第359回　第1回〜第180回を振り返る - Web連載「数学ガールの秘密ノート」（結城浩）

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作者より

結城浩です。いつも「数学ガール」の応援ありがとうございます。

2022年のcakesサービス終了にともない、 Web連載「数学ガールの秘密ノート」の引っ越しが行われました。ちょうどよい機会なので、登場人物たちにそれまでの振り返りをしてもらいます。

第359回では「第1回から第180回まで」を振り返り、第360回では「第181回から第358回まで」を振り返ります。

彼女たちの振り返りを聞いていると、ずいぶんいろんな話題を話してきたんだなあ……と思います。

それではお楽しみください。

登場人物紹介

僕：数学が好きな高校生。

ユーリ：僕のいとこの中学生。僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。論理的な話は好きだが飽きっぽい。

テトラちゃん：僕の後輩。好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

ミルカさん：数学が好きな高校生。僕のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。

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第1回〜第10回「式とグラフ」（2012年〜2013年）

僕「ええと、ということで、今回と次回はおしゃべりしながらこれまでを振り返りましょうになったみたいだよ」

ユーリ「でもね、お兄ちゃん。360回分、全部振り返ったらすごい数になっちゃうし、一年くらい掛かるんじゃね？」

僕「いや、各シーズン単位でまとめていけばいいんじゃないかな」

ユーリ「シーズン？」

ミルカ「10回単位」

僕「10回ごとに思い出深い話題や、印象に残った問題を挙げていくことにしようか」

テトラ「それにしても第1回〜第360回でちょうど360回分あるというのは、まるでぐるっと一回りするみたいですね。360度、ぐるっと」

僕「第1回〜第10回の「式とグラフ」シーズンでは、式とグラフのおしゃべりをしたね。連立方程式の話をしたり、比例と反比例の話をしたり、二次関数の話をしたり」

テトラ「なんと言っても、 $$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $$ という恒等式がおもしろかったですっ！　その図形的解釈ですね（第2回参照）。これです」

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ の図形的解釈

ユーリ「えーと……左が長方形の面積 $(a + b)(a - b)$ で、右が正方形の面積 $a^2$ から、小さな正方形の面積 $b^2$ を引いたもの。　たーのしー！」

ミルカ「式を図形で解釈する。図形を式で表現する。どちらも楽しい」

僕「《二つの世界》をつなぐからだね」

第11回〜第20回「整数で遊ぼう」（2013年）

僕「第11回〜第20回は「整数で遊ぼう」のシーズン。謎のパズルで遊んだり、数当てゲームをしたり。いろいろやったね。フィボナッチ数列も出てきた」

ユーリ「やっぱ、ここではぐるぐるワンの時計パズルでしょーな（第19回参照）」

僕「カウントボタンを押すと針が進む三つの時計を使ったパズルだね。ただし、2回でひとまわり、3回でひとまわり、5回でひとまわりするという特殊な時計」

ぐるぐるワンの時計パズル（初期状態0,0,0）

ぐるぐるワンの時計パズル（カウントボタンを2回押した状態0,2,2）

テトラ「これは……パズルなんですか？」

ユーリ「そだよん。状態0,0,0からカウントボタンを何回押せば状態0,2,4になるかにゃ？」

テトラ「なるほど。根気よく考えればわかりますけど……」

ミルカ「三つの時計が一つの時計になるわけだな」

ユーリ「あっ、ミルカさま、ヒントだめ！　……って、いまのがヒント？」

第21回〜第30回「丸い三角関数」（2013年）

ミルカ「第21回〜第30回は「丸い三角関数」のシーズン。 $\sin, \cos$ の定義から加法定理まで」

ユーリ「ユーリは、お兄ちゃんと円周率を数えたよ！」

テトラ「円周率を……数える？　どういうことですか、ユーリちゃん」

ユーリ「方眼紙に円を描いて……こんな感じ！」

方眼紙に円を描く

テトラ「ああ……マス目を数えるということですね」

ユーリ「内側と外側を数えたんだよ！」

僕「半径 $r$ の円を描いて、《円の内側にすっぽり入る正方形の個数》と《円を包み込むための正方形の個数》を数える。そうすると、その間に《円の面積 $S$》がはさまれるはずだよね。すると、 $$ S = \pi r^2 $$ の式を使えば、円周率 $\pi$ の値がどのくらいになるか、はさみうちでわかる」

テトラ「おもしろそうですね……これで $3.14$ が求められるなんてすごいですっ！」

ユーリ「……」

僕「……」

テトラ「えっえっ？　違うんですか？」

ユーリ「えへへ……（第27回参照）」

僕「そうはうまくいかなかったよね」

ユーリ「でも、あとからアルキメデスの方法で、 $3.14$ までは行ったよ！（第28回参照）」

第31回〜第40回「数列の広場」（2013年）

ミルカ「第31回〜第40回は「数列の広場」のシーズン」

ユーリ「確か、お兄ちゃんがオセロでボロ負けしたシーズン（第31回参照）」

僕「そういう話よりも、数列の階差数列を調べた話を思い出そうよ（第32回参照）」

平方数の階差数列

テトラ「あたしは何と言っても、$$\sum$$の使い方を学んだのが大きかったです。意味がわかればこわくなくなりました（第33回参照）」

僕「テトラちゃんは、 $$ \sum_{k = 1}^{n} f_k(x) $$ という数式が難しいという話を持ってきたね」

ユーリ「難しくないの？　この $f_k(x)$ って何？」

僕「もちろん、この式が何を表しているかは説明がないとわからないけど、この式そのものは、 $$ f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x) $$ といってるだけなんだ」

