登場人物紹介
僕:数学が好きな高校生。
テトラちゃん:僕の後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。
ミルカ「……それでだ。 素数 $p$ を法とする世界での二項定理を考えたくなる。 特に $(x + y)^p$ の場合に注目しよう」
僕「お、おおっ?!」
定理
正の素数 $p$ に対して、 $$ (x + y)^p \equiv x^p + y^p \pmod p $$ が成り立つ。
僕とテトラちゃんは、ミルカさんが書いた式を凝視した(第398回参照)。
テトラ「……ああああああっ! これは、確かに成り立ちますっ! あたし、 わかっちゃいました。 だって、ここにある $1$ だけが生き残りますからっ!」
テトラちゃんは両腕をまた伸ばして、握った両手をぶんぶんと振る。
うん、確かにそうだ! 素数 $p$ を法とする世界では、 テトラちゃんが両手に持った $\BINOM{p}{0}$ と $\BINOM{p}{p}$ だけが生き残る。 確かにそうだ。 しかも、 $1$ として。なぜなら——
僕「うん、なぜなら——」
テトラ「なぜなら、両端に出てくる $1$ は $p$ で割り切れませんが、 そのあいだに出てくる $\BINOM{p}{r}$ はすべて、すべて! $p$ で割り切れますから——ですよね? あたしの 考えは正しいですよね、ミルカさん?」
ミルカ「ふむ。《テトラの考え》が正しいかどうかを判断するためには、 まず、その《テトラの考え》を提示しなければならないな」
ミルカさんはそう言いながら、テトラちゃんの前にあるノートを指さした。
テトラ「あ、そ、そうですね。確かにそうです。きちんと書かなければ、 正しいかどうか判定できませんよね。ではっ、テトラ、書きますっ!」
僕「……」
なるほど、と僕は思った。
確かにミルカさんの言う通りだ。
僕はもうさっきの定理の証明が《わかった》と思う。
なぜなら、これまで考えてきたことを組み合わせるだけだからだ。
でも、それが本当にそうなのか。本当に正しいかどうかは、 実際にきちんと書いてみなければわからない。 しっかり吟味するためには、どうしても証明の形に書いてみなければならないのだ。
テトラ「まず、あたしたちがよく知っているところから始めます。 素数 $p$ を法とする世界ではなく、普通の二項定理からです。 二項定理はよくわかっています。 $p$ を素数として $(x + y)^p$ を展開すると、 次のようになります。この展開では、特に $p$ が素数であることは使っていません」
二項定理で $(x + y)^p$ を展開する($p$ は正の素数)
$$ (x + y)^p = \sum_{r = 0}^{p}\BINOM{p}{r}x^{p-r}y^{r} $$
ミルカ「ふむ」
テトラ「右辺にはシグマ($\sum$)が出てきて、ちょっぴり恐いんですけれど、 でも、実際には恐くありません。だってこれは単に $p$ 個の項の足し算だからですっ!」
ミルカ「$p + 1$ 個」
テトラ「え? ……そうですね。 $r$ が $0$ から始まって、 $p$ までですから、 右辺は単に $p + 1$ 個の項の足し算になりますっ! 具体的にはこうです」
$$ \underbrace{\BINOM{p}{0}x^{p}y^0}_{r = 0} + \underbrace{\BINOM{p}{1}x^{p-1}y^1}_{r = 1} + \cdots + \underbrace{\BINOM{p}{p-1}x^{1}y^{p-1}}_{r = p-1} + \underbrace{\BINOM{p}{p}x^{0}y^p}_{r = p} $$
ミルカ「合ってる?」
テトラ「んー……はい、合ってます。 各項のパターンをチェックしました。 各項は $$ \BINOM{p}{r}x^{p-r}y^r $$ という形ですから、 $r$ が $0$ から $p$ まで動くと——
ミルカ「それでいい。ついでにいえば、 $x^{p-r}$ の指数 $p-r$ と、 $y^{r}$ の指数 $r$ の和が、 どの項についても $p$ になっているな」
テトラ「はい、そうですね。 $$ \BINOM{p}{0}x^{\MARKA{p}}y^{\MARKB{0}} + \BINOM{p}{1}x^{\MARKA{p-1}}y^{\MARKB{1}} + \cdots + \BINOM{p}{p-1}x^{\MARKA{1}}y^{\MARKB{p-1}} + \BINOM{p}{p}x^{\MARKA{0}}y^{\MARKB{p}} $$ で、 $$ \begin{array}{ccccl} \MARKA{p} &+& \MARKB{0} &=& p \\ \MARKA{(p-1)} &+& \MARKB{1} &=& p \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \MARKA{1} &+& \MARKB{(p - 1)} &=& p \\ \MARKA{0} &+& \MARKB{p} &=& p \end{array} $$ になっています」
