第269回シーズン27 エピソード9

分数を極める：連分数の果てに（前編）

登場人物紹介

僕：数学が好きな高校生。

テトラちゃん：僕の後輩。好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

ミルカさん：数学が好きな高校生。僕のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。

図書室にて

ある日の放課後。

僕が図書室に行くと、テトラちゃんが熱心に書き物をしていた。

僕「テトラちゃん、何を書いてるの？」

テトラ「あっ、先輩！　グラフですっ！」

僕「グラフ……何のグラフ？」

テトラ「連分数のグラフです。あ、いいえ、違いますね。連分数のグラフといいますか……数列のグラフです」

僕「？」

テトラ「あのですね。あたしがもらった《カード》とミルカさんの《カード》から、調和数のことや、連分数のことを考えたじゃないですか」

僕「そうだね。いろんな話題が繋がって楽しかった」

テトラちゃんの《カード》

ミルカさんの《カード》

テトラ「はい。不等式で大きさを調べたり、極限を考えたりしました。でも、あたし、グラフを描いていなかったことに気付いたんです」

僕「なるほどね。一般項が $H_{n}$ で表される数列 $H_{1}, H_{2}, H_{3}, \dots$ のグラフを描くとか？」

H_{n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}

テトラ「はいはい、そうです。それから、連分数で表せる $ϕ_{n}$ もです。 $ϕ_{n} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{⋱ \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}}} （横線 n 本）$ これを使った、 $ϕ_{1}, ϕ_{2}, ϕ_{3}, \dots$ のグラフも描きます。グラフだと値の変化がわかりやすくなりますから」

僕「確かに」

テトラ「 $y = H_{n}$ のグラフはこうです」

$y = H_{n}$ のグラフ

僕「なるほどね。 $H_{n}$ の方は、 $n \to \infty$ で $H_{n} \to \infty$ になることを証明したから、正の無限大に発散するはず」

テトラ「はい、そうですね。グラフではじわじわ増えていく感じなんですね」

僕「 $ϕ_{n}$ も描いたの？」

テトラ「はい。 $y = ϕ_{n}$ のグラフはこうなります。わかりにくかったので、 $y$ 方向に引き延ばしてあります」

$y = ϕ_{n}$ のグラフ

僕「へえ……こんな感じになるんだ。すぐに収束しちゃうんだなあ……」

テトラ「はい。 $ϕ_{n}$ の方は、 $n \to \infty$ で $ϕ_{n} \to ϕ$ に収束します。黄金比 $ϕ$ が極限値です」

僕「 $ϕ_{n} = \frac{F_{n + 1}}{F_{n}}$ だったよね」

テトラ「そうです。 $ϕ_{n}$ は、フィボナッチ数列の隣り合う項の比でした（第264回参照）……それを計算してみると、 $ϕ_{n}$ の値は増加と減少が交互にやってくるようです」

僕「ああ、そうなんだ」

テトラ「え？」

僕「うん、あのね、 $F_{n} < F_{n + 1}$ だから、つい $ϕ_{n}$ も単調増加すると思っちゃったんだよ。錯覚、錯覚。勘違い、勘違い。フィボナッチ数列 $F_{n}$ が増加するからといって、その比 $ϕ_{n}$ まで増加するとは限らないよね。当たり前の話」

