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第433回 シーズン44 エピソード3
ベクトルを使う意味(前編)

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

メネラウスの定理

メネラウスの定理

平面上に三角形 ABC がある。

また図のように、 辺 BC と辺 CA に交わる直線 L がある。

  • 直線 AB と直線 L の交点を P とする。
  • BC と直線 L の交点を Q とする。
  • CA と直線 L の交点を R とする。

このとき、

APPB×BQQC×CRRA=1

が成り立つ。

ユーリメネラウスの定理に取り組み、 それぞれ違った補助線を引いて、 証明することができた(第431回参照)。

そのときふと・・ベクトルを使ってメネラウスの定理が証明できる んじゃないかと思い、その計算を始めた(第432回参照)。

前回までのまとめ

ステップ1(三点が一直線上にある)

たちは、 p,q,r,s という実数を導入して、 《三点が一直線上にある》という条件を、 ベクトルを使った式(ア)(イ)(ウ)(エ)で表した。

{AP=pPB(ア)BQ=qQC(イ)CR=rRA(ウ)PQ=sQR(エ)

ステップ2(位置ベクトル)

すべてのベクトルを A を始点に持つベクトルに書き換えた。

{AP=p(ABAP)(ア’)AQAB=q(ACAQ)(イ’)ARAC=r(AAAR)(ウ’)AQAP=s(ARAQ)(エ’)

A が始点になっていることがはっきりするように、始点の A は色を薄くして表示しています。

ステップ3(一次独立なベクトル)

一次独立なベクトル ABAC に注目するため、 それぞれ b=ABc=AC に書き換えた。

{AP=p(bAP)(ア’’)AQb=q(cAQ)(イ’’)ARc=r(AAAR)(ウ’’)AQAP=s(ARAQ)(エ’’)

どんなふうに整理する?

ユーリ「ここからどーすんの? どんどこ式が複雑になっていくんですけどー!」

《求めるものは何か》を忘れないようにしよう」

ユーリ「もー忘れた」

「がく。僕たちはメネラウスの定理を証明しようとしているんだから、 APPB×BQQC×CRRA=1 を示したい。そのためには、 |p|×|q|×|r|=1 を示せばいい。だから p,q,r の関係が求めるものになる。 まあ、そうなるように p,q,r を選んだんだけど」

ユーリ「へいへい。そーでしたな」

「ということは、さっきの(ア’’)(イ’’)(ウ’’)(エ’’)の式で p,q,r は大事な数だ。 でも、 s は消えても構わない。消えてほしいという気持ちがある」

ユーリ「にゃるほど」

「それから、僕たちが使える大事な《武器》は、 一次独立な bc だ。この二つですべての点が表せるんだから(第432回参照)」

ユーリ「《武器》なんて、テトラさんみたいなこと言う」

「あはは、そうだね。……そこで、 (ア’’)(イ’’)(ウ’’)(エ’’)を bc で整理してみる」

ユーリ「お兄ちゃんは、 《式を整理する》っていつもパパパッとやっちゃうよね」

「え? そうかなあ……今回の場合でいうと、 《bc で整理する》というのは、 《AP,AQ,AR などを、 bc を使って表す式を作る》という意味で言ったんだけど」

ユーリ「だったら、そー言ってほしいにゃあ……」

「そうだね。たとえば、(ア’’)を見ると、 AP=p(bAP) という式がある。 AP が両辺にわかれわかれになっているので、 これを一つにまとめる」

ユーリ「まとめる……」

bAP といったベクトルが、 それぞれ数を表す文字であるかのように式の計算を行って、 AP=bcを使った式》 という形にもっていくという意味だよ」

ユーリc なんてないけど」

「(ア’’)ではそうだね。 b だけだ。ともかく、実際にやってみよう」

APbc で表す(実際は b だけ)

AP=p(bAP)(ア’’)より=pbpAP展開したAP+pAP=pb両辺にpAPを加えた(移項)(1+p)AP=pbAPでくくったAP=p1+pb1+pで割った

ユーリ「ダウト!」

「何がダウト?」

ユーリ「いまさらっと 1+p で割ったけど、これゼロ割にならないの?」

「鋭いなあ……いや、大丈夫だよ」

ユーリ「理由を述べたまえ」

AP=pPB

p という数は何だったかというと、 AP=pPB を満たす実数だった。 もしも 1+p=0 だったら、 p=1 になるけど、 そうしたら、 AP=PB つまり、 AP+PB=0 になる。 0 というのは零ベクトルのこと。 零ベクトルというのは、大きさが 0 で向きのないベクトル」

