第414回 シーズン42 エピソード4

《距離》という名のパスポート（後編）

《格子点の世界》で《双曲線》を描く

僕「……あれ？」

ユーリ「やばい。曲がんないじゃん！」

僕「これは……予想外だなあ」

ユーリ「ぜんっぜん、《双曲線》っぽくないね」

僕「そうだなあ……強いて言えば、二本の線になっていて、 無限に続いているところは《平面の世界》の双曲線に似てるといえなくはないけどね」

ユーリ「むー」

僕「縦軸を対称軸にして左右で線対称になっていて、 横軸を対称軸にして上下で線対称になっているところも似てる」

ユーリ「でも……なんかつまんないにゃあ（・・・）」

僕「《平面の世界》と《格子点の世界》は違うんだから、違いが出ること自体はしょうがないよ」

ユーリ「……」

僕「……」

ユーリ「お兄ちゃん。ほら見てっ！　これなら《双曲線》ぽくない？」

僕「おおお……これは！」

ユーリ「$A$ と $B$ を斜めに置いてみたんだよん。うまくいったぜ！」

僕「なるほど……」

ユーリ「双曲線ってこーゆー配置でもともと覚えてたもん」

僕「確かに。 $y = 1/x$ はこういう形になるね。 おもしろいなあ！　《平面の世界》の双曲線は横軸と縦軸が漸近線（ぜんきんせん）になって、 曲線が限りなくそこに近づいていくけど、 ユーリが描いてくれた《格子点の世界》の《双曲線》はいきなり横軸と縦軸に重なっちゃうんだね」

ユーリ「デジタルっぽくね？」

僕「ところで……これは本当なのかな」

ユーリ「お？　疑いますかね、ダンナ」

僕「誰が旦那だよ。いや、ユーリは二つの《円》の共有点をちゃんと確かめたとは思ってるよ」

$a=6,b=2$

ユーリ「たとえばね、 $a=6,b=2$ で二つの《円》を描いたら、 こんなふうにベタッと $3$ 個の共有点ができるよ」

僕「確かにそうか。《格子点の世界》の《円》は菱形になってるから、 二点 $A$ と $B$ を $45$ 度傾けた配置にすると、菱形の辺同士がべったりと点を共有するんだなあ……いわば《接する》わけだ」

ユーリ「$3$ 点で《接する》っておもしろ！　また笑いそう（第413回参照）」

僕「$A$ から $B$ まで $8$ 歩で行けるジグザグな経路と《円周》との共有点が $3$ 個あるってことなんだなあ」

$a=7,b=3$

ユーリ「えーとそれから、差が一定で $\ABS{a-b}=4$ なんだから、 $a$ を $6$ から $7$ に増やして、 $b$ を $2$ から $3$ にすればいい。 両方とも《半径》を $1$ だけ大きくして $a=7,b=3$ にすると、二つの《円》の共有点は今度は $2$ 個になるよ。 たとえばこの点 $Q$ はちゃーんと $A$ から $a=7$ 歩、 $B$ から $b=3$ 歩になってるっしょ？」

僕「うん、それはわかるな。 そして、そこから二つの《円》の《半径》を大きくしていくと、 交点は軸の上を原点から離れる向きに進むわけだね」

ユーリ「そーそー。 $a$ と $b$ をどっちも $1$ ずつ増やしていけば $\ABS{a-b}$ の値はずっと変わらないから、 $$ P \to Q \to R \to S \to \cdots $$ のみたいに無限に続いてく。《双曲線》誕生なり〜」

僕「うーん。確かにこうなるなあ」

理由を探る

ユーリ「ふふん。《格子点の世界》でも《異なる $2$ 点からの差が一定》で曲がった線——曲がった点の列——ができた」

僕「それは、どうしてだろう？」

ユーリ「え。まだ疑ってんの？　ちゃーんと二つの《円》描いたっしょ？」

僕「いやいや、疑っているわけじゃない。全然違う。 そうじゃなくて、 《格子点の世界》の《双曲線》が曲がるときと曲がらないときがある理由を考えてただけだよ」

ユーリ「理由？」