登場人物紹介
僕:数学が好きな高校生。
ユーリ:僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
僕とユーリは、パスカルの三角形を使って楽しい数学トークを行っている。
パスカルの三角形の中に組み合わせの数が出てくるのはどうしてかというユーリの疑問をきっかけにして、 僕たちはいま、組み合わせの数についておさらいしているところだ(第391回参照)。
僕「……システマティックっていうのは、『系統立てている』という意味の英語だよ。 行き当たりばったりに書き並べたんじゃないってこと。 英和辞典で英単語がアルファベット順にならんでいるのと同じように、 組み合わせを列挙している」
ユーリ「いやー、全然意識してませんでしたぜ、ダンナ」
僕「誰がダンナだよ。
《
樹形図で、
ユーリ「樹形図は学校で習ったよ。でもシステマティックって習ってない」
僕「システマティック(systematic)に数えるっていうのは、このあいだテトラちゃんが言ってたことだよ。 根気よく数えるために大事だって話だったかな。テトラちゃんはそういうのが好きなんだね」
ユーリ「テトラさん、言いそう」
僕「システマティックに数えたり、列挙したりする方法は他にもあるよ。たとえば……」
ユーリ「たとえば、表でしょ!? ユーリ、作れるよ。ほら、こんな表」
ユーリが作った表(?)
僕「なるほど……ん?」
ユーリ「お兄ちゃん、もちろんわかるよね、この表。
《
僕「いや、これはこれで正しいんだけど、
この表は、
ユーリ「え? あ、ほんとだ!」
僕「
ユーリ「そっかー。表にすればいいってもんでもないのかー」
僕「ところで、もともとのユーリの研究に戻ろうか」
ユーリ「ユーリの研究って何だっけ」
僕「がく。パスカルの三角形を作るときには、上の行の二つの数を足して下の行を作ることを繰り返す。 どうしてその作り方で《組み合わせの数》が出てくるのか——だろ?(第391回参照)」
ユーリ「そーだった」
僕「確かに、ユーリが言う通り、パスカルの三角形に出てくる数はすべて、
《
パスカルの三角形を、《組み合わせの数》の表に変形する
ユーリ「それそれ。不思議じゃん?」
僕「ユーリは不思議だと感じる。じゃあね、どういうところが不思議だと感じるのか、それを教えてほしいな」
ユーリ「そんなの、感覚的な話だもん」
僕「だからその感覚的な話を聞きたいんだけど」
ユーリ「どーゆーところが不思議か。んーとね……」
ユーリは天井を見上げて考え始めた。
彼女は飽きっぽいところもあるけれど、 水を向けてやるとものすごく真剣に考えるのだ。
僕「……」
ユーリ「……あのね、組み合わせの数ってめんどくさいよね。 システマティック(だっけ?)に数えないと間違えるくらいめんどくさい。 でも、二つの数を足すって簡単なことじゃん。そーゆーとこが不思議」
僕「なるほど。それは確かにそうだね。 すべての組み合わせを《もれなく、だぶりなく》数えるのは難しいし、 まちがいやすい。それなのにどうして二つの数を足すだけで組み合わせの数が得られるのか——言われてみればそうだね。 不思議と言えば不思議だ」
ユーリ「そんで?」
僕「二つの数を足すこと自体は簡単だけど、大事なのは何と何を足していることになるかだと思うよ。 パスカルの三角形で、足し算をしているところをじっくり調べてみようか。 特に、三角形の最初のところをズームアップしてみよう!」
ユーリ「おー!」
僕「こんなふうにズームアップしてみたよ」
ユーリ「これ、どゆこと?」
僕「パスカルの三角形の各行の両端は
ユーリ「
僕「その計算をあえてやらない。つまり
ユーリ「ほほー……なんで?」
僕「
ユーリ「ふむふむ」
僕「そしてその次の行も同じように、計算しないで式のまま書いておくことにする」
ユーリ「うーん……意味はわかるけど、めんどくさくしてるだけでは?」
僕「そうじゃないんだ。次に、
ユーリ「みちすじ?」
僕「三角形の一番上にある頂点の
ユーリ「ふむふむ?」
僕「わかるよね」
ユーリ「わかるけど、当たり前だからおもしろくない」
僕「次になるとちょっとおもしろいよ」
ユーリ「次?」
僕「
ユーリ「むむむ……ちょーっと待って!」
僕「待ってるよ」
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