第226回 シーズン23 エピソード6

最小上界を求めて（後編）

僕「最大値って、上界のうち最小のものじゃないのかな……」

ミルカ「それはいい予想。閉区間上の連続関数 $f(x)$ が取り得る値の最小上界は、 $f(x)$ が取り得る値の最大値になる。あとはそれを証明するだけだ」

僕「証明するだけね……」

テトラ「せ、先輩方。ちょっとお待ちください。テトラはただいま混乱中です。 考えるのは上界の最小値でいいんでしょうか。上界の最大値ではなく？」

僕「上界の最小値を考えるのでいいんだよ、テトラちゃん。 上界はたくさんあるけど、 そのうち最小のものが関数 $f(x)$ の最大値になるっていう話なんだから」

テトラ「ちょっと、図に描かせてください……」

僕「どう？」

テトラ「なるほど……わかりました。最小上界、つまり上界のうち一番小さなものが、関数の最大値になりそうだ……ということですね」

ミルカ「定義も再確認」

ミルカ「最小上界のことは上限（じょうげん）と呼ぶけれど、 いまは最小上界という言葉のまま話そう」

僕「最小上界が結局は関数 $f(x)$ の最大値になるんじゃないか、 というのが僕の予想だよ」

ミルカ「では証明を探っていこう。まず、最小上界を $M_0$ と置く」

僕「えっ……？」

テトラ「ミルカさん？　あ、あの……いまのは？」

ミルカ「ブックマーク代わりだよ」

テトラ「ブックマーク？」

ミルカ「話を進めよう。最小上界 $M_0$ はもちろん上界でもある。したがって、閉区間 $[a,b]$ に属するどんな実数 $x$ に対しても、 $f(x) \LEQ M_0$ が成り立つ。それはなぜか。テトラ？」

テトラ「は、はい。わかります。 $y = f(x)$ のグラフは $y = M_0$ の水平線以下にぜんぶ入っていることになりますから」

僕「というか、上界の定義そのものだよね。 $M_0$ が上界であるというのは、 $[a, b]$ に属するどんな実数 $x$ に対しても $f(x) \LEQ M_0$ ということだから」

テトラ「そうですね」

ミルカ「最小上界 $M_0$ は $f(x) \LEQ M_0$ を満たす。 だから、私たちの関心はこの不等式の等号が成立するかどうかだ。 $f(m) = M_0$ を成り立たせる $m$ は閉区間 $[a,b]$ 内に存在するか。 もしそのような $m$ が存在するならば、関数 $f(x)$ は最大値 $f(m)$ を取る。 $f(x) \LEQ M_0 = f(m)$ になるから」

僕「そしてそのとき、最大値と最小上界は一致するわけだね」

ミルカ「そういうこと」

テトラ「あ、あのう……あたしはここまで話についてきていると思うのですが、 いま、とても不安です」

僕「どうして？」

テトラ「あのですね。 $f(m) = M_0$ を成り立たせる $m$ が存在するかどうか……あたし、 こういう問題を見るといつも思うんです。いったいどこから考え始めればいいんでしょうか。 $f(x)$ という関数は具体的に与えられていません。 それなのに何かを考えなさいと言われると、 雲をつかむような気持ちになるんです。 いつもです。いつも、そんな気持ちになります」

僕「$f(x)$ は与えられているよね」

テトラ「えっ？」

僕「問題文に、実数の閉区間 $[a,b]$ から実数全体の集合への連続な関数 $f(x)$ とあるから……」

テトラ「連続な関数……という部分ですか？」

僕「きっとそれを使うんだと思うよ。《与えられているものは何か》と問いかけるなら、 $f(x)$ は連続……という条件と、 $M_0$ は最小上界である……という条件をきっと使うことになる」