テトラ「ああ……そういうことですか。具体的に計算するとよくわかります。こんなふうになりましたから」

$ϕ_{n}$ の表

$\begin{array}{llll} ϕ_{1} & = 1 / 1 & = 1 \\ ϕ_{2} & = 2 / 1 & = 2 \\ ϕ_{3} & = 3 / 2 & = 1.5 \\ ϕ_{4} & = 5 / 3 & = 1. \dot{6} \\ ϕ_{5} & = 8 / 5 & = 1.6 \\ ϕ_{6} & = 13 / 8 & = 1.625 \\ ϕ_{7} & = 21 / 13 & = 1.6 \dot{1} 538 \dot{4} \\ ϕ_{8} & = 34 / 21 & = 1.6 \dot{1} 9047 \dot{6} \\ ϕ_{9} & = 55 / 34 & = 1.6 \dot{1} 76470588235294 \dot{1} \\ ϕ_{10} & = 89 / 55 & = 1.6 \dot{1} \dot{8} \\ ϕ_{11} & = 144 / 89 & = 1.6 \dot{1} 797752808988764044943820224719101123595505 \dot{6} \\ ϕ_{12} & = 233 / 144 & = 1.6180 \dot{5} \\ ϕ_{13} & = 377 / 233 & = 1. \dot{6} 18025751072961373390557939914163090128755364806866952789699570815450643776824034334763948497854077253218884120171673819742489270386266094420600858369098712446351931330472103004291845493562231759656652360515021459227467811158798283 \dot{2} \\ ϕ_{14} & = 610 / 377 & = 1. \dot{6} 1803713527851458885941644562334217506631299734748010610079575596816976127320954907 \dot{1} \\ ϕ_{15} & = 987 / 610 & = 1. \dot{6} 18032786885245901639344262295081967213114754098360655737704 \dot{9} \\ ϕ_{16} & = 1597 / 987 & = 1. \dot{6} 1803444782168186423505572441742654508611955420466058763931104356636271529888551165146909827760891590678824721377912867274569402228976697 \dot{0} \\ ϕ_{17} & = 2584 / 1597 & = 1. \dot{6} 18033813400125234815278647463994990607388854101440200375704445835942391984971822166562304320601127113337507827175954915466499686912 \dot{9} \\ ϕ_{18} & = 4181 / 2584 & = 1.618 \dot{0} 3405572755417956656346749226006191950464396284829721362229102167182662538699690402476780185758513931888544891640866873065015479876160990712074 \dot{3} \\ ϕ_{19} & = 6765 / 4181 & = 1. \dot{6} 1803396316670652953838794546759148529060033484812245874192776847644104281272422865343219325520210475962688352068883042334369767998086582157378617555608706051183927290121980387467113130829944989237024635254723750298971537909591006936139679502511360918440564458263573307821095431714900741449414015785697201626405166228175077732599856493 \dot{6} \\ ϕ_{20} & = 10946 / 6765 & = 1.6 \dot{1} 80339985 \dot{2} \end{array}$

僕「これは……」

テトラ「 $ϕ_{1} = 1$ から $ϕ_{2} = 2$ では大きくなり、 $ϕ_{2} = 2$ から $ϕ_{3} = 1.5$ では小さくなり、 $ϕ_{3} = 1.5$ から $ϕ_{4} = 1. \dot{6}$ では大きくなり……と、大きくなるのと小さくなるのが交互にやってきます。 $ϕ_{7}$ より後はぜんぶ $1.61 \dots$ になりますから、グラフではもう区別つかないですね」

僕「 $ϕ_{4} = 1. \dot{6}$ というのは $ϕ_{4} = 1.666 \dots$ のことだよね。 $ϕ_{4} = 1. \dot{6} = 1.666 \dots$ から $ϕ_{5} = 1.6$ は小さくなってる」

テトラ「はい、そうです。小数表記で繰り返しになる範囲は、数字の上にドットを打ちました。たとえば、 $ϕ_{7} = 21 / 13 = 1.6 \dot{1} 538 \dot{4}$ というのは、 $1$ から $4$ までを繰り返す、 $ϕ_{7} = 21 / 13 = 1.6 15384 15384 15384 15384 \dots$ のことです」

僕「おもしろいなあ。 $ϕ_{n} = \frac{F_{n + 1}}{F_{n}}$ だから必ず有理数になる。だから、小数表記すると必ずどこかで割り切れるか循環するんだけど、ときどきものすごく桁数が多くなる小数もあるんだね」

テトラ「そうなんですよ。びっくりしました。特に $ϕ_{19}$ がものすごいですっ！」

\begin{array}{rcl} ϕ_{19} & = & 6765 / 4181 \\ = & 1. \dot{6} 180339631667065295383879454675914852906 \\ 0033484812245874192776847644104281272422 \\ 8653432193255202104759626883520688830423 \\ 3436976799808658215737861755560870605118 \\ 3927290121980387467113130829944989237024 \\ 6352547237502989715379095910069361396795 \\ 0251136091844056445826357330782109543171 \\ 4900741449414015785697201626405166228175 \\ 077732599856493 \dot{6} \end{array}

僕「これを根気よく計算するなんて、さすが！」

テトラ「あ、あの……」

僕「うん、やっぱりテトラちゃんだね！！」

テトラ「あの……おほめいただいてすみませんが、あたし、WolframAlphaを使ってしまいました……」

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（2019年8月9日）

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結城浩（ゆうき・ひろし） @hyuki

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