第430回 シーズン43 エピソード10

ファクターの探求（後編）

図書室にて

僕「……だから、ここまでで、 $1$ 次以上の実数係数多項式 $f(x)$ が、

• $f(\REDFOCUS{a+bi}) = 0$
• $f(\BLUEFOCUS{a-bi}) = 0$

テトラ「共役複素数同士の《和》と《積》が実数になるところが効いてるんですね。 ああ、まだうまく言えないんですけれど、 何だかすごく大事なところを通ったような気がします。 もしかして、これで《カード》の証明ができます？」

僕「あ、いや、もう一つ残ってた。テトラちゃんが気付いたことがあるよね（第429回参照）」

テトラ「あたしが気付いたこと？」

僕「$f(\REDFOCUS{a + bi}) = 0$ のとき、 本当に $f(\BLUEFOCUS{a - bi}) = 0$ といえるか、 それをちゃんと確かめたくない？」

テトラ「あっ、確かめたいです！」

僕「きちんと問題の形にするなら、こうなるね」

テトラ「……先輩、できました？」

僕「……いや、これは難しいんじゃないかな。 スッと証明できると思ったんだけど、まだわからない。 テトラちゃんは？」

テトラ「考えは進むんですが、 いつも同じところで、答えが《すり抜ける》感じがします。 肝心のところで逃げられてしまうみたいな」

僕「それって、どういうこと？」

テトラちゃんの考え

テトラ「あのですね。あたしはこんなふうに考えました」

僕「ああ、そうだね。 それは問題の一つ手前の話を繰り返しているだけだね。 $1$ 次以上の実数係数多項式 $f(x)$ が、

• $f(\REDFOCUS{a+bi}) = 0$
• $f(\BLUEFOCUS{a-bi}) = 0$

テトラ「$f(x)$ が、 $(x - \REDFOCUS{(a+bi)})$ を因数に持っていたら、 必ず $(x - \BLUEFOCUS{(a-bi)})$ を因数に持っているといいたい！……のですが」

僕「$f(x)$ が $\REDFOCUS{a+bi}$ を根に持っていたら、 必ず $\BLUEFOCUS{a-bi}$ も根に持っているといいたい！……んだけどなあ」

テトラ「……」

僕「……」

テトラ「先輩先輩先輩！」

僕「うわ」

テトラ「テトラは、思いついたことがあります。 ちょっといいですか」

僕「もちろん、どうぞどうぞ」

テトラちゃんの新たな考え

テトラ「さっきあたしは、 $f(x)$ が $$ x - \REDFOCUS{(a+bi)} $$ と $$ x - \BLUEFOCUS{(a-bi)} $$ の両方を因数に持つという式を書いて、 つい、 $$ (x - \REDFOCUS{(a+bi)}) (x - \BLUEFOCUS{(a-bi)}) $$ という掛け算をしてしまいました。 それって《わかっていること》と《証明すべきこと》を混ぜていたんですね」

僕「まあ、そういえるかな」

テトラ「だったら、こういうのはどうでしょう。 $$ (x - \REDFOCUS{(a+bi)}) (x - \GREENFOCUS{(A+Bi)}) $$ という積を考えて、結果が実数係数の $2$ 次多項式になるためには、 $A = a$ かつ $B = -b$ でなければならないことを示すんです！」

僕「おお」

テトラ「そして、実際そうなります。計算すると、 $$ \begin{align*} & (x - (\REDFOCUS{a+bi}))(x - \GREENFOCUS{(A+Bi)}) \\ &= x^2 - (\REDFOCUS{(a+bi)}+\GREENFOCUS{(A+Bi)})x + \REDFOCUS{(a+bi)}\GREENFOCUS{(A+Bi)} \\ &= x^2 - ((a+A) + (b+B)i)x + aA-bB +(aB+Ab)i \end{align*} $$ です」

僕「なるほどね」

テトラ「$x$ の係数と定数項が実数になるためには、 $$ \begin{cases} b + B &= 0 \\ aB + Ab &= 0 \end{cases} $$ を満たす必要があります」

僕「うん。連立方程式だ」

テトラ「それで、一つ目の式から $B = -b$ がいえます。すると二つ目の式は、 $$ a(-b) + Ab = 0 $$ になって、 $$ (-a + A)b = 0 $$ から両辺を $b$ で割れば、 $-a + A = 0$ で、つまり、 $$ A = a $$ となりますっ！」

僕「最後のところ、 $b$ で割ったけどゼロ割は大丈夫？……ああ、大丈夫だね。 $b = 0$ のときは、 $a + bi$ がもともと実数のときだから、いまは $b \NEQ 0$ としていい」

テトラ「はいこれで、 $\REDFOCUS{a + bi}$ が $f(x)$ の根なら、 $\BLUEFOCUS{a - bi}$ も $f(x)$ の根になるといえました！」

僕「……」

テトラ「いえました、よね？」

疑問の言語化

僕「いや、テトラちゃんの計算はいいんだけど、 何かスッキリしないところが残ってるんだよ」

テトラ「そうですか？　あたしはこれで行けたと思うんですが。スッキリしないところというのは？」

僕「うん、スッキリしないなんて言われても困るよね。 がんばって言語化するよ。 ええと……たぶん、気になっているのはこういうこと。 テトラちゃんは、 $$ (x - \REDFOCUS{(a+bi)}) (x - \GREENFOCUS{(A+Bi)}) $$ を展開した $2$ 次多項式が実数係数であるためには、 $\GREENFOCUS{A + Bi} = \BLUEFOCUS{a - bi}$ でなければならないことを証明した」

テトラ「はい、そうです。その証明ができたので、 $\REDFOCUS{a+bi}$ が $f(x)$ の根なら、 $\BLUEFOCUS{a-bi}$ が $f(x)$ の根であることも証明されたと思うんですが」

僕「でもね、それ以外の場合ってないんだろうか」

テトラ「それ以外？」

僕「もちろんテトラちゃんが考えたように、 $$ (x - \REDFOCUS{(a+bi)}) (x - \GREENFOCUS{(A+Bi)}) $$ という二つの $1$ 次式を掛けたものが実数係数の多項式になればうれしいよ。 でもね、もしかしたら、 $$ (x - \REDFOCUS{(a+bi)}) (x - \GREENFOCUS{(A+Bi)}) (x - \BROWNFOCUS{(C+Di)}) $$ という三つの $1$ 次式を掛けることで、 ようやく（・・・・）実数係数の多項式になる場合だってあるかもしれないよね？　いや、 そうはならないんだけど、さっきのテトラちゃんの議論の進め方だと、 これに対して反論できない」

テトラ「あ……」

僕「つまり、テトラちゃんのさっきの議論は、 $f(x)$ が $2$ 次式のときには問題ないんだけど、 $f(x)$ が $3$ 次式以上のときにはまずい。 まだ不十分なように思うんだ」

テトラ「確かに、そうですね。 あたしは積が実数係数の $2$ 次多項式になることを想定して考えていましたが、 でもそれってそもそも《カード》の主張を一部先取りしてますよね……」

僕「そうだね。うーん……」

テトラ「今日は遅いですね、ミルカさん。 そろそろ、いらっしゃってもいいのに……」

僕「ミルカさん？　今日は来ないよ。 ピアノの練習でエィエィに引きずられていった」

テトラ「あっ、そうなんですか」

僕「そうなんだよ」