第422回 シーズン43 エピソード2

ゼロで割ってない？（後編）

僕の部屋

ユーリ「高校生ってすごいなー！」

僕「ユーリだってすぐにできるよ」

ユーリ「じゃ、何か問題出してみてよ」

僕「じゃあ、たとえばこれは？」

ユーリ「ほほー……やってみる！」

僕「暗算じゃなくてもいいよ」

ユーリ「えーと……あっ、これ難しーじゃん！」

僕「どうしたいきなり」

ユーリ「だって、最後が $12$ だから、ぜんぶを $x$ でくくれないもん」

僕「そうだね。だからこの $x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12$ は $x$ を因子に持たないことになる」

ユーリ「ちぇっ……あ、でもこの問題も $x^4$ だから、こんな感じになりそう」

$$ x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) $$

僕「そうだね。 $x^4$ の係数（けいすう）が $1$ だから、 $x$ の係数が $1$ になっている一次式が $4$ 個になりそうだ。 そんなふうにアタリをつけられる」

$$ \REDFOCUS{x^4} - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = (\REDFOCUS{x}-a)(\REDFOCUS{x}-b)(\REDFOCUS{x}-c)(\REDFOCUS{x}-d) $$

ユーリ「そんじゃ、お兄ちゃんがさっき使ってた謎の方法使うか（第421回参照）」

僕「因数定理だね」

ユーリ「いんすーてーり。 試しに数を $x$ に代入してみるんでしょ。それで $0$ になったらラッキー！」

僕「まあ、そうだね」

ユーリ「たとえば $x$ に $1$ を代入してみる！」

$x$ に $1$ を代入してみると……

$$ \begin{align*} & x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 \\ &= 1^4 - 4\times 1^3 - 1^2 + 16\times 1 - 12 && \REMTEXT{$x$に$1$を代入した} \\ &= 1 - 4 - 1 + 16 - 12 && \REMTEXT{$1^3 = 1$などを使って計算した} \\ &= 0 \end{align*} $$

僕「できたね」

ユーリ「やったやった。 $x$ に $1$ を代入したら $0$ になった。てことは……こーかな？」

$$ x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = \REDFOCUS{(x-1)}(x-b)(x-c)(x-d) $$

僕「そうだね。 $x$ に $1$ を代入したら左辺は $0$ になった。 ということは右辺も $0$ にならなくちゃまずい。 だから $x-1$ を因子に持つことになる」

ユーリ「じゃ、次は $x$ に $2$ を代入する！」

$x$ に $2$ を代入してみると……

$$ \begin{align*} & x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 \\ &= 2^4 - 4\times 2^3 - 2^2 + 16\times 2 - 12 && \REMTEXT{$x$に$2$を代入した} \\ &= 16 - 32 - 4 + 32 - 12 && \REMTEXT{各項を計算した} \\ &= 0 \end{align*} $$

僕「うんうん」

ユーリ「楽勝じゃん。 $x - 2$ が出てきた」

$$ x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = (x-1)\REDFOCUS{(x-2)}(x-c)(x-d) $$

僕「次は？」

ユーリ「次は $x$ に $3$ を代入してみる……？」

僕「どうしていま、僕の顔を見たんだろう」

ユーリ「ここまでうまく行ったから、何か落とし穴がありそーだと思ったから」

僕「だとしても、顔を見てもしょうがないよね」

ユーリ「ちぇっ、ポーカーフェイス」

$x$ に $3$ を代入してみると……

$$ \begin{align*} & x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 \\ &= 3^4 - 4\times 3^3 - 3^2 + 16\times 3 - 12 && \REMTEXT{$x$に$3$を代入した} \\ &= 81 - 108 - 9 + 48 - 12 && \REMTEXT{各項を計算した} \\ &= 0 \end{align*} $$

僕「……」

ユーリ「おかしい！　ここでも $0$ になった！」

僕「別に何もおかしくないよ。素直に行こうよ」

ユーリ「むー」

$$ x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = (x-1)(x-2)\REDFOCUS{(x-3)}(x-d) $$

僕「じゃ、次は？」

ユーリ「素直に $4$ を代入してみる！」

僕「……」

$x$ に $4$ を代入してみると……

$$ \begin{align*} & x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 \\ &= 4^4 - 4\times 4^3 - 4^2 + 16\times 4 - 12 && \REMTEXT{$x$に$4$を代入した} \\ &= \cdots \\ \end{align*} $$

ユーリ「あっ、けっこうめんどい。 $4^4$ と $4\times 4^3$ は同じだから、ちょうど消えるよね。 それから $4^2$ は $16$ だから、 $16\times 4$ じゃなくて $16\times3$ を計算して……ダメだー。 $0$ になんない！」

$$ \begin{align*} & x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 \\ &= 4^4 - 4\times 4^3 - 4^2 + 16\times 4 - 12 && \REMTEXT{$x$に$4$を代入した} \\ &= \underbrace{4^4 - 4\times 4^3}_{=0} - 16 + 16 \times 4 - 12 \\ &= 16\times 3 - 12 \\ &\NEQ 0 \end{align*} $$

僕「ということは、 $x - 4$ は因子にならない。さあさあ、ユーリはどうする？」

ユーリ「お手上げ！」

僕「いやいや、少なくともここまではわかったよね。あともう一歩だ。 $d$ さえわかればいいんだから」

ユーリ「そーだけど……む？　むむむむ？」

僕「……」

ユーリ「わかった！　 $d$ は $-2$ だ！」

僕「おっと、いきなり出たね」

ユーリ「だって、そーじゃん。 $-1$ と $-2$ と $-3$ と $-d$ を掛けたら $-12$ になるはずでしょ？　あー、 $x$ に $4$ を代入するのはムダだった！」

僕「こういうことだね。 $$ x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x \REDFOCUS{{}-12} = (x\REDFOCUS{{}-1})(x\REDFOCUS{{}-2})(x\REDFOCUS{{}-3})(x\REDFOCUS{{}-d}) $$ だから、 $$ (-12) = (-1)\times(-2)\times(-3)\times(-d) $$ になるので、 $$ d = -2 $$ となる」

ユーリ「できたー」

僕「お、符号まちがえなかったね。えらいえらい」

ユーリ「ふふん……それにしても、こーゆー引っかけが待ってるとは思わなかったぜ」

僕「え？　どこにも引っかけ要素はないよね」

ユーリ「だって、 $1,2,3$ と来たら次は $4$ 試したくなるじゃん。そこが引っかけ」

僕「そうやって、出題者の裏読みばっかりしないほうがいいと思うよ」

ユーリ「ちぇっ」

僕「いまユーリは因数定理を繰り返し使って因数分解したけど、 たとえば $x - 1$ という因子が見つかったところで、多項式の割り算をすることもできるよ」

ユーリ「多項式の割り算？」

僕「こんなふうに筆算して、 数の割り算と同じように $x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12$ を $x-1$ で割ることができる」

ユーリ「へー……」