ミルカ「……」

テトラ「$f(x)$ は連続という条件を、使う……？」

僕「たぶん、数列を作るんだと思うよ。 ほらさっきもそうだったよね。 数列を作って、その極限を考えた（第225回参照）」

テトラ「今回も？」

僕「うん、そうだよ。きっと数列を作るんだ。 そして関数の連続性を使って、 極限値 $M_0$ に等しくなる $f(x)$ がちゃんと存在する！……という筋書き」

ミルカ「あとはどんな数列を作るかだけの問題だな」

僕「うーん……」

ミルカ「《似た問題を知らないか》」

僕「うん、だから知ってるよ。でもあのときは上界が存在しないと仮定した背理法だったから……」

ミルカ「だから、話は違うと？」

僕「だって、ほら、 $1 < f(x_1), 2 < f(x_2), 3 < f(x_3), \ldots$ という性質を持つ $\LL x_n \RR$ を考えたよね。 今回は $f(x_n)$ を正の無限大に発散させるわけには行かなくて、極限値として……ん？」

ミルカ「今回は $f(x_n)$ を最小上界 $M_0$ に収束させたいんだろう？」

僕「……」

テトラ「先輩？」

僕「わかってきたぞ。いま考えているのはこういう問題4だよね」

僕「うん。こういう不等式を考えてみるんだ！」

テトラ「$M_0$ は最小上界ですよね。それよりも $\frac1n$ だけ小さな実数よりも $f(x)$ が大きい……？」

僕「$n$ は正の整数とする。たとえば、 $1$ のとき、 $$ M_0 - \frac{1}{1} < f(x) $$ という不等式を満たす $x$ は存在するかというと……」

テトラ「……わかりません」

僕「必ず存在するんだよ、テトラちゃん」

テトラ「……なぜですか。なぜそんなことがいえるんでしょうか」

僕「だって、 $M_0$ は最小上界だよね。 $M_0 - \frac{1}{n}$ は最小上界より小さくなる。 最小上界より小さいということは、 $M_0 - \frac{1}{n}$ は $f(x)$ の上界にはなれない。 上界ではない、ということは上界の定義を考えると、 $$ M_0 - \frac{1}{1} < f(x) $$ を満たす $x$ が閉区間 $[a,b]$ に存在するといえる！ そこで、その $x$ の一つを選んで $x_1$ とする」

テトラ「何となく……わかってきました。こういう感じでしょうか」

僕「そうだね。そしてこのグラフでいうと、 $x_1$ は $x$ 軸のこの範囲から選ぶ」

テトラ「ということは、 $x_2, x_3, x_4$ はここから選ぶのですね」

僕「それをずっと続けていける。 $n = 1,2,3,\ldots$ でね。だって、 $M_0$ は最小上界だから！　だから、 $x_1, x_2, x_3, \ldots$ の存在がいえる」

ミルカ「ふむ。それで？」

僕「それで、この問題4は証明できたね」

ミルカ「……」

僕「数列 $\LL x_n \RR$ を考えると、 これは無限数列になって、しかも $x_n \in [a,b]$ になる。 ということは、 二つの山になったりしても大丈夫なように、収束する部分列を取る考え方が使えるね（第225回参照）。 数列 $\LL x_n \RR$ から、必ず収束する部分列 $\LL X_n \RR$ を作ることができる。 $[a,b]$ という区間を二等分して、無数の項を含んでいる区間の方を選んでいくという論法。 実数列を考えているから、区間縮小法を使って極限値 $X_\infty \in [a,b]$ の存在がいえる」

テトラ「なるほど！　確かに同じ議論ですね！」

僕「関数 $f(x)$ は連続だから、 $n \to \infty$ で $f(X_n) \to f(X_\infty)$ になって、 $f(X_\infty) = M_0$ がいえた。これはすなわち $f(x) = M_0$ を満たす $x$ が存在すると主張している」

テトラ「これで、問題4が証明できて、最小上界 $M_0$ と $f(x)$ の最大値が一致することがわかりましたから、 問題3も証明できましたね！」

僕「そうだね！」

ミルカ「残念ながら、まだだ」

テトラ「え……まだですか？」

僕「どうして？」

ミルカ「では、ブックマークに戻ろう」

ミルカ「私たちは最小上界を $M_0$ と置いた。 そして問題4ではその $M_0$ を使って $f(x)$ が最大値を持つことを証明した。 しかしこの議論には大きな欠けがある」

テトラ「大きな欠け？　それは何でしょう、わかりません……」