ミルカさんがうなずき、テトラちゃんもうなずいた。
テトラちゃんは、ちゃんと《わかって》式を書いているなあ。 文字が多くなると、うっかりミスも増える。 だから、ミスを防ぐためには、書いている途中で細かくチェックする必要がある。
テトラちゃんはチェックするポイントを押さえて式を書いている。
ミルカ「それで?」
テトラ「はい、それでですね、この $p + 1$ 個の項のうち、 $r = 0$ に対応する項と、 $r = p$ に対応する項の係数はどちらも $1$ になります。 つまり、こういうことです」
$$ \begin{align*} \MARKA{\BINOM{p}{p}}x^py^0 &= \MARKA{1}x^py^0 = x^p \\ \MARKA{\BINOM{p}{0}}x^0y^p &= \MARKA{1}x^0y^p = y^p \end{align*} $$テトラちゃんは両手を握りしめてそう言った。
やっぱり、両手に握ってたのは $\BINOM{p}{0}$ と $\BINOM{p}{p}$ だったんだな。
ミルカ「ふむ」
テトラ「すると残りの項は $r$ が $0 < r < p$ の場合ということですけれど、 その場合はすべての項の係数は $p$ の倍数になります。 なぜかというと、 $p$ が素数なら $0 < r < p$ を満たす任意の整数 $r$ について $\BINOM{p}{r}$ は $p$ の倍数だからです。 これはもう証明しました(第396回参照)」
僕「うんうん!」
テトラ「つまり、こうなって……」
$$ \begin{align*} (x + y)^p & = \sum_{r = 0}^{p}\BINOM{p}{r}x^{p-r}y^{r} \\ & = \underbrace{\BINOM{p}{0}x^{p}y^0}_{r = 0} + \underbrace{\BINOM{p}{1}x^{p-1}y^1}_{r = 1} + \cdots + \underbrace{\BINOM{p}{p-1}x^{1}y^{p-1}}_{r = p-1} + \underbrace{\BINOM{p}{p}x^{0}y^p}_{r = p} \\ & = x^p + \underbrace{ \fbox{$ \BINOM{p}{1}x^{p-1}y^1 + \cdots + \BINOM{p}{p-1}x^{1}y^{p-1} $} }_{0 < r < p} + y^p \end{align*} $$ミルカ「……」
テトラ「この四角で囲った部分の係数はすべて《$p$ の倍数》です。 $p$ の倍数は、素数 $p$ を法として $0$ と合同ですから、 $$ (x + y)^p \equiv x^p + y^p \pmod p $$ が成り立つことになります!」
ミルカ「パーフェクト」
証明
$p$ を正の素数とする。このとき、 $$ \BINOM{p}{r} \equiv \begin{cases} 1 \pmod p & \TEXT{$r = 0$の場合} \\ 0 \pmod p & \TEXT{$0 < r < p$の場合} \\ 1 \pmod p & \TEXT{$r = p$の場合} \end{cases} $$ である。 これを使って $(x + y)^p$ を展開すると、 $$ \begin{align*} (x + y)^p &= \sum_{r = 0}^{p}\BINOM{p}{r} x^{p-r}y^{r} \\ &\equiv \BINOM{p}{0}x^py^0 + \sum_{r = 1}^{p-1}\BINOM{p}{r}x^{p-r}y^{r} + \BINOM{p}{p}x^0y^p \pmod p \\ &\equiv x^p + y^p \pmod p \end{align*} $$ なので、 $$ (x + y)^p\equiv x^p + y^p \pmod p $$ が成り立つ。 (証明終わり)
僕「おもしろいねえ!」
ミルカ「ところで、君はどこがおもしろいと思った?」
ミルカさんが急に僕の方を向いたので、ちょっと驚いた。
僕「え、いや。この定理そのものだよ。 素数 $p$ を法とすると、 $(x + y)^p$ が $x^p + y^p$ のようなシンプルな結果になることがおもしろいと思ったんだ。 だって $p$ が素数なら、いくら大きくてもいいわけだよね。 たとえば、 $$ (x + y)^{9973} \equiv x^{9973} + y^{9973} \pmod{9973} $$ になる」
テトラ「$9973$ って素数なんですか」
僕「確か $4$ 桁に収まる最大の素数だよ」
ミルカ「十進法の位取り記数法に依存した概念」
僕「まあそうだけどさ」
テトラ「ミルカさんは、 $$ (x + y)^p \equiv x^p + y^p \pmod p $$ を見るとどこがおもしろいと感じるんですか」
ミルカ「一つは、交換可能性かな」
テトラ「交換……可能性? 何と何が交換できるんでしょう」
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