ミルカ「和だ」

第41回〜第50回「微分を追いかけて」（2013年）

僕「第41回〜第50回は「微分を追いかけて」のシーズン。これはユーリの無茶ぶりがすごかった」

ユーリ「何だっけ？」

僕「『微分をちゃちゃっと教えろ！』と命令してきたよね（第43回参照）」

ユーリ「でも、お兄ちゃん、ちゃんと教えてくれたじゃん。無茶じゃないね」

テトラ「グラフを使ったんですよね」

僕「そうそう。《位置のグラフ》から《速度のグラフ》を得るのは、時刻で微分することだから。直線上を等速度で移動している点Pの位置をpとして、速度をvとすると、こうなる」

第51回〜第60回「ベクトルの真実」（2013年〜2014年）

ユーリ「第51回〜第60回は「ベクトルの真実」のシーズンだったよ。　ベクトル真実（まみ）ちゃんって、誰？　新キャラ？」

僕「真実（まみ）じゃなくて、真実（しんじつ）」

テトラ「このシーズンで一番感動したのはこの問題でした（第57回参照）」

問題

円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(a, b)$ で、この円に接する直線の方程式を求めよ。

僕「内積で考えたんだっけ」

テトラ「そうです、そうです」

僕「ベクトルの内積は慣れないとまったくわからないけど、慣れてくるといろんなものが内積に見えてくるよね」

第61回〜第70回「場合の数」（2014年）

ミルカ「第61回〜第70回は「場合の数」のシーズンか。何を話したかな」

僕「順列と組み合わせだね。円順列、数珠順列……」

ユーリ「集合のヴェン図もやったよ。時計の文字盤を使った、こんなクイズ（第63回参照）」

クイズ（どんな数の集合？）

$\SET{2,3,4,8,9,10}$ って、どんな数の集合？

テトラ「どんな数の集合って、どう答えればいいんですか？」

僕「2の倍数と3の倍数を使って答えるクイズだっけ？」

ユーリ「そーそー！　（《2の倍数である》かつ《3の倍数でない》数）または（《2の倍数でない》かつ《3の倍数である》数）の集合！」

第71回〜第80回「指数と対数」（2014年）

ユーリ「第71回〜第80回は「指数と対数」のシーズンで、ものすごーく大きな数が出てきたんだよね。テトレーション」

テトラ「あ、あたしですか？」

ユーリ「テトラさんじゃなくて、テトレーションだよん（第72回参照）」

僕「加算を繰り返すのが乗算。乗算を繰り返すのが冪乗。そして冪乗を繰り返すのがテトレーション。ギリシア語の接頭辞はモノ(1)→ジ(2)→トリ(3)→テトラ(4)という順番で、冪乗の次という意味でテトレーションという名前になったんだね。加算→乗算→冪乗→テトレーションという順番で 4 番目」

冪乗（exponentiation）は乗算の繰り返し

$$ a^{n} = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{\REMTEXT{$n$個の$a$}} $$

テトレーション（tetration）は冪乗の繰り返し

$$ {}^na = \underbrace{a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}}_{\REMTEXT{$n$個の$a$}} $$

テトラ「不思議な書き方ですねえ」

僕「${}^{5}{2}$ を計算したら、すさまじい大きさの数になったよ。まず……」

$$ 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936 $$

テトラ「す、すごいですね」

僕「……というこの数の、256乗になるんだ！」

$$ {}^{5}{2} = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936^{256} $$

テトラ「！！！！」

第81回〜第90回「踊る曲線」（2014年）

テトラ「第81回〜第90回は「踊る曲線」のシーズンで、いろんな曲線についておしゃべりしました」

僕「印象的だったのは、テトラちゃんの雪かなあ」

テトラ「わ、忘れてくださいっ！」

ユーリ「雪って何？」

テトラ「Koch Snowflake……《コッホ雪片》ですけど、手描きに挑戦したんですが、うまくいかなくてですね（第85回参照）」

テトラちゃんの描いた《コッホ雪片》

僕「いや、これは難しいよ」

ユーリ「お兄ちゃんも描いたの？」

「僕」の描いた《コッホ雪片》

ユーリ「これ、どーゆー図形なの？」

ミルカ「コッホ雪片の例はこれ」

《コッホ雪片》の例

テトラちゃんからの挑戦状

きっと読者さんの中には《コッホ雪片ぐらいきれいに描けるよ》と思っている方がいらっしゃるかもしれませんが、ほんとうに意外と難しいんですよ。

お手本なし、下書きなし、フリーハンドの一筆書きで、ある程度のレベルの《コッホ雪片》を描いてみてくださいね。

大きな正三角形や正六角形でアタリをつけたりしちゃだめですよっ！

テトラ「たくさんの方が描いてくれました！　ありがとうございますっ！」

数学ガールの挑戦状：コッホ雪片をフリーハンドで描いて！ - Togetter

第91回〜第100回「不等式」（2014年）

僕「第91回〜第100回は「不等式」のシーズン。いろんな不等式の証明をしたり、数の大小関係を調べたり、領域を描いたり……」

ユーリ「お兄ちゃんがムキになって出してきたクイズがこちら（第92回参照）」

クイズ

$a,b,c,d$ を実数とする。

もしも、 $$ a > b > c > d $$ とするとき、以下の $A,B,C$ の大小関係について何がいえるか。 $$ \left\{\begin{array}{llll} A &= ab + cd \\ B &= ac + bd \\ C &= ad + bc \\ \end{array}\right. $$

テトラ「『何がいえるか』というのは $A,B,C$ の大小関係を答えるということでしょうか」

僕「そうだね」

テトラ「これは、根気よく調べれば！」