ユーリ「ぜろべくとる」

「要するに、始点と終点が一致しているベクトルだ。 でも、 AP+PB=AB なんだから、もし AB=0 になってしまったら、点 A と点 B が一致していることになる。 でも、そんなことはありえない。 AB は異なる二点だから。だよね?」

ユーリ「そりゃそーだ! だって AB が同じ点なら三角形できないもん!」

「そういうこと。だから 1+p で割ってもかまわない」

ユーリ「ナットクした。それから、いまの、何だか面白かった」

「《いまの》?」

ユーリ1+p0 じゃない理由が《三角形ができなくなるから》なのが面白かった」

「なるほどなあ……ユーリが感じる面白ポイントが面白いな。 そんなふうに隠れた条件が見つかることってときどきあるよ。 《三角形 ABC》といったときに、 《A,B,C は異なる三点》という条件が暗黙のうちに入り込んでたりする」

ユーリ「アンモクって何」

「『暗黙のうちに』というのは、 『はっきりとは表されていないけど、表されたことから考えれば』ということ。 いまの場合でいうと、 p を導入したときに、本当は p の範囲を意識しないといけなかったんだね」

ユーリ「ふーん……」

「これで、(ア’’)から、 AP=p1+pb がわかった。さっきは c がないって話をしてたけど、 AP=p1+pb+ 0c  のように c0 倍したと考えれば bcAP を表したことになる」

ユーリ「ほほー」

APbc で表した

AP=p1+pb

「そして、(イ’’)(ウ’’)(エ’’)も同じように——」

ユーリ「——式を整理する」

「そういうこと」

AQbc で表す

ユーリは、同じような計算を行って、 AQbc で表した。

AQb=q(cAQ)(イ’’)よりAQb=qcqAQ展開したAQ+qAQ=b+qc移項した(1+q)AQ=b+qcAQでくくったAQ=11+qb+q1+qc1+qで割った

AQbc で表した

AQ=11+qb+q1+qc

ARbc で表す(実際は c だけ)

ユーリ「慣れてきた。確かに《式の計算》だね、これ」

「(ウ’’)の式には、 AA が出てくるけど、これは 0 だね」

ユーリ「零ベクトル。始点と終点が同じだから」

「そう。 AA は点 A から点 A へ向かうベクトルだから、大きさが 0 で向きがない零ベクトル。 0 は数の 0 とそっくりだ。 どんな実数 a0 を足しても変わらないし、どんな実数 a0 に掛けても 0 のまま。 a+0=a,a×0=0 それと同じように、 どんなベクトル v0 を足しても変わらないし、どんな実数 a0 に掛けても 0 のまま。 v+0=v,a0=0 そんなふうに似ている」

ユーリ「ふむふむ」

ARc=r(AAAR)(ウ’’)よりARc=r(0AR)AAは零ベクトルARc=r(AR)零ベクトルは消えるARc=rAR展開したAR+rAR=c移項した(1+r)AR=cARでくくったAR=11+rc1+rで割った

ARc で表した

AR=11+rc

APAQAR の関係式を眺める

「ここまでで AP,AQ,ARbc で表したことになる」

AP,AQ,ARbc で表した

{AP=p1+pbAQ=11+qb+q1+qcAR=11+rc

ユーリ「……」

「何か気になる?」

ユーリ「んー……ま、いいや。 お兄ちゃん、まだ(エ’’)が残ってるよ。これも同じことするんでしょ?」

AQAP=s(ARAQ)(エ’’)

「そうなんだけど、一本の式に AP,AQ,AR が入っているから、さっきまでとはちょっと違うね。 まずは式を整理してみよう」

ユーリ「また式の整理って言ってる」

「少なくとも両辺に散らばっている AQ をまとめてから考えたいんだよ」

AQAP=s(ARAQ)(エ’’)よりAQAP=sARsAQ展開したAQ+sAQ=AP+sAR移項した(1+s)AQ=AP+sARAQでくくった

ユーリ「そんで、両辺を 1+s で割って、 AQ=

「いや、ちょっと待って。そうじゃなくて、 こんなふうに AP,AQ,AR を全部、左辺に寄せてみる。 右辺は零ベクトルになる」

AP(1+s)AQ+sAR=0

ユーリ「?」

「うん、これで行けるよ」

ユーリ「何が?」

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(2024年9月27日)

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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki


『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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