第358回 シーズン36 エピソード8

アルキュタスの解法

《予言者読み》は続く

ユーリ「立方体倍積問題の次の解法は？」

僕「新たな登場人物が出てきたよ。アルキュタスだ」

ユーリ「何気にめっちゃすごいこと書かれてない？　機械仕掛けで空を飛ぶ鳩を作った！」

僕「すごいけど、これ以上の情報は書かれてないなあ。 それにしても、アルキュタスはいろんなことができた人なんだね」

ユーリ「そして、立方体倍積問題も……」

僕「この解法も、何だかすごそうだな」

ユーリ「三次元的ってどーゆー意味だろ」

僕「ここに書いてある通り、三つの立体を作って、その交点として二つの比例中項を求めるってことなんだろうと思うけど」

ユーリ「ふーん……トーラスってなに？」

僕「トーラスはドーナツの表面のような面だね。円柱はわかるよね」

ユーリ「円錐もわかるよ。でもその三つの交点って、さっぱりわかんない！」

僕「僕もまだわからないよ。 だって、立体の大きさや配置が決まらなければ交点だって決まらない。 アルキュタスの解法はこれらの三つの立体を作っていく手順を示しているはずだね」

ユーリ「手順？」

僕「だから、一歩一歩追っていけば、必ずその立体が作れるはず。そういう手順が次に書かれているはずだ。それは想像が付く」

ユーリ「立体を作る手順……折り紙の手順みたいなもん？　お兄ちゃん、《予言者読み》してよ」

僕「具体的な手順を読み取るのはまだ無理だよ。でも言えることは、その手順の後で、確かにそれが二つの比例中項になっている、と示されているはず」

ユーリ「それっぽく決まるじゃなくて、バシッと決まる？」

僕「そうだね。じゃあ、次のページに進もう」

ユーリ「だーかーらー！　図が見えちゃうって言ったじゃん！　パッと進めないでよー！　《予言者読み》してるんだからさー」

僕「ごめんごめん……でも、これは無理かも。この図の複雑さは……」

ユーリ「えっ、もーあきらめるの？　早すぎ！　『一歩一歩追っていけば、必ずその立体が作れるはず』っていったじゃん」

僕「了解、了解。そうだったね。さて、じゃあ、説明を読みながらこの図を解読していくか……」

ユーリ「未来を読み取る《予言者読み》じゃなくて、古代文字を読み解く《探険者読み》じゃのう……」

トーラス

僕「まずは、これまでと同様だね。立方体倍積問題に直接取り組むんじゃなくて、ヒオスのヒポクラテスが発見した二つの比例中項の問題に取り組んでる（第355回参照）」

ユーリ「うん」

僕「（１）から順番に読んでいこう。こういうときは先を急いじゃだめだ」

ユーリ「《探険者読み》はつらい……」

僕「与えられているものは $a$ と $b$ で、ここではその二つの数をもとにして円αを作っている」

ユーリ「（２）は円βだけど、ややこしいこと言ってるよ。平面αと垂直ってどゆこと？」

僕「あれ……この図には円βは描かれてないなあ。それから（３）のトーラスも描かれていない。これは……文章を読むだけじゃダメだね。図に書き込みしながら読んでいくことにしようか。ええと……」

ユーリ「うわあ……すでにぐちゃぐちゃ」

僕「$a,b$ を描き入れて、円αをはっきりさせた。円αが楕円に見えるのは、斜め上から見てるためだね。そして、その円αに垂直に円βを描いた。 円αと円βは直径ACを共有していて垂直に交わっている。この円βを回転軸で回転させるとトーラスになる」

ユーリ「トーラスになる？　……ドーナツの穴、つぶれてるね」

僕「そうだね。円βが回転軸に接しているからね。ともかくここまでは解読できた。トーラスを描くともっとごちゃごちゃになるから、 心の中で描くことにしよう。想像できる？」

ユーリ「……なんとか」

円柱と円錐

僕「図に描きこんでいくと……こうかな」

ユーリ「おお……」