第396回 シーズン40 エピソード6

組み合わせの数（後編）

図書室にて

僕「……さあ、これで組み合わせの数 $\TBINOM n r$ を漸化式（ぜんかしき）で表したことになる」

テトラ「$n$ と $r$ の条件を見るだけじゃなくて、 こんなふうに表と照らし合わせて考えると、わかりやすいですね。 そして確かめやすいです！」

僕「だよね。そして $\TBINOM n r$ に出てくる $n$ と $r$ のすべてのケースを《もれなく、だぶりなく》 表していることもはっきりする！」

テトラ「はいはいはいはい！　先輩！　先ほど階乗を使って $\TBINOM n r$ を表しましたから、 あたし、この等式 $$ \BINOM n r = \BINOM{n-1}{r-1} + \BINOM{n-1}{r} $$ が成り立つことを計算で示せると思います！　いますぐ計算しますっ！」

僕「おお！」

テトラ「あたしの計算方針はこうです。証明したい式の右辺、つまり、これを計算しちゃうんです。 これを計算した結果が $\BINOM n r$ に等しくなればいいんですよね？」

$$ \begin{align*} \BINOM{n-1}{r-1} + \BINOM{n-1}{r} &= \TEXT{？} \end{align*} $$

僕「そうだね。その通り」

テトラ「あたしはもう $\BINOM{n-1}{r-1}$ と $\BINOM{n-1}{r}$ を階乗を使って書くことができますから、 二つの分数の和を計算すればいいはずです。 も、文字がたくさん出てきますけれど、きっとうまいこと計算できるはず……と信じて進みます」

僕「うんうん」

テトラ「まず、 $\BINOM{n-1}{r-1}$ と $\BINOM{n-1}{r}$ をそれぞれ階乗を使って書きます」 $$ \begin{align*} \BINOM{n-1}{r-1} &= \BIFRAC{(n-1)!}{(r-1)!}{(n-1-(r-1))!} && \REMTEXT{階乗で表した} \\ &= \BIFRAC{(n-1)!}{(r-1)!}{(n\CANCEL{{}-1}- r\CANCEL{{}+1})!} && \REMTEXT{内側のカッコを外した} \\ &= \BIFRAC{(n-1)!}{(r-1)!}{(n-r)!} && \REMTEXT{整理した} \\ \BINOM{n-1}{r} &= \BIFRAC{(n-1)!}{r!}{(n-1-r)!} && \REMTEXT{階乗で表した} \\ &= \BIFRAC{(n-1)!}{r!}{(n-r-1)!} && \REMTEXT{整理した} \\ \end{align*} $$

僕「サクサク進むねえ」

テトラ「計算はサクサク進むんですが、目はチカチカします。 $n$ と $r$ と $1$ が飛び交ってますっ！」

僕「あはは」

テトラ「そして、この二つの分数を足すんですが、もちろん通分することになりますよね。 何かを掛けて、分母を揃えます。 さて何を掛けるかというと……」

$$ \begin{align*} \BINOM{n-1}{r-1} + \BINOM{n-1}{r} &= \BIFRAC{(n-1)!}{(r-1)!}{(n-r)!} + \BIFRAC{(n-1)!}{r!}{(n-r-1)!} \\ &= \REMTEXT{通分したい……} \end{align*} $$

僕「……」

テトラ「あ、たぶん見えましたよ……ええとですね、 こっちには $\MARKB{r}$ を掛けて、そっちには $\MARKA{n-r}$ を掛ければいいんでしょうか？」

$$ \BIFRAC{(n-1)!}{\MARKB{(r-1)!}}{(n-r)!} + \BIFRAC{(n-1)!}{r!}{\MARKA{(n-r-1)!}} $$

僕「きっとそうだよ。どれが『こっち』でどれが『そっち』かわからないけど」

テトラ「はい。『こっち』は $\MARKB{(r-1)!}$ です。 だって、 $r$ を $(r-1)!$ に掛けると $r!$ になりますから。 階乗ってそういうものですっ！」

$$ \begin{align*} r \times \MARKB{(r-1)!} &= r \times (\MARKB{(r-1)\times(r-2)\times\cdots\times2\times1}) \\ &= r \times (r-1)\times(r-2)\times\cdots\times2\times1 \\ &= r! \end{align*} $$

僕「そうだね。 $r$ が $(r-1)!$ の先頭に吸い込まれたみたいだ」

テトラ「ほんとですね……それから、同じように $n-r$ を $(n-r-1)!$ に掛けると $(n-r)!$ になります」

$$ \begin{align*} (n-r) \times \MARKA{(n-r-1)!} &= (n-r) \times (\MARKA{(n-r-1)\times(n-r-2)\times\cdots\times2\times1}) \\ &= (n-r) \times (n-r-1)\times(n-r-2)\times\cdots\times2\times1 \\ &= (n-r)! \end{align*} $$

僕「これで通分ができるね」

テトラ「はいはい、計算が進みますっ！」

$$ \begin{align*} & \BINOM{n-1}{r-1} + \BINOM{n-1}{r} \\ &= \BIFRAC{(n-1)!}{(r-1)!}{(n-r)!} + \BIFRAC{(n-1)!}{r!}{(n-r-1)!} \\ &= \BIFRAC{\MARKB{r}(n-1)!}{\MARKB{r}(r-1)!}{(n-r)!} + \BIFRAC{\MARKA{(n-r)}(n-1)!}{r!}{\MARKA{(n-r)}(n-r-1)!} \qquad \REMTEXT{分母を揃えている途中です} \\ &= \frac{\MARKB{r}(n-1)!}{\MARKC{r!\SP(n-r)!}} + \frac{\MARKA{(n-r)}(n-1)!}{\MARKC{r!\SP(n-r)!}} \qquad \REMTEXT{分母が揃いました！} \\ &= \BIFRAC{r(n-1)! + (n-r)(n-1)!}{r!}{(n-r)!} \qquad \REMTEXT{分子同士の和にできました} \\ &= \BIFRAC{r\MARKA{(n-1)!} + (n-r)\MARKA{(n-1)!}}{r!}{(n-r)!} \qquad \REMTEXT{$\MARKA{(n-1)!}$でくくれそう……} \\ &= \BIFRAC{(r + (n-r))\MARKA{(n-1)!}}{r!}{(n-r)!} \qquad \REMTEXT{$\MARKA{(n-1)!}$でくくりました} \\ &= \BIFRAC{(\CANCEL{r} + n \CANCEL{{}-r})(n-1)!}{r!}{(n-r)!} \qquad \REMTEXT{計算を進めて……} \\ &= \BIFRAC{n (n-1)!}{r!}{(n-r)!} \qquad \REMTEXT{計算を進めて……} \\ &= \BIFRAC{n!}{r!}{(n-r)!} \qquad \REMTEXT{ようやく……} \\ &= \BINOM n r \qquad \REMTEXT{できましたっ！} \end{align*} $$

僕「できたね！」

テトラ「はいっ！　何とかめげずに計算できましたっ！」

僕「何だか、いつものテトラちゃんじゃないみたいだ……」

テトラ「はい？」

僕「あっ、ごめん！　これじゃ僕は一点減点になってしまう（第394回参照）」

テトラ「すみません、何のお話ですか？」

僕「いやあ、いつものテトラちゃんだったら文字が飛び交うのを嫌がるけど、 今日はてきぱき進むなあと思ったんだよ。 でもそれを『いつものテトラちゃん』って決めつけるのは良くないよね」

テトラ「ああ、そういうことですか。 でも、今回の《てきぱきテトラ》には不安解消の秘密兵器があるんです」

僕「秘密兵器って？」