第386回 シーズン39 エピソード6

「理解する」を理解する（後編）

書籍紹介：『数学ガールの秘密ノート／数を作ろう』

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登場人物紹介

僕：数学が好きな高校生。

テトラちゃん：僕の後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

僕とテトラちゃんは、村木先生からの《カード》に書かれていたベクトル空間の定義に取り組んでいる。

といっても、僕が彼女に教えるのではなく、 二人で一緒に読んでいくという《二人三脚読み》を試みているのだ。

これはテトラちゃん自身のアイディア（第384回参照）。

読んでいくスピードはすごくゆっくりだけれど、 僕たちは協力して、一歩一歩進んでいく……（第385回参照）

テトラちゃんは、一つ目の《こういった感じ》では、僕から彼女に向かって何かが流れるように手をなびかせる。

そして、二つ目の《こんな感じ》では、机に置いた《カード》から彼女に向かって何かをかき寄せるように手をなびかせた。

一生懸命だけど、何のジェスチャなのか、僕にはさっぱりわからない。

村木先生の《カード》

• $K$ を、体（たい）とします。
• $V$ を、加法群（群演算を加法と考え、二項演算子を $+$ で表したアーベル群）とします。
• $K\times V$ から $V$ への写像 $(a,x) \mapsto ax$ が存在して、
以下の（１）から（４）のすべてが満たされているとします。

（１）$K$ の任意の元（げん） $a$ と、 $V$ の任意の元 $x,y$ に対して、$$a(x + y) = ax + ay$$が成り立つ。

（２）$K$ の任意の元 $a,b$ と、 $V$ の任意の元 $x$ に対して、$$(a + b)x = ax + bx$$が成り立つ。

（３）$K$ の任意の元 $a,b$ と、 $V$ の任意の元 $x$ に対して、$$(ab)x = a(bx)$$が成り立つ。

（４）$K$ の単位元を $1$ とすると、 $V$ の任意の元 $x$ に対して、$$1x = x$$が成り立つ。

• このとき、 $V$ を「$K$ 上のベクトル空間」といいます。
• $V$ の元を「ベクトル」といいます。
• $K$ の元を「スカラー」といいます。
• 写像 $(a,x) \mapsto ax$ を「スカラー倍」といいます。
• $V$ の元 $ax$ を「$x$ の $a$ 倍」といいます。

※松坂和夫『代数系入門』を参考にしています。

• $K\times V$ から $V$ への写像 $(a,x) \mapsto ax$ が存在して、
以下の（１）から（４）のすべてが満たされているとします。

そして、僕は正直驚いた。

「$K\times V$ から $V$ への写像 $(a,x) \mapsto ax$ が存在して、 以下の（１）から（４）のすべてが満たされているとします」という一文の中に、 これほどたくさんの情報が詰め込まれていることに驚いた。

こういう文は何回か読んだ経験があるから、それほど苦労なく読むことができる。 でもテトラちゃんがやったように、一つ一つを分解して改めて眺めると、 けっこうたくさんのことが書かれているんだな……

僕は数学辞典の「直積」の項目を開いた。

直積

二つの集合 $X,Y$ の直積とは、 $X$ の元 $x$ と $Y$ の元 $y$ の組 $(x,y)$ 全体を指し、 $X \times Y$ と表す。 すなわち、 $$ X \times Y = \SET{(x,y)|x \in X, y \in Y} $$ である。 $X \times Y$ を直積集合ということもある。（以下略）

（岩波数学入門辞典より）

テトラちゃんはノートを取り出して何かを書き始めた。

僕は、彼女が何を書くのか眺めようとしたけれど……そのとき、 こんな言葉が僕の心にふいに浮かんだ。

• 彼女は彼女自身の課題（・・・・・・・）に取り組んでいる。
• だとしたら、僕は僕自身の課題（・・・・・・）に取り組むべきじゃないか。

うん、まったくだ。まったくその通りだ。

僕は、《カード》が何を意味しているか、一応は読み解くことができる。 ベクトル空間の定義はすでに何回か学んだことがあるからだ。

もしもテトラちゃんから「教えて」と言われたら、 この《カード》の内容を解説できると思う。

でも僕は、たとえばいま、テトラちゃんがノートに何を書こうとしているのかは知らない。

それを予想してみるのはどうだろう。

直積を理解しようとする現在のテトラちゃんは、 ノートに何を書いて、何を考え、どんな理解に向かおうとするだろうか。

それを、予想してみよう。

理由はわからないけれど——それが、僕自身の課題（・・・・・・）のように思えるからだ。

僕は、目を閉じて考える。彼女はここから何を考えるだろうか。

うん、予想できる。なぜなら、僕だって同じことをするからだ。

直積の理解を確かめるため、恐らく、テトラちゃんは——