかったんだね」

ユーリ「ふーん……」

僕「これで、（ア’’）から、 $$\overrightarrow{\text{A}\text{P}}=\frac{p}{1+p}\overrightarrow{b}$$ がわかった。さっきは $\overrightarrow{c}$ がないって話をしてたけど、 $$\overrightarrow{\text{A}\text{P}}=\frac{p}{1+p}\overrightarrow{b}+\boxed{0\overrightarrow{c}}$$ のように $\overrightarrow{c}$ は $0$ 倍したと考えれば $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で $\overrightarrow{\text{A}\text{P}}$ を表したことになる」

ユーリ「ほほー」

僕「そして、（イ’’）（ウ’’）（エ’’）も同じように——」

ユーリ「——式を整理する」

僕「そういうこと」

$\overrightarrow{\text{A}\text{Q}}$ を $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表す

$\overrightarrow{\text{A}\text{R}}$ を $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表す（実際は $\overrightarrow{c}$ だけ）

ユーリ「慣れてきた。確かに《式の計算》だね、これ」

僕「（ウ’’）の式には、 $\overrightarrow{\text{A}\text{A}}$ が出てくるけど、これは $\overrightarrow{0}$ だね」

ユーリ「零ベクトル。始点と終点が同じだから」

僕「そう。 $\overrightarrow{\text{A}\text{A}}$ は点 $\text{A}$ から点 $\text{A}$ へ向かうベクトルだから、大きさが $0$ で向きがない零ベクトル。 $\overrightarrow{0}$ は数の $0$ とそっくりだ。 どんな実数 $a$ に $0$ を足しても変わらないし、どんな実数 $a$ を $0$ に掛けても $0$ のまま。 $$a+0=a,a\times 0=0$$ それと同じように、 どんなベクトル $\overrightarrow{v}$ に $\overrightarrow{0}$ を足しても変わらないし、どんな実数 $a$ を $\overrightarrow{0}$ に掛けても $\overrightarrow{0}$ のまま。 $$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{v},a\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$$ そんなふうに似ている」

ユーリ「ふむふむ」

$\overrightarrow{\text{A}\text{P}}$ と $\overrightarrow{\text{A}\text{Q}}$ と $\overrightarrow{\text{A}\text{R}}$ の関係式を眺める

僕「ここまでで $\overrightarrow{\text{A}\text{P}},\overrightarrow{\text{A}\text{Q}},\overrightarrow{\text{A}\text{R}}$ を $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表したことになる」

ユーリ「……」

僕「何か気になる？」

ユーリ「んー……ま、いいや。 お兄ちゃん、まだ（エ’’）が残ってるよ。これも同じことするんでしょ？」

僕「そうなんだけど、一本の式に $\overrightarrow{\text{A}\text{P}},\overrightarrow{\text{A}\text{Q}},\overrightarrow{\text{A}\text{R}}$ が入っているから、さっきまでとはちょっと違うね。 まずは式を整理してみよう」

ユーリ「また式の整理って言ってる」

僕「少なくとも両辺に散らばっている $\overrightarrow{\text{A}\text{Q}}$ をまとめてから考えたいんだよ」

ユーリ「そんで、両辺を $1+s$ で割って、 $\overrightarrow{\text{A}\text{Q}}=\cdots$」

僕「いや、ちょっと待って。そうじゃなくて、 こんなふうに $\overrightarrow{\text{A}\text{P}},\overrightarrow{\text{A}\text{Q}},\overrightarrow{\text{A}\text{R}}$ を全部、左辺に寄せてみる。 右辺は零ベクトルになる」

ユーリ「？」

僕「うん、これで行けるよ」

ユーリ「何が？」